蔣定兵

摘要：早在1989年，著名科學(xué)家錢(qián)學(xué)森教授在“中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)教學(xué)與科研座談會(huì)”上就提出：“電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，理工科大學(xué)的數(shù)學(xué)課程是不是需要改造一番?！钡拇_，Matlab和Mathematica軟件的出現(xiàn)，給數(shù)學(xué)領(lǐng)域的教學(xué)、科研和學(xué)習(xí)帶來(lái)了巨大的變化和便利。

關(guān)鍵詞：matlab；mathematica；數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711(2014)06-0127

Matlab的含義是“矩陣實(shí)驗(yàn)室”，是MATrix LABoratory 的縮寫(xiě)，是美國(guó)Mathworks公司推出的一個(gè)高性能的科技計(jì)算軟件，它集數(shù)值計(jì)算、符號(hào)運(yùn)算、圖形圖像處理、編程等多種功能于一體，應(yīng)用非常廣泛。MATLAB系統(tǒng)的強(qiáng)大功能由其核心內(nèi)容(語(yǔ)言系統(tǒng)、開(kāi)發(fā)環(huán)境、圖形系統(tǒng)、數(shù)學(xué)函數(shù)庫(kù)、應(yīng)用程序接口等)和輔助工具箱(符號(hào)計(jì)算、圖象處理、優(yōu)化、統(tǒng)計(jì)和控制等工具箱)兩大部分構(gòu)成。

Mathematica 是由Wolfram 公司設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)的一個(gè)數(shù)學(xué)軟件，作為一種交互式數(shù)學(xué)工具軟件，它的功能主要有兩個(gè)方面：計(jì)算功能和作圖功能。它有以下特點(diǎn)：①以符號(hào)運(yùn)算為主，進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算時(shí)非常方便。它能夠做微積分中許多運(yùn)算，如求極限、求導(dǎo)數(shù)、求不定積分、求定積分、求解微分方程、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)和冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算等；還能夠做向量和矩陣的一系列運(yùn)算。②繪圖功能十分強(qiáng)大和便利，能夠做平面圖形( 直角坐標(biāo)作圖和極坐標(biāo)作圖，還有參數(shù)方程作圖) ，也能做三維的曲面、曲線(xiàn)圖形；③Mathematica 是通過(guò)函數(shù)、方程繪制圖形的，與數(shù)學(xué)繪圖的習(xí)慣一致，用戶(hù)不需編制復(fù)雜的程序，直接調(diào)用內(nèi)部函數(shù)和外部函數(shù)，就可以完成圖形的繪制及特性的分析；④在Mathematica 環(huán)境下，繪制的空間圖形是活動(dòng)的，通過(guò)改變觀察角度，可達(dá)到最佳的視覺(jué)效果；⑤包含文本編輯和文件處。

使用matlab與mathematica來(lái)求解學(xué)習(xí)中所涉及的數(shù)學(xué)問(wèn)題, 可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣, 也可以達(dá)到提高應(yīng)用計(jì)算機(jī)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，這是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要方面。本文的目的就是通過(guò)探討matlab與mathematica軟件在微積分、線(xiàn)性代數(shù)、函數(shù)作圖等方面的應(yīng)用，并進(jìn)行對(duì)比分析, 突出數(shù)學(xué)工具的不同特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生對(duì)二者的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維。

一、Matlab和Mathematica軟件在計(jì)算上的應(yīng)用

1. MATLAB和Mathmatica在積分計(jì)算中的應(yīng)用

Matlab計(jì)算不定積分的使用格式：int(f，var)，計(jì)算定積分的使用格式：int( f，var，a，b)。其中，f為被積函數(shù)，var為積分變量，a為積分下限，b為積分上限。

Mathematica 中提供求積分的函數(shù)是Integrate。計(jì)算不定積分的調(diào)用格式是Integrate[f[x]，x]，它計(jì)算的是!f(x)dx，但結(jié)果中不含積分常數(shù)C；計(jì)算定積分的調(diào)用格式是Integrate[f[x]，{x，a，b}]，其中a，b分別是積分的下限和上限。

2. MATLAB和Mathmatica在矩陣計(jì)算中的應(yīng)用

Matlab的所有運(yùn)算都是基于矩陣的，利用Matlab 強(qiáng)大的矩陣處理功能，可以非常方便地解決線(xiàn)性代數(shù)中手工計(jì)算非常繁瑣的一些問(wèn)題，例如求行列式的值、矩陣的逆、矩陣的秩、線(xiàn)性方程組的求解等。

3. MATLAB 和Mathmatica 在求解線(xiàn)性方程組中的應(yīng)用

例1. (1) 求下列線(xiàn)性方程組的通解。

x1+2x2+4x3+6x4-3x5+2x6=42x1+4x2-4x3+5x4+x5-5x6=33x1+6x2+2x3+5x5-9x6=-12x1+3x2+4x4+x6=8-4x2-5x3+2x4+x5+4x6=-55x1+5x2-3x3+6x4+6x5-4x6=25x1+5x2-3x3+6x4+6x5-4x6=2

(2) 求上述線(xiàn)性方程組的增廣矩陣A 的列向量組的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，并把其余向量用極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示。

Matlab程序設(shè)計(jì)：

>>A=[1 2 4 6 -3 2 4； 2 4 -4 5 1 -5 3；3 6 2 0 5 -9 -1；2 3 0 4 0 1 8；0 -4 -5 2 1 4 -5；5 5 -3 6 6 -4 2]；

>>J=rref(A)；

運(yùn)行結(jié)果：

J =

1.000000 0 06.806811.0972

0 1.0000 0 0 0-2.2520-0.4192

0 01.00000 0-0.2041-1.1384

0 00 1.00000-1.4644-3.2342

0 0001.0000 -3.1000-5.9000

0 0000 0 0

結(jié)果說(shuō)明：

(1)線(xiàn)性方程組的通解為：

k(6.08068 2.2520 0.2041 1.4644 3.1000 1)+(11.0972 -0.4192 -1.1384 -3.2342 -5.900)

(2) 所求極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組為：a1，a2，a3，a4，a5。而其余向量用極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組可表示為：

a6=6.08068a1-2.2520a2-0.2041a3-1.4644a4-3.1a5

a7=11.0972a1 -0.4192a2 -1.1384a3 -3.2342 a4-5.9a5

Mathematica程序設(shè)計(jì)：

In:=A={{1，2，4，6，-3，2}，{2，4，-4，5，1，-5}，{3，6，2，0，5，-9}， {2，3，0，4，0， 6}，{0，-4，-5， 2，1， 4}，{5，5，-3，6，6，-4}}；

b={4，3，-1，8，-5，2}；

Ａ={{1，2，4，6，-3，2，4}，{2，4，-4，5，1，-5，3}，{3，6，2，0，5，-9，-1}，{2，3，0，4，0，6，8}，{0，-4，-5，2，1，4，-5}，{5，5，-3，6，6，-4，2}}；

RowReduce[Ａ] // MatrixForm

Out // MatrixForm =100000■010000-■001000-■000100-■000010-■000001 0

In:=Solve[A.{x1，x2，x3，x4，x5，x6}==b，{x1，x2，x3，x4，x5，x6}]

Out={{x1→■，x2→-■，x3→-■，x4→-■，x5→-■，x6→0}}

In:=LinearSolve[A，b]

Out={■，-■，-■，-■，-■，0}

對(duì)比分析：從程序設(shè)計(jì)看，Matlab比Mathematica簡(jiǎn)捷，且運(yùn)行速度更快。

二、Matlab 和Mathematica 軟件在繪圖方面的應(yīng)用

有些函數(shù)的圖像，使用一般的圖形圖像處理軟件如Photoshop 等很難畫(huà)出來(lái)，而使用Matlab和Mathematica 軟件 卻能很方便地對(duì)我們輸入的函數(shù)繪出相應(yīng)的圖形。我們可以在Matlab Matlab和Mathematica 軟件中選擇直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)等不同的坐標(biāo)系；可以繪出平面曲線(xiàn)、空間曲線(xiàn)、柱狀圖等；也可對(duì)圖形作進(jìn)一步的加工，如標(biāo)注、添色等。

1. Matlab和Mathematica軟件在二維繪圖方面的應(yīng)用

例2. 畫(huà)出y1=sinx和y2=cosx在區(qū)間[ 0，2π]的圖像，正弦曲線(xiàn)用紅色的實(shí)線(xiàn)畫(huà)出，余弦曲線(xiàn)用藍(lán)色的虛線(xiàn)畫(huà)出。

Matlab程序設(shè)計(jì)：

>>x=0:0.1:2pi；

>>y1=sin(x)；

>>y2=cos(x)；

>>plot(x，y1，‘r，x，y2，‘b) %plot 是平面直角坐標(biāo)繪圖命令，r 表示圖形的顏色為紅色，b表示藍(lán)色。

>>title(‘正弦和余弦曲線(xiàn))%給出圖標(biāo)題

>>xlabel(‘time)%給出x 軸標(biāo)注

>>ylabel(‘value of function) %給出y軸標(biāo)注

運(yùn)行結(jié)果(略)

Mathematica最基本的二維函數(shù)作圖由系統(tǒng)函數(shù)實(shí)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)的使用形式有兩種：

Plot[表達(dá)式變量、下限、上限, 可選項(xiàng)]

Plot[表達(dá)式，表達(dá)式……，變量，下限，上限可選項(xiàng)]

第一個(gè)使用形式用于作一個(gè)函數(shù)表達(dá)式的圖形, 第二個(gè)形式用于在一個(gè)圖里作多個(gè)函數(shù)表達(dá)式的圖形。

Mathematica程序設(shè)計(jì)：

In:=y1[x_]=Sin[x]；

y2[x_]=Cos[x]；

t1=Plot[y1[x]，{x，0， 2*Pi}，PlotStyle -> {RGBColor[1，0，0]}，

AxesLabel -> {“time”，“value of function”}]；

t2=Plot[y2[x]，{x，0，2*Pi}，PlotStyle -> {RGBColor[0，0，1]}，

AxesLabel->{“time”，“value of function”}]；

Show[t1，t2]；

運(yùn)行結(jié)果(略)：

2. Matlab 和Mathematica 軟件在三維繪圖方面的應(yīng)用

Matlab 提供了多個(gè)三維繪圖命令, 我們以三維曲線(xiàn)命令plot3 為例來(lái)看三維作圖的用法。

例3. 繪制螺旋線(xiàn):x=2cost，y=3sint，z=t的圖像。

Matlab程序設(shè)計(jì)：

>>t=0:pi/50:10*pi；

>>plot3(2*cos(t)，3*sin(t)，t)

運(yùn)行結(jié)果(略):

Mathematica程序：

ParametricPlot3D[{2*Cos[t]，3*Sin[t]，t}，{t，0，10π}]；

運(yùn)行結(jié)果(如圖)：

對(duì)比分析：二者基本相當(dāng)，但MATLAB程序設(shè)計(jì)容易理解、方便輸入，而Mathmatica則在輸入方面較為復(fù)雜，更容易出錯(cuò)，二者都表現(xiàn)出畫(huà)圖的強(qiáng)大功能。

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，Mathmatica和MATLAB 是功能強(qiáng)大、運(yùn)用廣泛的數(shù)學(xué)工具，通過(guò)二者在微積分、線(xiàn)性代數(shù)、函數(shù)作圖等方面應(yīng)用的展示(當(dāng)然，二者在其他方面入數(shù)字信號(hào)處理、工程計(jì)算等有很應(yīng)用)，了解二者功能的不同特點(diǎn)，掌握二者在數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)、科研中的基本應(yīng)用，減少數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，改變數(shù)學(xué)的抽象觀點(diǎn)，直觀展現(xiàn)數(shù)學(xué)的風(fēng)采，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維及創(chuàng)新思維能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和對(duì)數(shù)學(xué)工具的興趣。