分類思想在數(shù)學(xué)中的運用

作者簡介：閔文佳（1991.7－），男,苗族，籍貫：貴州省錦屏縣，學(xué)歷：本科，單位：凱里學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。

摘要：數(shù)學(xué)的思想方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的一個重要的環(huán)節(jié)，嚴(yán)密敏捷的思維邏輯以及數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)對學(xué)生有著巨大的幫助。而分類思想則是數(shù)學(xué)當(dāng)中重要的解題思想，能夠幫助學(xué)生進(jìn)行有效的歸納與總結(jié)，將所學(xué)的知識條理化，提升學(xué)生思維的概括性。本文通過對分類思想的意義的分析，結(jié)合分類思想的原則，最后探討了分類思想在教學(xué)當(dāng)中滲透與運用的方法。

關(guān)鍵詞：分類思想;數(shù)學(xué);運用

數(shù)學(xué)思想與方法貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，而分類思想則是其中一個重要的思想，利用分類討論的方法，可以化繁為簡，能夠有效促進(jìn)學(xué)生的探究能力與數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思想的滲透是一個長期的過程，要讓學(xué)生良好的掌握需要在教學(xué)當(dāng)中不斷引導(dǎo)與滲透，本文則具體針對分類思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行探討。

一、分類思想運用的重要性

數(shù)學(xué)的思想方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的一個重要的環(huán)節(jié)，嚴(yán)密敏捷的思維邏輯以及數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)對學(xué)生有著巨大的幫助。而分類思想就是指按照一定的標(biāo)準(zhǔn)、根據(jù)對象的本質(zhì)屬性，將其分成幾種不同的類型，并進(jìn)行逐一的分析與綜合而得出結(jié)論。分類思想在數(shù)學(xué)當(dāng)中應(yīng)用非常廣泛，是四大基本思想之一，

分類思想是重要的解題思想，同時也是重要的解題對策，其能夠幫助學(xué)生進(jìn)行有效的歸納與總結(jié)，將所學(xué)的知識條理化，提升學(xué)生思維的概括性。分類思想不同于一般知識，不是幾節(jié)課就能夠讓學(xué)生掌握，而是根據(jù)學(xué)生的特征，在學(xué)習(xí)的各個階段不斷滲透與豐富，在解數(shù)學(xué)題的過程當(dāng)中，由于被研究對象的屬性的不同，導(dǎo)致研究問題的結(jié)果受到影響，因此需要對不同的對象進(jìn)行分類的研究，利用分類討論的方法，往往能夠化繁為簡，增加條件，使問題更易于解決。

二、分類思想的原則

分類的思想根據(jù)本質(zhì)屬性異同點與相同點進(jìn)行分類，分類的原則需要遵循標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一、分類對象的確定。在不重復(fù)與不遺漏的情況下，對研究學(xué)習(xí)過程中所遇到的問題進(jìn)行有主次的劃分。分類思想貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中。具體來講，數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中分類的應(yīng)用可以總結(jié)為以下幾種方式：涉及到數(shù)學(xué)概念是分類定義；運用數(shù)學(xué)上的定理、公式以及運算法則、運算性質(zhì)，則分類給出；數(shù)學(xué)中的參數(shù)變量值由不同的取值得到不同的結(jié)果，利用分類能夠簡化問題；求解的數(shù)學(xué)問題具有多種可能與多種情況。分類的原則主要為以下幾點。

統(tǒng)一性原則，分類需要按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，不能適用幾個不同的標(biāo)準(zhǔn)與根據(jù)；互斥性原則，分類的每一個子項應(yīng)當(dāng)做到互相排斥，也就是互斥性，各個子項分類之后不能讓一些事物屬于一個以上的子項；相稱性原則，分類需要相稱，劃分后的子項的并集需要同母項相同；層次性原則，分類可以具體劃分為一次分類與多次分類，一次分類將研究的對象分為一次，而多次分類則是將一次分類的子項作為母項繼續(xù)分類，直到達(dá)到要求為止，由于一些研究對象較為復(fù)雜，因而利用二次分類方法能夠更為細(xì)致的劃分。

三、分類思想在教學(xué)中的滲透

在教學(xué)當(dāng)中，需要注重向?qū)W生灌輸分類思想的應(yīng)用，讓學(xué)生了解到分類思想的本質(zhì)，提升運用的能力。應(yīng)當(dāng)從以下幾個方面進(jìn)行教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生能夠?qū)Ψ诸愃枷脒M(jìn)行主動運用，提升綜合素質(zhì)與能力。

1. 滲透分類的思想

學(xué)生在日常的生活與學(xué)習(xí)當(dāng)中都會接觸到分類的知識與思想，例如人群的分類、學(xué)科的分類等，在教學(xué)當(dāng)中需要對學(xué)生進(jìn)行積極的引導(dǎo)，將分類理論知識遷移到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中。例如學(xué)習(xí)有理數(shù)的概念，可以讓學(xué)生對有理數(shù)進(jìn)行分類，掌握有理數(shù)的不同分類方法，按分母不同，有理數(shù)能夠分為分?jǐn)?shù)與整數(shù)；按性質(zhì)符號可以分為正數(shù)、0以及負(fù)數(shù)。再如講解絕對值時，可以分類為 ，若 a>O，則lal=a，若 a<0 ，則lal= -a，若 a=0 ，則lal=0。讓學(xué)生初步掌握分類的方法。

2. 學(xué)習(xí)分類方法

所謂分類就是要將對象按照適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分，對每一類問題逐一解答。數(shù)學(xué)分類方法多種多樣，教師需要針對性的進(jìn)行教學(xué)，常用的分類方法主要有利用數(shù)學(xué)概念的分類、數(shù)學(xué)法則的分類以及性質(zhì)或者特殊規(guī)定的分類、根據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類、按照幾何圖形的點與線的位置進(jìn)行分類等，在教學(xué)中通過不同的例子讓學(xué)生逐一掌握，認(rèn)識到分類思想對于解題的重要性。例如證明圓周角定理，圓心的位置處在角的內(nèi)部、外部以及邊上三種不同的情況，因此可以分為三種不同的情況進(jìn)行證明，先證明最容易解決的：圓心的位置在圓周角的一條邊上“，然后利用此證明來解決圓心在圓周角的外部與內(nèi)部的另外兩種情況。

再如下例：

題目：設(shè)00且a≠1，比較|log (1－x)|與|log (1＋x)|的大小。

［分析］ 比較對數(shù)大小，運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān)，所以對底數(shù)a分兩類情況進(jìn)行討論。

［解］ ∵ 01

① 當(dāng)00，log (1＋x)<0，所以

|log (1－x)|－|log (1＋x)|＝log (1－x)－［－log (1＋x)］＝log (1－x )>0;

② 當(dāng)a>1時，log (1－x)<0，log (1＋x)>0，所以

|log (1－x)|－|log (1＋x)|＝－log (1－x) －log (1＋x)＝－log (1－x )>0；

由①、②可知，|log (1－x)|>|log (1＋x)|

由以上例子可以看出，利用分類進(jìn)行討論體現(xiàn)出了化整為零以及歸類整理的方法，進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的解答時，更具邏輯性與概括性。

3. 引導(dǎo)分類討論

中學(xué)課本當(dāng)中有許多定理、公式、法則等，都需要進(jìn)行分類討論，因而在教學(xué)當(dāng)中應(yīng)當(dāng)注重對學(xué)生的引導(dǎo)，強(qiáng)化學(xué)生的分類討論意識，一些知識點不進(jìn)行分類討論，則非常容易出現(xiàn)錯誤。并且分類方法通過概括與總結(jié)，能夠讓學(xué)生總結(jié)出規(guī)律性的東西，提升學(xué)生思維的縝密性與條理性，從而提高解題的能力。

例如以下例子：函數(shù)y=x6-x5+x4-x3+x2-x+l，求證:Y的值恒為正數(shù)。分析可發(fā)現(xiàn)如果將y進(jìn)行分解因式索然能夠得出結(jié)論，但較為復(fù)雜，因而可以利用分類思想將變量x進(jìn)行分類討論，問題就會容易許多：

證明:(1)當(dāng)x<0時∴x5-x3-x>0，y>1恒成立;

(2)當(dāng)0

∵ x4>x5， x2>x3，1>x∴y>0成立;

(3)當(dāng)x=1時，y=1>0成立;

（4）當(dāng)x>1時

y= （x6-x5)+（x4-x3）+（x2-x) +1

∵x6>x5， x4>x3，x2>x∴ y>1成立

綜上可知，y>0成立。

由以上的例子不難看出，分類思想的應(yīng)用往往能夠使復(fù)雜的問題變得更為簡單，利用分類思想解題思路變得更為清晰。

四、結(jié)束語

數(shù)學(xué)思想與方法是解決數(shù)學(xué)問題的最基本的策略，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)所在，數(shù)學(xué)思想方法能夠充分引導(dǎo)學(xué)生掌握與領(lǐng)域，提升思維的水平。總而言之，在教學(xué)的過程當(dāng)中，應(yīng)當(dāng)利用現(xiàn)有的教材，對學(xué)生進(jìn)行積極的引導(dǎo)，幫助學(xué)生掌握分類思想的方法，并將其同其他的數(shù)學(xué)方法充分的結(jié)合，鍛煉啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從而提升學(xué)生的綜合素質(zhì)與能力。

參考文獻(xiàn)：

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