王維

推理能力在數(shù)學(xué)中是屬于數(shù)學(xué)思考（思維）能力中的一種，因此《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在數(shù)學(xué)思考的目標(biāo)表述中作了明確的要求，指出：要“發(fā)展合情推理能力和演繹推理能力”。合情推理是數(shù)學(xué)家喬治·波利亞對歸納推理、類比推理等或必然性推理（即推理的結(jié)論不一定成立的推理）的特稱。合情推理是根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗，在某種情境和過程中推出可能性結(jié)論的推理。通俗講合情推理就是一種合乎情理的推理，主要包括觀察、比較、不完全歸納、類比、猜想、估算、聯(lián)想、自覺、頓悟、靈感等思維形式。合情推理所得的結(jié)果具有偶然性，但也不是完全憑空想象，它是根據(jù)一定的知識和方法做出的探索性的判斷。本人結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。

一、在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中培養(yǎng)合情推理能力

數(shù)學(xué)概念形成的過程，是數(shù)學(xué)家漫長的創(chuàng)造過程，其思考問題的方法和其中包含的數(shù)學(xué)思想，往往具有很高的數(shù)學(xué)價值。雖然我們不可能把這個形成過程照搬給學(xué)生，但是若能發(fā)揮其要領(lǐng)，濃縮精華地將數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)過程暴露給學(xué)生，提供給學(xué)生數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的環(huán)境和機(jī)會，則無疑是教會學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”的重要途徑。在數(shù)學(xué)概念的實際學(xué)習(xí)中，需要理解數(shù)學(xué)概念的名稱、定義、例子和屬性， 采取歸納、類比、聯(lián)想、直覺想象等合情推理的方法，讓學(xué)生經(jīng)歷從典型、豐富 的具體事例中概括概念的本質(zhì)的活動，而不是給出概念定義、舉例說明、練習(xí)鞏固。這樣既符合學(xué)生學(xué)習(xí)概念時由具體到抽象的認(rèn)識規(guī)律，掌握形式的數(shù)學(xué)概念背后的事實，而且更容易讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性，理解概念的內(nèi)涵，把概念納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。比如在進(jìn)行“有理數(shù)的乘方”的教學(xué)時，借助下面例子：由一張厚度為0.1毫米的紙，將它對折1次后，厚度為2×0.1毫米。那么（1）對折2此后，厚度為多少毫米？（2）對折3此后，厚度為多少毫米？（3）對折4此后，厚度為多少毫米？（4）對折20此后，厚度為多少毫米？（5）如果每層樓為3米高，這張紙對折20次后有多少層樓高？讓學(xué)生經(jīng)歷“折紙—猜想—計算”的過程，再引入乘方的概念。學(xué)生驚訝之余，既提高了學(xué)習(xí)興趣又鍛煉了推理能力。再如，初中教材是用溫度計經(jīng)過形象類比和推理引入數(shù)學(xué)數(shù)軸知識的。

二、在數(shù)學(xué)公式、法則、定理教學(xué)中培養(yǎng)合情推理能力

數(shù)學(xué)公式、法則、定理的發(fā)現(xiàn)過程是數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)智慧的體現(xiàn)，也是進(jìn)行合情推理的典范。所以，教師在教學(xué)中如果能為學(xué)生創(chuàng)造“發(fā)現(xiàn)”定理、公式結(jié)論的機(jī)會，并且在“發(fā)現(xiàn)”的過程和方法上加以引導(dǎo)，那么學(xué)生既能學(xué)到鮮活的數(shù) 學(xué)知識，又能漸漸體驗和掌握合情推理的方法。在課堂教學(xué)中要善于捕捉有利的時機(jī)，力求讓學(xué)生思維與數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題的思維過程或教材作者的思維過程同步，讓學(xué)生參與到知識的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)過程中去，體驗到發(fā)明創(chuàng)造的思維情景、方法及樂趣，才有利于學(xué)生的創(chuàng)新活動。貫徹“兩個過程”原則，“兩個過程”就是數(shù)學(xué)定理（公式、法則）的發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。貫徹“兩個過程”原則，必須做好兩個還原：第一個是還原數(shù)學(xué)定理（公式、法則）的原始發(fā)現(xiàn)過程，第二個是學(xué)生思維過程的還原。具體的做法是：①創(chuàng)設(shè)問題情景，引發(fā)并處理學(xué)生的先前經(jīng)驗和直覺；②開展觀察、實驗、類比、猜想、歸納、特殊化、一般化等活動，形成假設(shè)；③利用已有知識進(jìn)行推理論證活動，檢驗假設(shè)，獲得新知，并納入到有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。比如在三角形內(nèi)角和180o的教學(xué)中，通過學(xué)生剪裁拼合三個內(nèi)角，再度量的方式發(fā)現(xiàn)得出三角形內(nèi)角和180o；軸對稱圖形、線、底邊上的中線、高線重合（三線合一）等，教材中沒有加以證明，就用折紙的方法使學(xué)生確定它們的存在；在圓的教學(xué)中，結(jié)合圓的軸對稱性，發(fā)現(xiàn)垂徑定理及其推論；利用圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，發(fā)現(xiàn)圓中弧、弦、圓心角之間的關(guān)系；通過觀察、度量，發(fā)現(xiàn)圓心角與圓周角之間的數(shù)量關(guān)系；利用直觀操作，發(fā)現(xiàn)點與圓、直線與圓、圓與圓之間的位置關(guān)系等等。在學(xué)生通過觀察、操作、變換探究出圖形的性質(zhì)后，還要求學(xué)生對發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行證明，使直觀操作和邏輯推理有機(jī)地整合在一起，使推理論證成為學(xué)生觀察、實驗、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)，這個過程中就發(fā)展了學(xué)生的合情推理能力。

三、在數(shù)學(xué)解題過程中培養(yǎng)合情推理能力

可以說每一個數(shù)學(xué)解題思路的產(chǎn)生都是一個推理的完整過程，從條件要達(dá)到結(jié)論的彼岸，如何選擇入口？如何實現(xiàn)過渡？怎樣一步步逼近結(jié)論？這是一個集觀察、類比、聯(lián)想、直覺等合情推理手段和論證推理的過程。因此，每一個解題過程就是一個“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”，也為教師展示“數(shù)學(xué)智慧”提供了取之不盡的素材。在解題活動中，培養(yǎng)學(xué)生“不妨猜一猜”的良好習(xí)慣。在解題活動中，要引導(dǎo)學(xué)生在沒有答案（或結(jié)論）時，可先猜測一下答案（或結(jié)論）；猜測答數(shù)的形式，答數(shù)的范圍；猜測中間結(jié)論；猜測解題方向，以形成思路；對某思路的能解性作出估計；培養(yǎng)學(xué)生“不妨猜一猜”的良好習(xí)慣。例1：在學(xué)完乘法公式后教師可為學(xué)生創(chuàng)設(shè)這樣一個思維情境：

請觀察下列等式：

（a-1）（a+1）=a2-1

（a-1）（a2+a+1）=a3-1

（a-1）（a3+a2+a+1）=a4-1

根據(jù)前面的等式你能得到什么規(guī)律？請用一個等式表示你的發(fā)現(xiàn)，并說明理由。學(xué)生對這樣的問題樂于思考和探究，并通過類比容易得到：

（a-1）（an+an-1+an-2+……+a+1）=an-1-1

該結(jié)論學(xué)生運(yùn)用多項式的乘法法則可直接推得，這里證明從略。對教師來講，前面的過程只是一種精心設(shè)計，而對學(xué)生來說卻經(jīng)歷了一個從感性認(rèn)識到解決問題的完整歷程，其活動的程序大致可表示如下：觀察——研究——歸納——得到猜想——驗證。猜想是通向創(chuàng)造的門扉，猜想給創(chuàng)造以巨大的推動力。在創(chuàng)造的過程中，猜想常常是一個接一個的，一個猜想被證實了，又轉(zhuǎn)入另一個猜想；一個猜想被否定了，又調(diào)換一個新猜想。猜想和證明有時遙遙無期，如哥德巴赫猜想；有時近在咫尺。在猜想中，已經(jīng)包含了學(xué)生跳躍性的思維，我們要善于捕捉學(xué)生稍縱即逝的思維火花，使它發(fā)揚(yáng)光大。

總之，在中學(xué)教學(xué)中進(jìn)行合情推理方法研究，是提高課堂效率、優(yōu)化教學(xué)條件、提升教學(xué)水平的一種途徑，對于學(xué)生，它不但能使學(xué)生學(xué)到知識，會解決問題，而且能使學(xué)生掌握在新問題出現(xiàn)時該如何應(yīng)對的思想方法。對于老師，研究合情推理教學(xué)能提高自己的業(yè)務(wù)水平，增加課堂教學(xué)的趣味性，使教學(xué)更加有條理。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]G·波利亞.怎樣解題——數(shù)學(xué)教學(xué)法的新面貌[M].上海：上海科技教育出版社，2002.

[3]教育部.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（全日制義務(wù)教育實驗稿）[M] .北京：北京師范大出版社，2001.

（作者單位：浙江省寧波市明樓中學(xué)）