初中平面幾何中如何針對(duì)三角形添加輔助線

張永閣

摘 要：在初中教學(xué)中，數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)性的學(xué)科，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問(wèn)題的能力有著積極的促進(jìn)作用，是開(kāi)拓學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的關(guān)鍵學(xué)科。對(duì)于數(shù)學(xué)中的幾何部分而言，三角形知識(shí)既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，這就需要通過(guò)添加輔助線的方法解決三角形問(wèn)題。本文筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，分析了初中平面幾何中添加輔助線的三角形解題方法，目的是為在三角形解題中輔助線的應(yīng)用提供參考和借鑒。

關(guān)鍵詞：初中 平面幾何 三角習(xí)慣 輔助線 全等 創(chuàng)新

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）05（b）-0100-01

平面幾何是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力起著重要的作用，因此在初中幾何教學(xué)中，教師要以先進(jìn)的教學(xué)理念為指導(dǎo)，結(jié)合幾何教學(xué)的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際需求，采用靈活多樣的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生全身心的投入到幾何學(xué)習(xí)中去，并鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)和歸納幾何解題的方法和技巧，進(jìn)而為學(xué)生幾何素養(yǎng)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在初中幾何教學(xué)中，很多三角形問(wèn)題需要借助輔助線來(lái)解決，輔助線的應(yīng)用不僅降低了三角形問(wèn)題的難度，還為學(xué)生提供了多種解題技巧，對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)起到了積極的促進(jìn)作用。

輔助線為解決三角形問(wèn)題提供了很大的方便，為了在初中幾何教學(xué)中，合理的添加輔助線，有效的解決三角形問(wèn)題，需要根據(jù)題型的不同，采用有針對(duì)性的方法。筆者從自身的教學(xué)實(shí)踐著手，總結(jié)了以下幾種用輔助線結(jié)合幾何問(wèn)題的方法，以供參考。

1 直接連線法

在一些初中幾何題中，部分題目的已知條件中并為涉及到三角形，單純的分析各個(gè)解題要素之間的聯(lián)系難以理清思路，這就需要借助添加輔助線的方法構(gòu)建新的三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，大大的降低了題目的難度。

如圖1，AC=BD，AC⊥BD，BC⊥BD，求證AD=BC。

本題要證明兩條線段相等，缺乏具體的線段長(zhǎng)度，難以借助計(jì)算的方法得出線段的長(zhǎng)度進(jìn)行比較，這就需要借助全等三角形的相應(yīng)知識(shí)進(jìn)行解決。在題目中，含有AD、BC的兩個(gè)三角形缺乏全等的條件，這就需要做輔助線CD，進(jìn)而構(gòu)成了符合全等條件的三角形，即△ADC和△BCD，然后得出兩條線段相等。

可見(jiàn)，在幾何題目中，難以找到解題思路時(shí)，可以借助添加輔助線的方式，這樣問(wèn)題便迎刃而解，降低了題目的難度，加強(qiáng)了對(duì)三角形知識(shí)的訓(xùn)練，對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固和幾何素養(yǎng)的形成奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2 做垂線法

在平面幾何中，過(guò)一點(diǎn)做已知直線的垂線也是一種天劍輔助線的方法，特別是題目中涉及到角平分線時(shí)，經(jīng)常做角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的垂線，根據(jù)教平分線的性質(zhì)，可以有效的解決一部分幾何問(wèn)題。

如圖2，在△ABC中，BP CP分別是∠B、∠C的外角平分線，求證點(diǎn)P位于∠A的角平分線上。

在該題目中，出現(xiàn)了角的平分線，很容易聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)，即角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，因此從角的平分線上的點(diǎn)分別作角的兩邊的垂線，可以得出MP=CP、CP=NP，繼而得出PM=PN，又根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可以判定點(diǎn)P在∠A的角平分線上。

3 延長(zhǎng)線段法

在一些特征不明顯的幾何題目中，通過(guò)連接兩點(diǎn)或者是作垂線，難以理清題目中的數(shù)量關(guān)系，無(wú)法摸清解題的思路，這時(shí)可以根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇延長(zhǎng)線段的方法，構(gòu)建新的圖形或者是引出新的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而開(kāi)辟解決幾何問(wèn)題的有效途徑。如圖3，在△ABC中，AB=AC，BD上BC于點(diǎn)D，CE上BC于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A的直線分別與BD、CE交于點(diǎn)D、E.求證：AD=AE。

為了證明AD=AE，無(wú)法通過(guò)直接證明全等獲得兩條直線的長(zhǎng)度關(guān)系，因此需要在原先的推行上添加輔助線，因D、E在過(guò)點(diǎn)A的同一直線上，為此可想象將AADB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180度，使點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，利用中心對(duì)稱性構(gòu)造全等三角形，故延長(zhǎng)線段BA交CE于點(diǎn)F，通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等得到兩條線段的長(zhǎng)度關(guān)系。

4 截取相等線段法

在初中幾何題中，經(jīng)常會(huì)遇到求證兩條線段的和或者是差等于另一條線段，這時(shí)可以在較長(zhǎng)的線段是截取線段，進(jìn)而將長(zhǎng)度相等的線段轉(zhuǎn)化到另一條直線上。如圖4，△ABC是一個(gè)等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且頂角是120度，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)一個(gè)60度的角，角的兩邊分別與AB和AC于M、N。求證MN=BM+NC。

在解決該問(wèn)題時(shí)，需要延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E，使CE=BM，這樣利用SAS能夠證明△DBM和△DCE全等，進(jìn)而得出△MDN和△EDN全等，得出MN=EN=NC+CE，即MN=BM+NC。

5 結(jié)語(yǔ)

在初中平面幾何教學(xué)中，三角形教學(xué)是一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)后期立體幾何的學(xué)習(xí)起著基礎(chǔ)性的作用，因此，需要掌握解決三角形問(wèn)題的有效方法，除了要掌握基本的三角形性質(zhì)知識(shí)之外，還需要借助添加輔助線的方法解決三角形問(wèn)題。在初中平面幾何中，添加輔助線的方法是多種多樣的，這就需要加強(qiáng)對(duì)此類型題目的訓(xùn)練，注意總結(jié)規(guī)律和方法，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生掌握作輔助線方法的技巧，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和創(chuàng)造能力。方法是不斷的練習(xí)，思考，總結(jié)，歸納得出的。只要我們用心就能找到解決問(wèn)題的辦法。

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