王益洲

【摘 要】作為高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，微積分的學(xué)習(xí)和應(yīng)用一直都備受關(guān)注。而導(dǎo)數(shù)又是微積分中微分學(xué)的主要構(gòu)成，其在實(shí)際生活中有著廣泛應(yīng)用，是微積分的核心內(nèi)容。就目前來(lái)講，導(dǎo)數(shù)已經(jīng)在醫(yī)藥、天文、經(jīng)濟(jì)、工業(yè)、物理、工程以及日常生活等多個(gè)領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用?，F(xiàn)本文就通過(guò)分析導(dǎo)數(shù)的相關(guān)基礎(chǔ)概念，來(lái)談?wù)勂湓谑菍?shí)際生活中的最優(yōu)化應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；最優(yōu)化；生活；應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)是我國(guó)高校教育的必修課程，之所以要讓學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握高等數(shù)學(xué)，是因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)的很多知識(shí)內(nèi)容都可以應(yīng)用在實(shí)際生活中，能夠幫助學(xué)生更好的應(yīng)對(duì)生活和工作中的難題。其中導(dǎo)數(shù)就是這樣一種具有很大實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，其產(chǎn)生形成的原因和作用是為了滿(mǎn)足生產(chǎn)技術(shù)與自然科學(xué)的發(fā)展需求。目前，導(dǎo)數(shù)已經(jīng)在很多工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域和生活領(lǐng)域中發(fā)揮巨大作用，尤其是在解決最優(yōu)化、最大值和最小值的問(wèn)題時(shí)，導(dǎo)數(shù)更是起到關(guān)鍵作用。那么導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題是如何解決的，其在實(shí)際生活中的應(yīng)用又有哪些呢？以下筆者就幾個(gè)實(shí)例來(lái)進(jìn)行分析探討。

1 導(dǎo)數(shù)的基本概念分析

1.1 導(dǎo)數(shù)的起源

所謂導(dǎo)數(shù)，是指一個(gè)函數(shù)的因變量對(duì)于自變量的變化率，即當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量的增強(qiáng)和自變量的增量之商的極限就是導(dǎo)數(shù)。其是微積分中的一個(gè)重要基礎(chǔ)概念。但是導(dǎo)數(shù)并非是與普通數(shù)學(xué)一起興起和形成的，其是在17世紀(jì)20年代末，由法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬率先提出的一個(gè)新數(shù)學(xué)概念，最初的導(dǎo)數(shù)概念主要是指最大值和最小值的求值方法，并沒(méi)有一個(gè)很系統(tǒng)的概念，直到19世紀(jì)60年代，魏爾斯特拉斯創(chuàng)造了ε-δ語(yǔ)言，才使導(dǎo)數(shù)形成了今天的表達(dá)形式，并被廣泛接受認(rèn)同。

可以說(shuō)，導(dǎo)數(shù)是源于生活而服務(wù)于生活的，其在很大程度上促進(jìn)了生產(chǎn)技術(shù)與自然科學(xué)的快速發(fā)展，因?yàn)樵谧匀滑F(xiàn)象中，有很多事物的數(shù)量關(guān)系并不能用一個(gè)準(zhǔn)確的數(shù)值來(lái)表示，這會(huì)給研究帶來(lái)一定的不便。而通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)來(lái)表達(dá)其變化率結(jié)構(gòu)，則可以很好的解決這一問(wèn)題，也正因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的這一應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，使得其在很多科研領(lǐng)域和生活生產(chǎn)領(lǐng)域中有了廣泛應(yīng)用。例如經(jīng)濟(jì)學(xué)中利潤(rùn)的變化率、物理運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度、人口增長(zhǎng)率研究等等，這些問(wèn)題都可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決。

1.2 導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題

一般來(lái)講，若一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，那么該函數(shù)就一定可導(dǎo)或可微分，這是其解決最優(yōu)化問(wèn)題的基本前提。在實(shí)際的生活中，導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題比比皆是，隨處可見(jiàn)。例如如何用料最省，如何生產(chǎn)效率最高等等，都是最優(yōu)化問(wèn)題，都可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)加以解決。在實(shí)際的應(yīng)用中，導(dǎo)數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題的解決主要有四個(gè)步驟。第一，要對(duì)實(shí)際問(wèn)題中所體現(xiàn)出的各個(gè)關(guān)鍵量進(jìn)行分析，并理清這些量的關(guān)系，根據(jù)所得出的數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，并列出各個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系式，然后再結(jié)合具體情況劃定自變量的范圍，也就是其定義域。第二，對(duì)所列出的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合定義域的要求確定實(shí)根、極值點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)。第三，計(jì)算函數(shù)在不同區(qū)間的端點(diǎn)、極值點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值，并對(duì)這些函數(shù)值進(jìn)行對(duì)比，從而獲得所需的最大值或最小值。第四，將最大值與最小值回歸到具體的實(shí)際問(wèn)題中，得出實(shí)際問(wèn)題的最優(yōu)解。

值得一提的是，在用導(dǎo)數(shù)來(lái)處理實(shí)際生活中的最優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，一定要充分結(jié)合實(shí)際，對(duì)于那些不符合實(shí)際的值可以直接舍棄，不考慮在內(nèi)。這就要求在確定函數(shù)關(guān)系式時(shí)，還要正確的確定定義域，即自變量的有效區(qū)間，這是保證函數(shù)值有效的前提。另外，實(shí)際生活的最優(yōu)化問(wèn)題中有時(shí)候出現(xiàn)一個(gè)區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)點(diǎn)是有效值的情況，那么此時(shí)可以直接判定該點(diǎn)的值就是最值。

2 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的最優(yōu)化應(yīng)用

本文一再?gòu)?qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中有著很大的應(yīng)用價(jià)值，那么其具體表現(xiàn)在哪些方面呢？以下筆者就舉出幾個(gè)實(shí)際例子，來(lái)證明導(dǎo)數(shù)在解決最優(yōu)化問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用優(yōu)越性。

2.1 實(shí)例一

已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p=25-1/8q，求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤(rùn)L最大？

分析：利潤(rùn)L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價(jià)格.由此可得出利潤(rùn)L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn)。其中收入R=q·p，利潤(rùn)L=R-C，定義域0

2.2 實(shí)例二

煙囪向其周?chē)貐^(qū)散落煙塵而污染環(huán)境. 已知落在地面某處的煙塵濃度與該處至煙囪距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比，現(xiàn)有兩座煙囪相距20km，其中一座煙囪噴出的煙塵量是另一座的8倍，試求出兩座煙囪連線(xiàn)上的一點(diǎn)，使該點(diǎn)的煙塵濃度最小。

分析：不失一般性，設(shè)煙囪A的煙塵量為1，則煙囪B的煙塵量為8。設(shè)A到C點(diǎn)的距離為AC，其中定義域?yàn)?

解得在（0，20）內(nèi)惟一駐點(diǎn)x=20/3。由于煙塵濃度的最小值客觀(guān)上存在，并在（0，20）內(nèi)取得，所以在惟一駐點(diǎn)x處，濃度y最小，即在AB間距A處20/3處的煙塵濃度最小。

2.3 實(shí)例三

在甲、乙兩個(gè)工廠(chǎng)，甲廠(chǎng)位于一直線(xiàn)河岸的岸邊A處，乙廠(chǎng)與甲廠(chǎng)在河的同側(cè)，乙廠(chǎng)位于離河岸40 km的B處，乙廠(chǎng)到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠(chǎng)要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠(chǎng)和乙廠(chǎng)的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問(wèn)供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最?。?/p>

分析：這一問(wèn)題可以使用三角函數(shù)來(lái)解決。根據(jù)題意列出相應(yīng)的函數(shù)公式，并求得函數(shù)最小值?？芍狝C=50-40cotθ=20（km），即供水站建在A、D之間距甲廠(chǎng)20 km處，可使水管費(fèi)用最省。

2.4 實(shí)例四

某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量為y（升），關(guān)于行駛速度x（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：

y=■x■-■x+8（0

（I）當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？

（II）當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

分析：（I）當(dāng)x=40時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了100/40=2.5小時(shí)，代入上述函數(shù)解析式計(jì)算后可得知要耗油17.5（升）。

答：當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升。

（II）當(dāng)速度為x千米/小時(shí)的情況下，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了100/x小時(shí)，設(shè)耗油量為h（x）升，其中0

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，在實(shí)際的生活中，導(dǎo)數(shù)是應(yīng)用是非常廣泛且十分有用的，只要我們?cè)诿鎸?duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)能夠找出問(wèn)題中各個(gè)自變量和因變量之間的關(guān)系，并列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，確定合理的定義域，就可以通過(guò)求導(dǎo)的方式求得最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題的最優(yōu)化問(wèn)題。本文中所提出的導(dǎo)數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題解決步驟與注意事項(xiàng)是筆者在實(shí)際的工作中總結(jié)出來(lái)的，文中所舉的幾個(gè)案例也均是較為典型的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用案例，希望能夠?yàn)樽x者了解和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決實(shí)際生活問(wèn)題提供一些參考和幫助。

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[責(zé)任編輯：楊玉潔]