數(shù)學(xué)課堂問(wèn)題導(dǎo)學(xué)要抓住學(xué)生新知的生長(zhǎng)點(diǎn)

張素芳

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上主動(dòng)積極的有意義學(xué)習(xí)過(guò)程，數(shù)學(xué)問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)作為敲門(mén)磚必須使新知識(shí)與學(xué)生頭腦中已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建立自然的、內(nèi)在的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，才能擲地有聲，為情境而情境，未與數(shù)學(xué)內(nèi)容建立內(nèi)在聯(lián)系，只是牽強(qiáng)附會(huì)。本文以高中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)之一《兩角和與差的余弦公式》為例與各位同仁交流。

【教學(xué)目標(biāo)】

理解用向量方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式，并能夠初步運(yùn)用，在兩角差余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用，體會(huì)分類討論的思想、聯(lián)系與化歸思想的運(yùn)用，感悟事物之間普遍聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的關(guān)系。

【教學(xué)重點(diǎn)】

兩角差的余弦公式的推導(dǎo)與運(yùn)用。

教學(xué)環(huán)節(jié)

一、復(fù)習(xí)鞏固

1.平面向量的數(shù)量積是怎樣定義的？坐標(biāo)表示是怎樣的？

2.單位圓上點(diǎn)坐標(biāo)表示是怎樣的？

【設(shè)計(jì)意圖】為聯(lián)系向量的數(shù)量積去探索公式做鋪墊。

二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

怎樣聯(lián)系向量的數(shù)量積去猜想公式？

師生互動(dòng)探究1：不用計(jì)算器，如何求出cos15°的值？

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行角的拆分，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想向量的夾角，通過(guò)構(gòu)造向量尋求解決辦法。發(fā)現(xiàn)cos（60°-45°）=cos60°cos45°-sin60°sin45° 三、自學(xué)互學(xué)

怎樣聯(lián)系向量的數(shù)量積去探索公式？

小組合作探究2：由探究1你得到了什么啟示？你能由此猜想并推導(dǎo)cos（α-β）與sinα，cosα，sinβ，cosβ的關(guān)系嗎？

四、效果展示

教師根據(jù)學(xué)生的爭(zhēng)論加以點(diǎn)撥：

教師提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生思考：

1.設(shè)角，β的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A、B，則A、B的坐標(biāo)？

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過(guò)提問(wèn)引發(fā)學(xué)生思考，并讓學(xué)生分組活動(dòng)，相互討論，合作學(xué)習(xí)，運(yùn)用從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想將問(wèn)題層層深入，最后達(dá)到推導(dǎo)的完備，從而讓學(xué)生體驗(yàn)探究的過(guò)程，鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個(gè)向量的夾角θ與α-β的聯(lián)系與區(qū)別，并通過(guò)觀察和討論搞清楚α-β=2kπ±θ，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合、分類討論的方法解決問(wèn)題的意識(shí)，感受數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

五、自主學(xué)習(xí)

認(rèn)識(shí)公式，深化理解。

提問(wèn)：（1）細(xì)心觀察公式的結(jié)構(gòu)，它有哪些特征？

（2）公式中α，β的角的取值范圍如何？

學(xué)生觀察與思考得出：①公式中兩邊的符號(hào)正好相反（一負(fù)一正）；②公式右邊同名三角函數(shù)乘積的和；③公式中α、β是任意的；④公式的逆用也要注意。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)公式，掌握公式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，深化理解公式實(shí)質(zhì)，為靈活運(yùn)用公式奠定基礎(chǔ)。

【課后反思】

本次教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，注重考慮學(xué)生，學(xué)習(xí)今天的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，學(xué)生已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)有哪些？教學(xué)時(shí)重在激活學(xué)生頭腦中與新知識(shí)有實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，通過(guò)新舊知識(shí)之間的相互作用，啟發(fā)學(xué)生從原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中自然生長(zhǎng)出新的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)——使學(xué)生產(chǎn)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求。課堂問(wèn)題導(dǎo)學(xué)抓住了學(xué)生新知的生長(zhǎng)點(diǎn)，使學(xué)生的思維自然地插上了騰飛的翅膀，體會(huì)到了一位教師的智慧和深刻，在于他善于攪動(dòng)學(xué)生思維的漣漪，把課堂的溫度建立在學(xué)生思維的深度上（思維的含量、層次、思維的強(qiáng)度）。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上主動(dòng)積極的有意義學(xué)習(xí)過(guò)程，數(shù)學(xué)問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)作為敲門(mén)磚必須使新知識(shí)與學(xué)生頭腦中已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建立自然的、內(nèi)在的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，才能擲地有聲，為情境而情境，未與數(shù)學(xué)內(nèi)容建立內(nèi)在聯(lián)系，只是牽強(qiáng)附會(huì)。本文以高中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)之一《兩角和與差的余弦公式》為例與各位同仁交流。

【教學(xué)目標(biāo)】

理解用向量方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式，并能夠初步運(yùn)用，在兩角差余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用，體會(huì)分類討論的思想、聯(lián)系與化歸思想的運(yùn)用，感悟事物之間普遍聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的關(guān)系。

【教學(xué)重點(diǎn)】

兩角差的余弦公式的推導(dǎo)與運(yùn)用。

教學(xué)環(huán)節(jié)

一、復(fù)習(xí)鞏固

1.平面向量的數(shù)量積是怎樣定義的？坐標(biāo)表示是怎樣的？

2.單位圓上點(diǎn)坐標(biāo)表示是怎樣的？

【設(shè)計(jì)意圖】為聯(lián)系向量的數(shù)量積去探索公式做鋪墊。

二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

怎樣聯(lián)系向量的數(shù)量積去猜想公式？

師生互動(dòng)探究1：不用計(jì)算器，如何求出cos15°的值？

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行角的拆分，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想向量的夾角，通過(guò)構(gòu)造向量尋求解決辦法。發(fā)現(xiàn)cos（60°-45°）=cos60°cos45°-sin60°sin45° 三、自學(xué)互學(xué)

怎樣聯(lián)系向量的數(shù)量積去探索公式？

小組合作探究2：由探究1你得到了什么啟示？你能由此猜想并推導(dǎo)cos（α-β）與sinα，cosα，sinβ，cosβ的關(guān)系嗎？

四、效果展示

教師根據(jù)學(xué)生的爭(zhēng)論加以點(diǎn)撥：

教師提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生思考：

1.設(shè)角，β的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A、B，則A、B的坐標(biāo)？

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過(guò)提問(wèn)引發(fā)學(xué)生思考，并讓學(xué)生分組活動(dòng)，相互討論，合作學(xué)習(xí)，運(yùn)用從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想將問(wèn)題層層深入，最后達(dá)到推導(dǎo)的完備，從而讓學(xué)生體驗(yàn)探究的過(guò)程，鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個(gè)向量的夾角θ與α-β的聯(lián)系與區(qū)別，并通過(guò)觀察和討論搞清楚α-β=2kπ±θ，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合、分類討論的方法解決問(wèn)題的意識(shí)，感受數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

五、自主學(xué)習(xí)

認(rèn)識(shí)公式，深化理解。

提問(wèn)：（1）細(xì)心觀察公式的結(jié)構(gòu)，它有哪些特征？

（2）公式中α，β的角的取值范圍如何？

學(xué)生觀察與思考得出：①公式中兩邊的符號(hào)正好相反（一負(fù)一正）；②公式右邊同名三角函數(shù)乘積的和；③公式中α、β是任意的；④公式的逆用也要注意。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)公式，掌握公式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，深化理解公式實(shí)質(zhì)，為靈活運(yùn)用公式奠定基礎(chǔ)。

【課后反思】

本次教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，注重考慮學(xué)生，學(xué)習(xí)今天的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，學(xué)生已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)有哪些？教學(xué)時(shí)重在激活學(xué)生頭腦中與新知識(shí)有實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，通過(guò)新舊知識(shí)之間的相互作用，啟發(fā)學(xué)生從原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中自然生長(zhǎng)出新的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)——使學(xué)生產(chǎn)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求。課堂問(wèn)題導(dǎo)學(xué)抓住了學(xué)生新知的生長(zhǎng)點(diǎn)，使學(xué)生的思維自然地插上了騰飛的翅膀，體會(huì)到了一位教師的智慧和深刻，在于他善于攪動(dòng)學(xué)生思維的漣漪，把課堂的溫度建立在學(xué)生思維的深度上（思維的含量、層次、思維的強(qiáng)度）。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上主動(dòng)積極的有意義學(xué)習(xí)過(guò)程，數(shù)學(xué)問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)作為敲門(mén)磚必須使新知識(shí)與學(xué)生頭腦中已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建立自然的、內(nèi)在的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，才能擲地有聲，為情境而情境，未與數(shù)學(xué)內(nèi)容建立內(nèi)在聯(lián)系，只是牽強(qiáng)附會(huì)。本文以高中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)之一《兩角和與差的余弦公式》為例與各位同仁交流。

【教學(xué)目標(biāo)】

理解用向量方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式，并能夠初步運(yùn)用，在兩角差余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用，體會(huì)分類討論的思想、聯(lián)系與化歸思想的運(yùn)用，感悟事物之間普遍聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的關(guān)系。

【教學(xué)重點(diǎn)】

兩角差的余弦公式的推導(dǎo)與運(yùn)用。

教學(xué)環(huán)節(jié)

一、復(fù)習(xí)鞏固

1.平面向量的數(shù)量積是怎樣定義的？坐標(biāo)表示是怎樣的？

2.單位圓上點(diǎn)坐標(biāo)表示是怎樣的？

【設(shè)計(jì)意圖】為聯(lián)系向量的數(shù)量積去探索公式做鋪墊。

二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

怎樣聯(lián)系向量的數(shù)量積去猜想公式？

師生互動(dòng)探究1：不用計(jì)算器，如何求出cos15°的值？

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行角的拆分，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想向量的夾角，通過(guò)構(gòu)造向量尋求解決辦法。發(fā)現(xiàn)cos（60°-45°）=cos60°cos45°-sin60°sin45° 三、自學(xué)互學(xué)

怎樣聯(lián)系向量的數(shù)量積去探索公式？

小組合作探究2：由探究1你得到了什么啟示？你能由此猜想并推導(dǎo)cos（α-β）與sinα，cosα，sinβ，cosβ的關(guān)系嗎？

四、效果展示

教師根據(jù)學(xué)生的爭(zhēng)論加以點(diǎn)撥：

教師提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生思考：

1.設(shè)角，β的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A、B，則A、B的坐標(biāo)？

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過(guò)提問(wèn)引發(fā)學(xué)生思考，并讓學(xué)生分組活動(dòng)，相互討論，合作學(xué)習(xí)，運(yùn)用從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想將問(wèn)題層層深入，最后達(dá)到推導(dǎo)的完備，從而讓學(xué)生體驗(yàn)探究的過(guò)程，鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個(gè)向量的夾角θ與α-β的聯(lián)系與區(qū)別，并通過(guò)觀察和討論搞清楚α-β=2kπ±θ，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合、分類討論的方法解決問(wèn)題的意識(shí)，感受數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

五、自主學(xué)習(xí)

認(rèn)識(shí)公式，深化理解。

提問(wèn)：（1）細(xì)心觀察公式的結(jié)構(gòu)，它有哪些特征？

（2）公式中α，β的角的取值范圍如何？

學(xué)生觀察與思考得出：①公式中兩邊的符號(hào)正好相反（一負(fù)一正）；②公式右邊同名三角函數(shù)乘積的和；③公式中α、β是任意的；④公式的逆用也要注意。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)公式，掌握公式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，深化理解公式實(shí)質(zhì)，為靈活運(yùn)用公式奠定基礎(chǔ)。

【課后反思】

本次教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，注重考慮學(xué)生，學(xué)習(xí)今天的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，學(xué)生已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)有哪些？教學(xué)時(shí)重在激活學(xué)生頭腦中與新知識(shí)有實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，通過(guò)新舊知識(shí)之間的相互作用，啟發(fā)學(xué)生從原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中自然生長(zhǎng)出新的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)——使學(xué)生產(chǎn)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求。課堂問(wèn)題導(dǎo)學(xué)抓住了學(xué)生新知的生長(zhǎng)點(diǎn)，使學(xué)生的思維自然地插上了騰飛的翅膀，體會(huì)到了一位教師的智慧和深刻，在于他善于攪動(dòng)學(xué)生思維的漣漪，把課堂的溫度建立在學(xué)生思維的深度上（思維的含量、層次、思維的強(qiáng)度）。