張健

摘 要： 作者在對(duì)高一復(fù)習(xí)時(shí)（當(dāng)時(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了人教版必修1全部?jī)?nèi)容和必修4“三角函數(shù)”部分內(nèi)容），和學(xué)生一起學(xué)習(xí)了函數(shù)的凹凸性.本節(jié)課由課本中一道習(xí)題出發(fā)，學(xué)生運(yùn)用自身已學(xué)知識(shí)，在教師引導(dǎo)下，一步一步探究出函數(shù)的凹凸性，了解了凹凸函數(shù)的概念，掌握并有效利用了該性質(zhì).在探究過(guò)程中，可謂“步步驚心，步步受益”.最后，師生共同收獲了自信、成功和快樂(lè).

關(guān)鍵詞： 探究性學(xué)習(xí)課 凹凸性 自主學(xué)習(xí)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)探究即數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，是指學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，自主探究、學(xué)習(xí)的過(guò)程.“探究式”是一種全新的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式，與布魯諾的“發(fā)現(xiàn)式”教學(xué)法在本質(zhì)上是一致的.葉瀾教授在“中國(guó)基礎(chǔ)教育改革跨世紀(jì)思考”中倡導(dǎo)：必須超出和突破“教學(xué)特殊認(rèn)識(shí)論”的傳統(tǒng)框架.重新全面地認(rèn)識(shí)課堂教學(xué)，構(gòu)造新的課堂教學(xué)觀.這就要求教師在教學(xué)中，充分挖掘例題習(xí)題的“可探究元素”，讓學(xué)生借助原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)問(wèn)題產(chǎn)生的原因，以及解決問(wèn)題的方法.

下面這個(gè)案例是筆者的教學(xué)實(shí)錄.

一、追本溯源，初探凹凸函數(shù)的概念

師：請(qǐng)同學(xué)們完成課本（人教版第45頁(yè)）第5題.

教師巡視查看學(xué)生做題方法，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)都是用代數(shù)方法證明，也看到有些同學(xué)在那里畫(huà)圖思考.

師：同學(xué)們完成得又快又好，請(qǐng)大家想一想，從幾何視角，為什么會(huì)產(chǎn)生這種不等式，你還能舉出一些具體例子嗎？

（表?yè)P(yáng)永遠(yuǎn)是最好的鼓勵(lì)方式，拋出問(wèn)題，先從具體例子開(kāi)始，由具體到抽象，從特殊到一般的數(shù)學(xué)研究方法.）

眾生畫(huà)圖，思考.

生1：y=x.

大家齊笑，覺(jué)得這個(gè)太簡(jiǎn)單，就是剛才的y=g（x）特例.

師：其實(shí)是一很好的個(gè)例子，它最簡(jiǎn)單，又是二次函數(shù)的代表.

看到一個(gè)同學(xué)要發(fā)言，立即示意他發(fā)言.

生2：不等式的兩邊分別表示兩個(gè)自變量函數(shù)值的均值和兩個(gè)自變量均值的函數(shù)值.

師：有點(diǎn)拗口了，說(shuō)得很好，是算術(shù)平均值.

生2：對(duì)，從圖像上看，只要函數(shù)圖像時(shí)曲線，就會(huì)產(chǎn)生不等式.

師：非常棒，一語(yǔ)道破天機(jī).

生2一直是班上比較能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的學(xué)生，此時(shí)他很激動(dòng)，拉開(kāi)了全班同學(xué)的思緒.

生3：那函數(shù)可多了，我們高中學(xué)的函數(shù)都是的.

生4：比如y=，y=x.

生5：例如y=sinx，y=2.

生6：還有y=lgx，y=lnx.

生7：大家舉的例子很多，但是不等式的方向是不一樣的.

師：大家討論得很好.

生8：那還要注意函數(shù)圖像不能連續(xù)波動(dòng)，也就是所討論的區(qū)間內(nèi)，圖像不能連續(xù)波動(dòng).

師：完美補(bǔ)充.

師：下面給出凹凸函數(shù)的定義.

師：下面再看看凹凸函數(shù)的圖像特征：

生9：由圖像可知，下凸函數(shù)在其定義域中任意兩點(diǎn)x，x之間曲線位于相應(yīng)弦AB的下方，而上凸函數(shù)在其定義域中任意兩點(diǎn)x，x之間曲線位于相應(yīng)弦AB的上方.

師：這是從形狀特征的幾何解釋，大家再?gòu)膱D像切線斜率特征方面看看？

生10：下凸函數(shù)在其定義域里作曲線切線，隨x增大切線斜率增大；而上凸函數(shù)在其定義域里作曲線切線，隨x增大切線斜率減小.

師：回答得很好，我們也畫(huà)出圖像.

師：猶如我們平時(shí)爬上坡，下凸函數(shù)是越來(lái)越難爬，坡度越來(lái)越陡；而上凸函數(shù)是越來(lái)越容易爬了，坡度越來(lái)越平緩.

通過(guò)教師的引導(dǎo)，大家踴躍參與，由一道習(xí)題發(fā)散出我們所要研究的性質(zhì)，通過(guò)同學(xué)們的探究，初步了解了凹凸函數(shù)的定義和圖像特征.通過(guò)學(xué)生自己所見(jiàn)所識(shí)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)律性，更能深刻把握問(wèn)題的關(guān)鍵.

師：好的，定義了凹凸函數(shù)，你還能再挖掘一下它的性質(zhì)嗎？

生：明露難色.

師：比如前面學(xué)習(xí)過(guò)“增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)”，或者從圖像變換方面……

生11：上凸函數(shù)+上凸函數(shù)=上凸函數(shù).

生12：下凸函數(shù)+下凸函數(shù)=下凸函數(shù).

生13：要求在同一定義域內(nèi).

師：是的.

生14：函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=-f（x）的凹凸性相反.

師：很好，完善下表述.

生15：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為上凸函數(shù)，則函數(shù)y=-f（x）在區(qū)間D上為下凸函數(shù)，反之也成立.

師：與函數(shù)單調(diào)性一樣，函數(shù)的凹凸性也是函數(shù)的局部性質(zhì).

師：也正是這個(gè)性質(zhì)呢，有的文獻(xiàn)資料上只討論上凸函數(shù)的性質(zhì)，原因在此.

這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生對(duì)函數(shù)的凹凸性的認(rèn)識(shí)，從剛才的具體實(shí)例和圖像中解放出來(lái)，對(duì)該性質(zhì)有了更深刻的理解.通過(guò)教師引導(dǎo)，學(xué)生類比出相應(yīng)性質(zhì)，也反映出學(xué)生具有舉一反三、觸類旁通的能力.只要引導(dǎo)合理，就能激活學(xué)生思維，探究出“步步精彩”.

二、函數(shù)凹凸性概念的進(jìn)一步延伸

師：剛才我們完成了階段性的勝利（學(xué)生此時(shí)露出欣慰的笑容），下面繼續(xù)探討.

師：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為下凸函數(shù)（例如f（x）=x），則在D上任意取x，x，x，是否有相應(yīng)的不等式呢，即自變量增加到三個(gè).

生16：應(yīng)該有不等式f（）≤.

生17：經(jīng)驗(yàn)算，函數(shù)f（x）=x滿足該不等式.

猜想，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理很重要的方法.猜想，也需要很大勇氣，是通過(guò)類比，推理再加上大膽的假設(shè)，是一個(gè)高強(qiáng)度的思維過(guò)程，并且需要一個(gè)強(qiáng)大的內(nèi)心.

這種推廣，就像是一個(gè)新的產(chǎn)品，如果有一個(gè)人認(rèn)可了，接著就有第二個(gè)，第三個(gè)，然后更多……

師：能否繼續(xù)增加自變量呢？endprint

生18：當(dāng)然，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為下凸函數(shù)，在D上任意取x，x，x，x，有

f（）≤.

生19：要推廣到n個(gè)自變量了呢.

生20：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為下凸函數(shù)，在D上任意取n個(gè)自變量，x，x，…x，有

f（）≤.

師：大家推廣得很好，上凸函數(shù)有類似結(jié)論.

師：對(duì)于凹凸函數(shù)的一般定義，大家課下可參考一下資料，下面我們就要用性質(zhì)了.

三、從做題一小步到出題一大步的能力提高

師：請(qǐng)大家嘗試證明下列不等式：

生：（1）可設(shè)f（x）=x，證明略.

（2）可設(shè)f（x）=x，證明略.

（3）可設(shè)f（x）=|x|，證明略.

（4）可設(shè)f（x）=2，證明略.

師：同學(xué)們出色地完成了習(xí)題，下面請(qǐng)根據(jù)凹凸函數(shù)的定義和性質(zhì)，自己編題.

生21：已知x，y∈R，求證：lg≥或者變形為lg（x+y）≥lg2+.

生22：已知a，b∈R，求證：≥.

生23：已知α，β∈（0，π），求證：sin≥.

生24：已知a，b∈R，求證：≥.

生25：已知a，b∈R，求證：a+b+≤a++b+

（可設(shè)f（x）=x+（x>0））.

師：太好了，我們同學(xué)們對(duì)凹凸函數(shù)性質(zhì)的理解更進(jìn)一步了，并且能把已學(xué)的基本初等函數(shù)很好運(yùn)用在這里，實(shí)在是太好了.

學(xué)生通過(guò)對(duì)剛才例題解答，凹凸函數(shù)性質(zhì)的理解，能夠很好地把例題中的幾個(gè)基本初等函數(shù)置換成其他的基本初等函數(shù)，構(gòu)成不等式，并且有的還做了變形，體現(xiàn)學(xué)生活學(xué)活用、靈活變換的能力，也讓學(xué)生在寓學(xué)于樂(lè)的學(xué)習(xí)氛圍之中在教師的提醒、點(diǎn)撥下，做得更出色.

師：同學(xué)們能不能再構(gòu)造出新穎的、特別的不等式？可考慮用前面探討出的性質(zhì).

生26：已知f（x）=-x+cosx，設(shè)x，x∈（-，），求證：f（）≥.

師：這個(gè)不等式構(gòu)造得好，哪個(gè)來(lái)說(shuō)說(shuō)？

生27：這個(gè)不等式利用了剛才我們探究出來(lái)的性質(zhì)，可設(shè)p（x）=-x，q（x）=cosx在（-，）均為下凸函數(shù)，其和也為下凸函數(shù)，所以有不等式成立.

師：嗯，說(shuō)得好.我再來(lái)看看我們大家寫(xiě)的.

生28：已知x，y，z∈R，求證：≤（++）（可設(shè)f（x）=）.

生29：已知A，B，C為銳角，求證：tan≤（可設(shè)f（x）=tanx）.

生30：已知a，a，…，a∈R，求證：tan≥（可設(shè)f（x）=lnx）.

師：大家已經(jīng)能夠把自變量推廣到三個(gè)以上了.

此時(shí)已經(jīng)下課了，可大家仍在構(gòu)造中……

對(duì)于函數(shù)的凹凸性學(xué)習(xí)，可讓學(xué)生課下查閱相關(guān)資料，看看更一般的定義，以及相關(guān)證明方法和其他方面的應(yīng)用，讓這種探究從課堂上延續(xù)到課堂外，讓這種探究精神培養(yǎng)起來(lái)，堅(jiān)持下去.《課程標(biāo)準(zhǔn)》鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，所以只要教師堅(jiān)持“以科學(xué)探究為課程改革的突破口”的理念，就能在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探究的方法學(xué)習(xí)知識(shí)，從而真正實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生探究能力的培養(yǎng)，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004.

[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修1[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]陳光立.新課程高中教師手冊(cè)·數(shù)學(xué)[M].南京：南京大學(xué)出版社，2012.

[4]沈紅霞.探究能力培養(yǎng)例說(shuō).數(shù)學(xué)通報(bào)[J].2011，VOL50（10）.

[5]王奇南.讓課堂教學(xué)煥發(fā)出生命活力——一道習(xí)題探究教學(xué)案例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（7）.endprint

生18：當(dāng)然，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為下凸函數(shù)，在D上任意取x，x，x，x，有

f（）≤.

生19：要推廣到n個(gè)自變量了呢.

生20：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為下凸函數(shù)，在D上任意取n個(gè)自變量，x，x，…x，有

f（）≤.

師：大家推廣得很好，上凸函數(shù)有類似結(jié)論.

師：對(duì)于凹凸函數(shù)的一般定義，大家課下可參考一下資料，下面我們就要用性質(zhì)了.

三、從做題一小步到出題一大步的能力提高

師：請(qǐng)大家嘗試證明下列不等式：

生：（1）可設(shè)f（x）=x，證明略.

（2）可設(shè)f（x）=x，證明略.

（3）可設(shè)f（x）=|x|，證明略.

（4）可設(shè)f（x）=2，證明略.

師：同學(xué)們出色地完成了習(xí)題，下面請(qǐng)根據(jù)凹凸函數(shù)的定義和性質(zhì)，自己編題.

生21：已知x，y∈R，求證：lg≥或者變形為lg（x+y）≥lg2+.

生22：已知a，b∈R，求證：≥.

生23：已知α，β∈（0，π），求證：sin≥.

生24：已知a，b∈R，求證：≥.

生25：已知a，b∈R，求證：a+b+≤a++b+

（可設(shè)f（x）=x+（x>0））.

師：太好了，我們同學(xué)們對(duì)凹凸函數(shù)性質(zhì)的理解更進(jìn)一步了，并且能把已學(xué)的基本初等函數(shù)很好運(yùn)用在這里，實(shí)在是太好了.

學(xué)生通過(guò)對(duì)剛才例題解答，凹凸函數(shù)性質(zhì)的理解，能夠很好地把例題中的幾個(gè)基本初等函數(shù)置換成其他的基本初等函數(shù)，構(gòu)成不等式，并且有的還做了變形，體現(xiàn)學(xué)生活學(xué)活用、靈活變換的能力，也讓學(xué)生在寓學(xué)于樂(lè)的學(xué)習(xí)氛圍之中在教師的提醒、點(diǎn)撥下，做得更出色.

師：同學(xué)們能不能再構(gòu)造出新穎的、特別的不等式？可考慮用前面探討出的性質(zhì).

生26：已知f（x）=-x+cosx，設(shè)x，x∈（-，），求證：f（）≥.

師：這個(gè)不等式構(gòu)造得好，哪個(gè)來(lái)說(shuō)說(shuō)？

生27：這個(gè)不等式利用了剛才我們探究出來(lái)的性質(zhì)，可設(shè)p（x）=-x，q（x）=cosx在（-，）均為下凸函數(shù)，其和也為下凸函數(shù)，所以有不等式成立.

師：嗯，說(shuō)得好.我再來(lái)看看我們大家寫(xiě)的.

生28：已知x，y，z∈R，求證：≤（++）（可設(shè)f（x）=）.

生29：已知A，B，C為銳角，求證：tan≤（可設(shè)f（x）=tanx）.

生30：已知a，a，…，a∈R，求證：tan≥（可設(shè)f（x）=lnx）.

師：大家已經(jīng)能夠把自變量推廣到三個(gè)以上了.

此時(shí)已經(jīng)下課了，可大家仍在構(gòu)造中……

對(duì)于函數(shù)的凹凸性學(xué)習(xí)，可讓學(xué)生課下查閱相關(guān)資料，看看更一般的定義，以及相關(guān)證明方法和其他方面的應(yīng)用，讓這種探究從課堂上延續(xù)到課堂外，讓這種探究精神培養(yǎng)起來(lái)，堅(jiān)持下去.《課程標(biāo)準(zhǔn)》鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，所以只要教師堅(jiān)持“以科學(xué)探究為課程改革的突破口”的理念，就能在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探究的方法學(xué)習(xí)知識(shí)，從而真正實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生探究能力的培養(yǎng)，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力.

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[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修1[M].北京：人民教育出版社，2007.

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[4]沈紅霞.探究能力培養(yǎng)例說(shuō).數(shù)學(xué)通報(bào)[J].2011，VOL50（10）.

[5]王奇南.讓課堂教學(xué)煥發(fā)出生命活力——一道習(xí)題探究教學(xué)案例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（7）.endprint

生18：當(dāng)然，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為下凸函數(shù)，在D上任意取x，x，x，x，有

f（）≤.

生19：要推廣到n個(gè)自變量了呢.

生20：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為下凸函數(shù)，在D上任意取n個(gè)自變量，x，x，…x，有

f（）≤.

師：大家推廣得很好，上凸函數(shù)有類似結(jié)論.

師：對(duì)于凹凸函數(shù)的一般定義，大家課下可參考一下資料，下面我們就要用性質(zhì)了.

三、從做題一小步到出題一大步的能力提高

師：請(qǐng)大家嘗試證明下列不等式：

生：（1）可設(shè)f（x）=x，證明略.

（2）可設(shè)f（x）=x，證明略.

（3）可設(shè)f（x）=|x|，證明略.

（4）可設(shè)f（x）=2，證明略.

師：同學(xué)們出色地完成了習(xí)題，下面請(qǐng)根據(jù)凹凸函數(shù)的定義和性質(zhì)，自己編題.

生21：已知x，y∈R，求證：lg≥或者變形為lg（x+y）≥lg2+.

生22：已知a，b∈R，求證：≥.

生23：已知α，β∈（0，π），求證：sin≥.

生24：已知a，b∈R，求證：≥.

生25：已知a，b∈R，求證：a+b+≤a++b+

（可設(shè)f（x）=x+（x>0））.

師：太好了，我們同學(xué)們對(duì)凹凸函數(shù)性質(zhì)的理解更進(jìn)一步了，并且能把已學(xué)的基本初等函數(shù)很好運(yùn)用在這里，實(shí)在是太好了.

學(xué)生通過(guò)對(duì)剛才例題解答，凹凸函數(shù)性質(zhì)的理解，能夠很好地把例題中的幾個(gè)基本初等函數(shù)置換成其他的基本初等函數(shù)，構(gòu)成不等式，并且有的還做了變形，體現(xiàn)學(xué)生活學(xué)活用、靈活變換的能力，也讓學(xué)生在寓學(xué)于樂(lè)的學(xué)習(xí)氛圍之中在教師的提醒、點(diǎn)撥下，做得更出色.

師：同學(xué)們能不能再構(gòu)造出新穎的、特別的不等式？可考慮用前面探討出的性質(zhì).

生26：已知f（x）=-x+cosx，設(shè)x，x∈（-，），求證：f（）≥.

師：這個(gè)不等式構(gòu)造得好，哪個(gè)來(lái)說(shuō)說(shuō)？

生27：這個(gè)不等式利用了剛才我們探究出來(lái)的性質(zhì)，可設(shè)p（x）=-x，q（x）=cosx在（-，）均為下凸函數(shù)，其和也為下凸函數(shù)，所以有不等式成立.

師：嗯，說(shuō)得好.我再來(lái)看看我們大家寫(xiě)的.

生28：已知x，y，z∈R，求證：≤（++）（可設(shè)f（x）=）.

生29：已知A，B，C為銳角，求證：tan≤（可設(shè)f（x）=tanx）.

生30：已知a，a，…，a∈R，求證：tan≥（可設(shè)f（x）=lnx）.

師：大家已經(jīng)能夠把自變量推廣到三個(gè)以上了.

此時(shí)已經(jīng)下課了，可大家仍在構(gòu)造中……

對(duì)于函數(shù)的凹凸性學(xué)習(xí)，可讓學(xué)生課下查閱相關(guān)資料，看看更一般的定義，以及相關(guān)證明方法和其他方面的應(yīng)用，讓這種探究從課堂上延續(xù)到課堂外，讓這種探究精神培養(yǎng)起來(lái)，堅(jiān)持下去.《課程標(biāo)準(zhǔn)》鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，所以只要教師堅(jiān)持“以科學(xué)探究為課程改革的突破口”的理念，就能在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探究的方法學(xué)習(xí)知識(shí)，從而真正實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生探究能力的培養(yǎng)，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004.

[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修1[M].北京：人民教育出版社，2007.

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