談?wù)劺锰卣鞲蠼鈹?shù)列通項(xiàng)

曹麗萍

一、形如an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）的一階線性式

其特征方程為x=px+q，特征根為α.

方法一：通過(guò)待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)化成an+1+m=p（an+m），

如an+1=3an+6，設(shè)an+1+m=3（an+m），利用兩式等價(jià)得m=3，即原式可轉(zhuǎn)化為an+1+3=3（an+3），即數(shù)列an+3是以3為公比的等比數(shù)列.

方法二：兩邊同時(shí)減去特征根α，也可將已知轉(zhuǎn)化成an+1+m=p（an+m）.

如an+1=-2an+6，特征方程為x=-2x+6，x=2，同時(shí)減2得an+1-2=-2（an-2）.

例1 已知a1=3，an+1=-3an+8，求an.

方法一： 設(shè)an+1+m=-3（an+m），利用兩式等價(jià)，

可得m=-2，即數(shù)列an-2是以-3為公比的等比數(shù)列，

則an-2=（a1-2）（-3）n-1=（-3）n-1，

所以an=（-3）n-1+2.

方法二：特征方程：x=-3x+8，x=2.

同時(shí)減去2，得an+1-2=-3（an-2） ，接下來(lái)同上.

二、形如an+1=Aan+BCan+D的分式線性式

對(duì)于數(shù)列an=Aan+BCan+D，其特征方程為x=Ax+BCx+D，特征根為α，β

（1） 若α≠β，可對(duì)an+1=Aan+BCan+D同時(shí)減去特征根，

得an+1-α=Aan+BCan+D-α，an+1-β=Aan+BCan+D-β，

相除后可化簡(jiǎn)得an+1-αan+1-β=c·an-αan-β，

{an-αan-β}為等比數(shù)列，最后求解通項(xiàng)an-αan-β，可求得an.

當(dāng)然在已知{an-αan-β}為等比數(shù)列的前提下，也可利用待定系數(shù)法求解（其中c是待定常數(shù)），即設(shè)

an+1-αan+1-β=c·an-αan-β，代入a1，a2的值可求得c值即可.

結(jié)論：數(shù)列{an-αan-β}是首項(xiàng)為a1-αa1-β，公比為c的等比數(shù)列，于是這樣可求得an.

（2）若α=β，同時(shí)減去特征根α，

即得an+1-α=Aan+BCan+D-α，

兩邊同時(shí)取倒數(shù)，可化成1an+1-α=1an-a+c，

這樣數(shù)列{1an+1-α}是首項(xiàng)為1a1-α，公差為c的等差數(shù)列.

當(dāng)然在已知數(shù)列{1an-α}是等差數(shù)列，可假設(shè)1an+1-α=1an-α+c（其中c是待定常數(shù)），代入a1，a2的值可求得c值.

結(jié)論 數(shù)列{1an-α}是首項(xiàng)為1a1-α公差為c的等差數(shù)列，于是這樣可求得an.

例2 已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an=an-1+22an-1+1（n≥2），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an.

解 其特征方程為x=x+22x+1，化簡(jiǎn)得2x2-2=0，

解得x1=1，x2=-1.

則an+1=an-1+22an-1+1+1，an-1=an-1+22an-1+1-1，

相除化簡(jiǎn)得an-1an+1=-

13（an-1an+1），

所以數(shù)列{an-1an+1}是以a1-1a1+1=13為首項(xiàng)，

以-13為公比的等比數(shù)列，

所以an-1an+1=13·（-13）n-1，

所以an=

3n-（-1）n3n+（-1）n.

思考 對(duì)于數(shù)列an+1=Aan+BCan+D，其特征方程為x=Ax+BCx+D，若無(wú)實(shí)特征根，則會(huì)是什么情況呢？（個(gè)人猜想是周期數(shù)列，有待驗(yàn)證）

三、形如an+2=pan+1+qan（p，q是常數(shù)）的二階線性式

形如a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan（p，q是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)an，其特征方程為x2=px+q…①.

若①有二異根α，β，則可令an=c1αn+c2βn（c1，c2是待定常數(shù)）;

若①有二重根α=β，則可令an=（c1+nc2）αn（c1，c2是待定常數(shù)）.

再利用a1=m1，a2=m2，可求得c1，c

2，進(jìn)而求得an.

例3 已知數(shù)列{an}滿足a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an.

解 其特征方程為x2=3x-2，解得x1=1，x2=2，

令an=c1·1n+c2·2n，

由a1=c1+2c2=2，

a2=c1+4c2=3，得c1=1，

c2=12.

所以an=1+2n-1

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四、形如an+2=pan+1+qan+m的二階式

先利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為an+2+c=p（an+1+c）+q（an+c），令bn=an+c，即bn+2=pbn+1+qbn，利用題型三方法求解.