何天榮 胡春梅

【摘要】通過引入“領(lǐng)域”和“重域”兩個概念，由此引入了粗糙模糊集的新截集：λ-下重截集，λ-上重截集.本文給出了粗糙模糊集的上重截集和下重截集的運算性質(zhì)，性質(zhì)的證明可以參照粗糙模糊集上截集的運算性質(zhì)的證明方法，將在另文中討論.

【關(guān)鍵詞】粗糙集;模糊集;粗糙模糊集;截集

【基金資助】云南省教育廳科學(xué)研究基金教師類項目《粗糙模糊集構(gòu)造性質(zhì)的推廣研究》（項目編號：2019J0384）

一、粗糙集的基本概念

1.知識與知識庫

定義1 設(shè)U≠是一個有限非空集合，集合的元素是我們所感興趣的對象，我們稱U為論域，稱滿足條件XU的U中的任何子集稱為U的一個概念.為理論表述上的規(guī)范化起見，將空集也稱為一個概念，U中的抽象知識表示的是U中的任何子集族，即稱U中的任意子集族皆為U中的抽象知識，簡稱為知識.粗糙集理論只對論域U上可以形成劃分的那些知識感興趣，為理論表述的嚴(yán)謹(jǐn)性，將劃分定義為：σ={X1，X2，…，Xn}，Xi∈U，Xi≠，Xi∩Xj=，規(guī)定：i≠j;i，j=1，2，…，n，∪ni=1Xi=U.

所謂U的一個知識庫（Knowledge Base）表示的是U上的一族劃分.由此可見，一個知識庫表示的就是一個關(guān)系系統(tǒng)K=（U，R），其中，U表示某個非空的有限集合，稱其為論域，R表示的是U上的某個等價關(guān)系.

2.基本范疇

設(shè)R為U上的某一個等價關(guān)系（或者稱為不可分辨關(guān)系），將由R的所有等價類構(gòu)成的集合記為 U/R.[x]R表示的是包含滿足關(guān)系x∈U的所有元素的R等價類.

設(shè)PR，且P非空，則稱∩P（P中所有等價關(guān)系的交集）為P上的不可區(qū)分關(guān)系，記為ind（P），顯然有如下關(guān)系：[x]ind（P）=∩R∈P[x]R.

稱ind（P）的等價關(guān)系為知識P的基本概念或稱為基本范疇.

3.粗糙集

令X是U的某個子集，即XU，R表示U上的某個等價關(guān)系，若X可以由R的某些基本概念（或稱范疇）并集，我們將X稱為可定義集或精確集，否則稱X為粗糙集.

設(shè)K=（U，R）為一給定的知識庫，對U的任意子集XU及任何等價關(guān)系R∈ind（K），將以下兩子集R-X={x∈U|[x]RX}及R-X={x∈U|[x]R∩X≠}分別稱為X的R下近似集和X的R上近似集.

二、模糊集的基本概念

1.模糊子集

設(shè)A是論域，映射A：Y→[0，1]稱為Y的一個模糊子集，簡稱為F集.稱映射A為F集A的隸屬函數(shù)，稱A（x）為y關(guān)于A的隸屬度.

2.截集

設(shè)A∈F（Y），λ∈[0，1]，我們稱Aλ={y∈Y|A（y）≥λ}為A的λ-截集，稱Asλ={y∈Y|A（y）>λ}為A的λ-強截集.

三、粗糙模糊集及截集

1.粗糙模糊集

粗糙模糊集是在Pawlak近似空間（U，R）的論域U上定義一個等價關(guān)系 R，對論域U上的某個模糊集合A用粗糙集理論方法來研究，即定義該模糊集合的下近似A及上近似A;可得A關(guān)于（U，R）的下近似A以及上近似A其實就是（U，R）上的一對模糊集合，將這對模糊集合的隸屬函數(shù)分別定義為

A（x）=inf{A（y）|y∈[x]R}x∈UA（x）=sup{A（y）|y∈[x]R} x∈U

其中，[x]R表示元素x在關(guān)系R下的等價類.若A=A，則稱A是可定義集，否則稱A是粗糙模糊集（Rough Fuzzy Sets）.

2.粗糙模糊集的上重截集及下重截集

設(shè)A是論域U上的一個模糊集，λ∈[0，1].

（1）A[λ]={x|x∈U，A（x）≥λc}，

As[λ]={x|x∈U，A（x）>λc}，

A[λ]={x|x∈U，A（x）≥λc}，

As[λ]={x|x∈U，A（x）>λc}，

分別稱為A，A的λ-下重截集，強λ-下重截集.

（2）A[λ]={x|x∈U，A（x）<λc}，A[λ]s={x|x∈U，A（x）≤λc}，

A[λ]={x|x∈U，A（x）<λc}，A[λ]s={x|x∈U，A（x）≤λc}.

分別稱為A，A的λ-上重截集，強λ-上重截集.其中λc=1-λ.

四、粗糙模糊集截集的運算性質(zhì)

以下運算指的是Zadeh算子定義的運算，A，At，At表示U上的粗糙模糊集，α，λ，λ1，λ2表示[0，1]中的實數(shù)，∨=sup，∧=inf.

粗糙模糊集共有四種截集形式，對應(yīng)于四種截集形式，都有相應(yīng)的運算性質(zhì)成立.關(guān)于上截集和下截集形式的運算性質(zhì)我們將在另文中討論，本文性質(zhì)可以根據(jù)粗糙模糊集上截集運算性質(zhì)的相關(guān)證明方法及參考相關(guān)文獻(xiàn)資料類似證明.

為了節(jié)省篇幅，對以下兩個運算性質(zhì)只給出上重截集形式的粗糙模糊集運算性質(zhì)的證明，下重截集形式的粗糙模糊集的運算性質(zhì)可以用完全類似于上重截集形式的運算性質(zhì)加以證明.

1.粗糙模糊集上重截集的運算性質(zhì)

（1）（A∪B）[λ]=A[λ]∪B[λ]，（A∪B）[λ]=A[λ]∪B[λ];

（A∩B）[λ]=A[λ]∩B[λ]，（A∩B）[λ]=A[λ]∩B[λ];

（A∪B）s[λ]=As[λ]∪Bs[λ]，（A∪B）s[λ]=As[λ]∪Bs[λ];

（A∩B）s[λ]=As[λ]∩Bs[λ]，（A∩B）s[λ]=As[λ]∩Bs[λ].