《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》.（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，……，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者…….”《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)學(xué)生的解題能力的要求不斷加強(qiáng)，而提高學(xué)生解題能力離不開(kāi)教師的正確引導(dǎo).

通過(guò)所學(xué)知識(shí)引導(dǎo)

每一道題目都有它考查的知識(shí)點(diǎn).如果弄清楚了題目所考查的知識(shí)點(diǎn).我們就可以將思維集中到該知識(shí)點(diǎn)上.以更有效地尋求解題的突破口.

1.原題呈現(xiàn)

（2）既然不能分別代入求值，我們還可以用什么方法求解呢？我們?cè)诤瘮?shù)部分學(xué)過(guò)哪些知識(shí)？

（3）本題和函數(shù)的哪些性質(zhì)關(guān)聯(lián)度最大？你認(rèn)為本題考查函數(shù)的哪些性質(zhì)呢？

通過(guò)對(duì)以上問(wèn)題的思考，學(xué)生經(jīng)過(guò)排除能聯(lián)想到用函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性來(lái)解題.（本題顯然不是利用函數(shù)的單調(diào)性和周期性，函數(shù)的奇偶性描述的是在定義域內(nèi)f（x）與f（-x）的關(guān)系，而在本題中函數(shù)自變量的取值均為正實(shí)數(shù)，故可排除之.）所以，我們就應(yīng)該將思維集中到函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性這一性質(zhì)上，然后觀察函數(shù)的自變量之間是否有某種關(guān)系.經(jīng)過(guò)以上一系列的思考，學(xué)生自然

3.教學(xué)啟示

波利亞曾說(shuō)過(guò)“不要立即吐露你的全部秘密，讓學(xué)生在你說(shuō)出來(lái)之前先動(dòng)腦去想，去猜，不要強(qiáng)迫別人去接受（給學(xué)生充分鍛煉的機(jī)會(huì)，因?yàn)榻虒W(xué)最終目的是培養(yǎng)學(xué)生，而不是老師才能的炫耀）.”《新加坡數(shù)學(xué)教學(xué)50年》一文（作者：黃興豐、金英子）也指出：“為了培養(yǎng)一個(gè)成功的問(wèn)題解決者，你們說(shuō)什么最重要呢？如果你們問(wèn)我，我覺(jué)得是做決定的能力，要允許學(xué)生自己做決定，”以上通過(guò)兩種教學(xué)方法講解了例1.這兩

4.教學(xué)啟示

在本例中.我們發(fā)現(xiàn)例2的難度較大，直接講解學(xué)生比較難以接受.理解程度不深，通過(guò)先講解變題（1）讓學(xué)生理解這一類(lèi)問(wèn)題的解題思想、方法，再來(lái)講解例2.學(xué)生不但能夠深刻地理解例2的解題思想、方法，而且關(guān)鍵是能夠主動(dòng)建構(gòu)出△ABC的面積函數(shù)關(guān)系式.由此看來(lái)，通過(guò)降低題目的難度引導(dǎo)學(xué)生解題是一種很有效的教學(xué)方法.

《數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的三個(gè)層次》一文（作者：陳柏良）認(rèn)為數(shù)學(xué)認(rèn)知理解有三個(gè)層次：操作性理解、關(guān)系性理解和遷移性理解.本案例對(duì)上述問(wèn)題的探究很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的這三個(gè)層次.

（1）在變題（1）中學(xué)生利用數(shù)學(xué)的基本概念、原理和方法得出△AOB面積的最大值，對(duì)知識(shí)的掌握屬于操作性理解，即能夠運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決一些識(shí)記性與操作性步驟比較強(qiáng)的簡(jiǎn)單的問(wèn)題：

（2）例2是在變題（1）的基礎(chǔ)上加以變化，將d的取值范圍由一個(gè)確定的取值范圍變?yōu)殡S著m的變化而變化的取值范圍，對(duì)知識(shí)的掌握屬于關(guān)系性理解，即學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)有比較深刻的認(rèn)識(shí)，能夠把握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律：

（3）變題（2）是去除向量這一知識(shí)的包裝.將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為探求圓的弦心距及弦長(zhǎng)的關(guān)系問(wèn)題，即將問(wèn)題化歸為變題（1）和例2這類(lèi)問(wèn)題，進(jìn)而得解，對(duì)知識(shí)的掌握屬于遷移性理解，即學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，能夠?qū)?shù)學(xué)思想、方法以及所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)遷移到別的情景，能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

通過(guò)題目中所求的問(wèn)題引導(dǎo)

波利亞在《怎樣解題》一書(shū)中論述怎樣解題時(shí)開(kāi)列的“清單”為：“未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？”波利亞還指出：如果你不能解決所提問(wèn)題，首先嘗試去解決某個(gè)與此相關(guān)的問(wèn)題.嘗試去引入某種能作為中間過(guò)渡踏腳石的更簡(jiǎn)單的練習(xí).

根據(jù)波利亞在《怎樣解題》一書(shū)中論述怎樣解題時(shí)所開(kāi)列的“清單”，我們?cè)诜治隼?時(shí)還可以通過(guò)以下幾個(gè)“踏腳石”引導(dǎo)學(xué)生：

蘇格拉底說(shuō)“教育不是灌輸.而是點(diǎn)燃火焰.”《標(biāo)準(zhǔn)》提出“人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)等思維過(guò)程.”在數(shù)學(xué)解題時(shí)，經(jīng)過(guò)教師的引導(dǎo)、啟發(fā)，學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、分析問(wèn)題能力和解決問(wèn)題能力.