摘要：教師在組織解題教學(xué)時，通常會出現(xiàn)“教學(xué)脫節(jié)”情形，對此何小亞教授在指導(dǎo)學(xué)生時提出“初等化”方法，核心是“為學(xué)生準備合適的數(shù)學(xué)，以符合學(xué)生認知基礎(chǔ)的形式講授數(shù)學(xué)”.由于教師和學(xué)生認知基礎(chǔ)的差異性，“初等化”方法應(yīng)用有其內(nèi)在規(guī)律，使用時應(yīng)注意“構(gòu)建認知平臺，關(guān)注數(shù)學(xué)化，為學(xué)生思維留白”.

關(guān)鍵詞：教學(xué)脫節(jié)；解題教學(xué)；初等化：數(shù)學(xué)化

我們在組織解題教學(xué)時通常會有這樣的經(jīng)歷：一道試題，教師從不同的角度反復(fù)給學(xué)生講解，教師十分辛苦，學(xué)生卻不甚明了，教師急，學(xué)生迷茫.這種情形我們稱之為“教學(xué)脫節(jié)”.其根源是教師的認知基礎(chǔ)與學(xué)生的認知基礎(chǔ)存在落差，表現(xiàn)出學(xué)生跟不上教師的思維節(jié)奏，對此華南師范大學(xué)何小亞教授在指導(dǎo)學(xué)生時提出“初等化”的方法.其要義是“為學(xué)生準備合適的數(shù)學(xué).以符合學(xué)生認知基礎(chǔ)的形式講授數(shù)學(xué)”.

美國學(xué)者吉姆·費（JimFey）認為“把數(shù)學(xué)的概念、原理、技能和說理方法翻譯成可以為大多數(shù)學(xué)生所掌握的樣子”，其中蘊涵的思維方式也是“初等化”，即川淺顯易懂的原理，將一些復(fù)雜的問題解釋清楚，讓學(xué)生易于理解，在進行數(shù)學(xué)解題教學(xué)時，我們不妨借助“初等化”的方法，對試題解決的思維方式進行轉(zhuǎn)化，降低學(xué)生認知門檻，讓學(xué)生易于接受.下面以課堂教學(xué)的一個片斷為例.談淡個人的看法.

教學(xué)片斷

一位數(shù)學(xué)教師課堂解題教學(xué)片斷.試題：下列四個命題中：①a+b≥

分析：本題答案是②和④，但是學(xué)生對于答案②卻難以接受，原因是取不到“=”，對學(xué)生的困惑，教師給予了解釋，教學(xué)過程整理如下：

（教師對該問題認識不足，認為提一下學(xué)生就懂，結(jié)果學(xué)生沒反應(yīng).）

教師：特殊化處理2>1，所以2≥l成立.

（學(xué)生還不明白，因為在學(xué)生意識中2≠l，教師有點急.）

教師：問題的癥結(jié)是“只要解釋清2≥1”即可，我們先來看：若a≥b>c成立，則a≥c成立.

（學(xué)生茫然，因為a>c，a≠c，解釋陷入前面兩個解釋中，教師真急了.）

教師：我們換個角度看，不妨從命題角度，命題“2≥l”，其實質(zhì)是“2=1或2>1”，即這是一個復(fù)合命題，p和q中有一個命題為真時，“p或q”即真，命題“2=1或2>1”中，命題“2>1”為真，所以命題“2≥l”

（學(xué)生稍微明白，部分學(xué)生面露喜色，教師到此心里釋然，思維也開闊起來，又繼續(xù)從命題角度研究.）

教師：我們再從命題角度看，若“p真，則非p假”，若“p假，則非p真”.因為命題“2

（到此學(xué)生明白，教師也輕松起來，思維隨之打開.）

教師：下面我們從問題的反面出發(fā)來看.假設(shè)“2≥1”不對.則“2<1”必對.

（學(xué)生會心一笑，恍然大悟，正符合“正難則反”的解題策略.）

點評：我們姑且不論教學(xué)效果如何，顯然課前教師準備不足，沒有意識到在該問題上.教師的認知基礎(chǔ)遠高于學(xué)生的認知基礎(chǔ).在這一過程中教師沿著慣性思維從邏輯的角度去解釋，而這一點恰是學(xué)生所缺失的.學(xué)生更習(xí)慣于從認知的角度來思考.由于二者的差異導(dǎo)致教學(xué)脫節(jié).

教師前三次的解釋均陷入相同的困境，即給學(xué)生構(gòu)建抽象的數(shù)學(xué)理解，導(dǎo)致學(xué)生接受缺失認知平臺.而從“真值表”的角度來解釋，對學(xué)生而言是蒼白的.事實上學(xué)生懷疑的就是“真值表”.后來教師的解釋演變?yōu)槟Ｊ阶R別，是基于熟練掌握模式基礎(chǔ)上的應(yīng)用，它應(yīng)是學(xué)生訓(xùn)練成果的呈現(xiàn)，這需要一個過程，在模式識別的基礎(chǔ)上，教師從學(xué)生心理認知角度出發(fā)，嘗試從命題的反面人手.對問題思維層次進行簡化.提出“正難則反”的解題策略，效果比較好.

我們能否嘗試借助“初等化”的方法.從學(xué)生心理認知的角度對上述教學(xué)過程進行優(yōu)化重組呢？不妨一試.

教學(xué)視角調(diào)整

以學(xué)生心理認知為基礎(chǔ)，采用“初等化”的方法進行研究，

嘗試1：我們從生活實例角度看，班級舉行數(shù)學(xué)競賽，規(guī)定：得分不少于120分的同學(xué)獲一等獎，小明得分為130分，問小明得幾等獎？請用數(shù)學(xué)的語言描述出來.

分析：記學(xué)生得分為x，當(dāng)x≥120時獲一等獎，小明得130分，為130≥120，所以小明獲一等獎，在這一過程中.從生活實例入手，引入數(shù)學(xué)符號，進而構(gòu)造不等關(guān)系，學(xué)生不自覺接受了130≥120這一結(jié)果，

嘗試2：我們從算法角度看，蘇教版《必修3》教材P14練習(xí)2：用Ni表示第i個學(xué)生的學(xué)號，Gi表示第i個學(xué)生的成績（i=1，2，…，50），圖1的流程圖表示了一個什么樣算法？

分析：這是教材一道練習(xí)題，借助教材中的實例，學(xué)生直觀感知，在這一過程中.不自覺地就可以接受90≥80的事實，進而就解決掉了2≥l問題.

點評：上面兩個嘗試，我們借助學(xué)生已有的生活體驗，將一個抽象的數(shù)學(xué)問題，演變?yōu)閷W(xué)生的生活感悟，其間不自覺地運用了“初等化”的方法，學(xué)生在不經(jīng)意間接受了“2≥1”這一事實.自然而然地解決了問題.

下面我們再嘗試從邏輯角度，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維進行提升和發(fā)展.

嘗試3：從復(fù)合命題角度看，命題“2≥1”，其實質(zhì)是“2=1或2>1”，即為這是一個復(fù)合命題，“p和q”中有一個命題為真時，“p或q”即真.

嘗試4：從逆否命題角度看，若“p真，則非p假”，若“p假，則非p真”，

嘗試5：從命題否定角度看，看問題的反面，假設(shè)“2≥1”不對，則“2<1”必對，顯然這是錯的，所以2≥1正確，

嘗試6：從不等式角度看，若a≥b>c成立.則a≥c成立.

點評：經(jīng)過上述幾個視角的變換，學(xué)生從生活經(jīng)驗到感性體驗，從感性體驗到理性認知.從理性認知到符號抽象，從符號抽象到邏輯演繹，經(jīng)歷了一個螺旋上升的過程，其間從學(xué)生經(jīng)驗基礎(chǔ)做起.逐漸向數(shù)學(xué)化過渡，數(shù)學(xué)思維逐層遞進，這一過程可以說是數(shù)學(xué)抽象問題“初等化”的逆過程，符合學(xué)生的心理認知，便于問題解決，又使學(xué)生數(shù)學(xué)思維得到發(fā)展.

教學(xué)反思

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，由于教師與學(xué)生的認知基礎(chǔ)存在著落差，一般來說教師的起點高一些，學(xué)生的起點低一些.借助“初等化”的方法，從學(xué)生原有認知基礎(chǔ)組織教學(xué)，有助于學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的重建，達到固本培元的效果，但“初等化”方法的使用也有要求，在運用時要遵循其內(nèi)在規(guī)律.才能達到最佳效果，

首先，“初等化”方法應(yīng)用需要構(gòu)建認知平臺.學(xué)生的認知水平與其獲得的學(xué)習(xí)經(jīng)驗是密不可分的.應(yīng)用“初等化”方法進行解題教學(xué)時，需要教師找出學(xué)生認知起點，即從學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)搭建認知平臺，這種認知平臺有時是基于學(xué)生生活經(jīng)驗積累和生活實際需求而產(chǎn)生的.在進行解題教學(xué)時要善于把學(xué)生在生活中獲得的經(jīng)驗、能力引入解題教學(xué)中，把課堂中的數(shù)學(xué)問題以生活化的形態(tài)呈現(xiàn).化抽象的數(shù)學(xué)問題為易于學(xué)生理解的事例，學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗也是建構(gòu)認知平臺的基礎(chǔ).解題教學(xué)中我們可以利用符號運算、構(gòu)建圖形、畫流程圖、動態(tài)模擬演示等輔助手段，建立與學(xué)生原有知識的聯(lián)系，搭建新的認知結(jié)構(gòu)與舊的認知結(jié)構(gòu)之間的連線，實現(xiàn)解題的“初等化”處理.

其次，‘初等化”方法應(yīng)用還需要關(guān)注數(shù)學(xué)化，“初等化”方法盡管可以通過生活經(jīng)驗和生活實例來實現(xiàn)，但數(shù)學(xué)解題中的“初等化”最終目的在于“落實數(shù)學(xué)化，即對數(shù)學(xué)本身的數(shù)學(xué)化”.我們通過數(shù)學(xué)符號語言表述和邏輯演繹來呈現(xiàn)數(shù)學(xué)化，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的嚴謹性，符號語言作為數(shù)學(xué)中通用的特有語言.是數(shù)學(xué)抽象性的一種表現(xiàn)，是數(shù)學(xué)化的一種呈現(xiàn)，由于數(shù)學(xué)中的每一道試題都有嚴格的推理，邏輯演繹呈現(xiàn)了這種推理的過程，體現(xiàn)出對數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)關(guān)系的整合，是數(shù)學(xué)化的高端呈現(xiàn).這種數(shù)學(xué)化的過程利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成.因此我們在進行“初等化”處理的同時更應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)化，回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)去.

再者.“初等化”方法應(yīng)用需要為學(xué)生思維留白.在解題教學(xué)中“初等化”方法是從學(xué)生的認知基礎(chǔ)人手，有效降低了教師與學(xué)生在認知基礎(chǔ)上的差異，使學(xué)生解題產(chǎn)生頓悟，獲得學(xué)習(xí)的喜悅.但這一過程由于教師的干預(yù)，學(xué)生學(xué)習(xí)相對被動，數(shù)學(xué)思維發(fā)展被“掐尖”，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升，因此教師在進行解題教學(xué)時，“初等化”的過程推出要慢一些.給學(xué)生留下思考的空間.甚至這種過程放手給學(xué)生來完成.教師要學(xué)會做一個指導(dǎo)者，借助自己較高的認知基礎(chǔ)，幫助學(xué)生建構(gòu)認知平臺，形成科學(xué)的思維體系.有時教師可以留出大塊的時間給學(xué)生靜思，學(xué)生通過對學(xué)習(xí)內(nèi)容進行更高層次的深度思維，利于理解、感悟，有利于對文本的多元化、個性化的解讀.