摘要：多元最值問題是指含有多個變量的最大值、最小值或取值范圍的求解問題，此類問題涉及的知識面較廣，綜合性較強，對學(xué)生的能力要求較高，因此，解決的難度較大，常常令很多學(xué)生望題生畏.但仔細剖析題目中條件與結(jié)論的特點，探尋解決多元最值問題還是有章可循的，筆者結(jié)合平時的教學(xué)實踐，通過舉例的方式分析解決此類問題一些方法與策略.

關(guān)鍵詞：多元最值問題；消元法；判別式法；整體代入法；換元法；數(shù)形結(jié)合法；不等式法

消元法

例1（2012揚州市一模）若x，y，z∈R，x+y+z=l，X2+y2+z2=3，求xyz的最大值.

解：由x+y+z=l，得（y+z）2=（1-x）2，即y2+z2=（l-x）2-2yz.又X2+y2+z2=3，所以2yz=（1-x）2-（3-x2）=2（X2-X-1），于是XyZ=X（X2-X-l ）=X3-X2-X.令f（x）=X3-X2-X，則f'（x）=3x2-2x-l.由f'（x）：0得x=-1/3

評注：消元法是處理多元最值問題的最基本思想方法，題中含有三個變量.用一個變量表示另外兩個量比較煩瑣，但根據(jù)題中條件的輪換性，可用其中一個量表示出另外兩個變量的積，從而達到消元的目的.

判別式法

例2 定義min{x，y}為x，y中較小的 評注：一般來說，最值函數(shù)的最值在兩函數(shù)圖象相交的交點處取得.通過這一關(guān)系構(gòu)造一元二次方程.結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)的性質(zhì).由判別式的取值非負求得結(jié)果.當(dāng)然，本題也可利用基本不等式求解.

整體代入法

例3已知實數(shù)a，b滿足a2-ab+b2=3.求a2+ab+b2的最大值與最小值.

解：將a2-ab+b2=3代入得，a2+ab+b2=（3+ab）+ab=3+2ab，下面只要求出ab的最值即可.由a2-ab+b2=3得a2+2ab+b2=3+3ab，所以ab≥一1，當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|=l，ab <0時等號成立：再由a2-ab+b2=3得a2-2ab+b2=3-ab，所以ab≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號；于是一1≤如≤3，因此，（a2+ab+b2）min=1，（a2+ab+b2）max=9.

評注：根據(jù)結(jié)論與條件中數(shù)學(xué)式子結(jié)構(gòu)的特點，將條件整體代入結(jié)論的表達式，盡管不能消元，但可化簡要求解的結(jié)論.便于鎖定目標(biāo).

評注：根據(jù)三角形成立的充要條件建立不等關(guān)系式，由于條件中的三個表達式本質(zhì)上是齊次式.通過不等式的恒等變形，然后進行換元，轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的值域問題.

數(shù)形結(jié)合法

評注：數(shù)學(xué)中有些數(shù)學(xué)量的表達式都有顯著的幾何意義，如：斜率、兩點間距離等，據(jù)此構(gòu)造與之相應(yīng)的幾何圖形，采用數(shù)形結(jié)合的思想處理多元最值問題，不失為一種最佳選擇.

不等式法

（一）基本不等式法

例6（2012常州市第一學(xué)期期末）已知a，b，c均為正實數(shù)，記M：

評注：由于多元最值函數(shù)M的表達式較為復(fù)雜，抓住其中各式子間關(guān)系，利用基本不等式是解決此類問題的常用方法.

（二）柯西不等式法

評注：依據(jù)條件的特點及其關(guān)系.構(gòu)造柯西不等式應(yīng)滿足的條件.探尋多個變量間的關(guān)系，從而減少變量的個數(shù)，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)解決.

總之，多變量最值問題解決力‘法較為靈活多變，沒有固定的模式.似總的指導(dǎo)思想就是減元，盡量化為一元問題來處理，轉(zhuǎn)化的過程主要根據(jù)題中條件與結(jié)論的特征來尋找突破門：當(dāng)有些問題不能消元或消元較為煩瑣時.可通過其他方式（如判別式、數(shù)形結(jié)合等）來處理.教學(xué)中，適當(dāng)?shù)丶訌姸嘣钪祮栴}的教學(xué)，不僅有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，而且能激發(fā)學(xué)生的探究意識.培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.