摘要：恒成立問(wèn)題與存在性問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題，它們的呈現(xiàn)常伴隨著任意、存在或恒成立等詞匯，同時(shí)因?yàn)樵囶}難度的不同，呈現(xiàn)的方式也不同，它們或單獨(dú)呈現(xiàn)，或復(fù)合呈現(xiàn)，從不同的角度來(lái)考查學(xué)生對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的掌握程度.

關(guān)鍵詞：任意；存在；恒成立

有人曾經(jīng)對(duì)全國(guó)高考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行過(guò)統(tǒng)計(jì).其中有17張高考卷中出現(xiàn)了任意性或者存在性的問(wèn)題，其中詞頻最高的上海卷共出現(xiàn)了5次恒成立的問(wèn)題.而最少的試卷也至少出現(xiàn)過(guò)一次，而通看這17張高考卷，還有更多的題目可以轉(zhuǎn)化成恒成立或存在性問(wèn)題.這充分說(shuō)明恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，值得我們花一番心思去研究一下.

研究的起源：一道調(diào)研試題引發(fā)的思考

2015年鹽城市高三第一次調(diào)研考試的一道填空題觸發(fā)了筆者再一研究這一問(wèn)題的興趣，這道題是這樣的：已知f（x）是定義在[-2，2]上的奇函數(shù)，當(dāng)

這道題目能夠引發(fā)筆者好奇的原因有兩個(gè)：首先，通常情況下，恒成立問(wèn)題與存在性問(wèn)題是單獨(dú)呈現(xiàn)的，而本題則是復(fù)合呈現(xiàn)的，這無(wú)疑增加了問(wèn)題的復(fù)雜程度：其次，一般情況下，若恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題出現(xiàn)的大背景是不等式，則可用結(jié)論，例如，均有廠（x）>A恒成立，則f（x）min>A，而此題的背景卻是等式，顯然不能按常規(guī)的思路來(lái)解決.

解：函f（x）在（O，2]上是單調(diào)增函數(shù)，又因?yàn)樗趨^(qū)間[-2，2]上是奇函數(shù)，所以f（x）在[-2，0）上亦為單調(diào)增，并且與（O，2]上函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上為單調(diào)增，所以函數(shù)f （x）在區(qū)間[-2，2]的最大值為f（2）=3，最小值為f（-2）=-3，所以f（x）的值域A =[-3，3].函數(shù)g（x）的對(duì)稱

上述調(diào)研試題的解題過(guò)程，實(shí)際上為筆者研究存在性問(wèn)題和恒成立問(wèn)題指明了方向：對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的研究我們不能局限于各類(lèi)問(wèn)題的單獨(dú)求解，還應(yīng)從綜合的角度來(lái)思考兩者的復(fù)合使用：不能局限于不等式的背景下考慮這兩類(lèi)問(wèn)題.還應(yīng)從其他背景考慮這類(lèi)問(wèn)題的求解.

論的研究：解題思想的梳理與歸納

為了系統(tǒng)地梳理存在性問(wèn)題與恒成立問(wèn)題的理論知識(shí)框架，我們按由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由單獨(dú)使用到復(fù)合使用的順序逐步分析兩類(lèi)問(wèn)題.

1.兩類(lèi)問(wèn)題的基本型結(jié)論

對(duì)于恒成立問(wèn)題，符號(hào)語(yǔ)言：

3.兩類(lèi)問(wèn)題的綜合型結(jié)論

對(duì)于拓展型結(jié)論而言，即使比較函數(shù)的定義域不同，但任意和存在的詞眼是單獨(dú)存在的，隨著難度的進(jìn)一步加深，任意和存在全復(fù)合使用.

首先，等式背景下的使用.與引例

實(shí)踐的研究：理論指引求解方向

理論只能提供解題的思路，并非萬(wàn)能的良藥，數(shù)學(xué)是靈動(dòng)的.它不需要死板理論，而是要根本上理解問(wèn)題.掌握思路，因此，文章將以兩道例題來(lái)分析說(shuō)明上述理論對(duì)于恒成立與存在性問(wèn)題的指引作用.

分析：顯然這是一道存在性的問(wèn)題，將題設(shè)進(jìn)行同意轉(zhuǎn)化可得：在定義域R上，存在實(shí)數(shù)a和b使f（a）=g（b），由于f（x）在R上的值域?yàn)椋ㄒ籰，+∞），顯然若g（b）的取值范圍為（-∞，一1），則不滿足題意，因此，g（b）>一1.

反思：與相等背景下的綜合運(yùn)用所不同的是，本題是單一的存在性問(wèn)題.因此，我們的解題并不能簡(jiǎn)單地套用.而應(yīng)緊扣問(wèn)題的本質(zhì)，將題意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的符號(hào)表達(dá).進(jìn)行求解.

反思：有時(shí)題設(shè)不會(huì)直接給出與結(jié)論類(lèi)似的語(yǔ)言陳述，但卻可以通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化將原有的題設(shè)轉(zhuǎn)變成與結(jié)論相似的表述，這也是真正數(shù)學(xué)靈魂需要用自己的語(yǔ)言來(lái)理解問(wèn)題的意思.

反觀上述兩道題目可以發(fā)現(xiàn)，在實(shí)際解決問(wèn)題時(shí)，題設(shè)不會(huì)給出與結(jié)論相類(lèi)似的表述，但可以通過(guò)語(yǔ)義轉(zhuǎn)換.將題設(shè)轉(zhuǎn)化成與上述結(jié)論相類(lèi)似的表達(dá)，同時(shí)，上述兩題解題過(guò)程還向我們展示了數(shù)學(xué)的靈動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)上述解題沒(méi)有一道是完全套用公式可得的.但卻又可以尋找到理論的影子，扶得解題的思路，這說(shuō)明解題從來(lái)不需要死的理論，而在于對(duì)理論巾所包含思想的理解.