杜軍

【摘要】化歸法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種非常重要的方法，它的本質(zhì)是通過把一些人們不能解決的問題通過一次或者多次的轉(zhuǎn)化，變成一個或多個人們比較熟悉或者能解決的問題.高等數(shù)學(xué)的化歸方法，不僅僅是一種教學(xué)的方法，同時，也能通過這種方法的運(yùn)用，將學(xué)生的認(rèn)識結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化.本文將主要對高等數(shù)學(xué)中的化歸思想及應(yīng)用進(jìn)行簡要的分析.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；化歸思想；應(yīng)用；分析

仔細(xì)回想，在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，很多時候，我們都是將那些我們無法解決的問題通過轉(zhuǎn)化的方式將其轉(zhuǎn)變?yōu)槲覀兡馨盐栈蛘吣芙鉀Q的問題.通過這種方式，我們可以將已掌握的知識、經(jīng)驗(yàn)和方法運(yùn)用來解決一些全新的問題，這就是化歸思想最大的優(yōu)點(diǎn).化歸思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種基礎(chǔ)方法，在運(yùn)用的過程中主要就是要求人們能通過不同的角度和思維方式去處理問題.在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，化歸思想對于提升數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量具有重要的作用.

一、教學(xué)中運(yùn)用轉(zhuǎn)化促進(jìn)化歸

（一）通過數(shù)與形的轉(zhuǎn)化產(chǎn)生化歸

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，最常見的就是“數(shù)”與“形”了，二者是數(shù)學(xué)問題的必備因素，同時，二者又相輔相承.在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，我們常常可以見到“數(shù)”與“形”互相轉(zhuǎn)化的方法，其途徑或者是將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，或者是將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”.例如，用幾何圖形來解決代數(shù)或三角函數(shù)問題，就很好地運(yùn)用了將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”的方法.

（二）將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題實(shí)現(xiàn)化歸

在概念發(fā)展的階段，一般都是從簡單到復(fù)雜，從低級到高級.而化歸思想在高等數(shù)學(xué)的運(yùn)用中往往就是將復(fù)雜的問題簡單化，以便于解決.例如，運(yùn)用重要極限的基本形式來解決極限函數(shù)的問題就是運(yùn)用變數(shù)代換將復(fù)雜的問題簡單化；同樣，也可以用極坐標(biāo)系來解決直角坐標(biāo)系的問題.這些都是運(yùn)用化歸的思想將復(fù)雜的問題簡單化，從而達(dá)到解決問題的目的.

（三）通過高維向低維轉(zhuǎn)化進(jìn)行化歸

高維轉(zhuǎn)化為低維是高等數(shù)學(xué)中一種很常見的解決問題的辦法，主要有三種方式：第一，將高次轉(zhuǎn)為低次.第二，將二元轉(zhuǎn)為一元.第三，將空間的問題轉(zhuǎn)化到平面去解決.通過一系列的轉(zhuǎn)化，高維的問題就變成了低維的問題，通過低維的方法和知識就可以很好地解決這些原本復(fù)雜的問題了.

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，筆者發(fā)現(xiàn)有三部分內(nèi)容很好地展現(xiàn)了這種化歸的思想.第一，在多元函數(shù)的運(yùn)算中經(jīng)常運(yùn)用到，例如，面積分、極限、重積分等，通過轉(zhuǎn)化，最終都能運(yùn)用一元函數(shù)的方法來解決這些問題.第二，高階微分方程的解題過程都是通過轉(zhuǎn)化為一階微分方程來解決的.第三，將空間圖形轉(zhuǎn)化為多個平面圖形，再分步解決.

（四）通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型進(jìn)行化歸

通過構(gòu)造數(shù)學(xué)的模型來解決數(shù)學(xué)問題中化歸思想起到了很大的作用，并且在實(shí)際的解題過程中，量與量之間關(guān)系復(fù)雜，且問題紛繁復(fù)雜.我們在解決高等數(shù)學(xué)題的過程中，可以通過建立數(shù)學(xué)模型，將無法解決的復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個一個的已知的數(shù)學(xué)題，再從中尋求解題的方法.例如，運(yùn)用函數(shù)y=f（x）的最大值與最小值來求解實(shí)際問題中我們常遇到的最大值和最小值；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作為求變化率的一種數(shù)學(xué)模型也常被運(yùn)用來解決變速運(yùn)動中的瞬時速度或者曲線的切線斜率，以及電流強(qiáng)度等問題.

二、利用化歸優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

（一）揭示知識內(nèi)在聯(lián)系，掌握知識內(nèi)在結(jié)構(gòu)

在數(shù)學(xué)的化歸思想中，主要是運(yùn)用同化或者順應(yīng)，運(yùn)用原有的認(rèn)識結(jié)構(gòu)與新的數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，讓新的數(shù)學(xué)知識去適應(yīng)已有的認(rèn)識結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.因此，數(shù)學(xué)老師在教學(xué)的過程中，要充分利用化歸的方法，引導(dǎo)學(xué)生掌握教學(xué)中各知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，不僅可以讓學(xué)生在解題的過程中將知識進(jìn)行簡化，同時，又非潰有利于學(xué)生對新知識的學(xué)習(xí).比如，針對高等數(shù)學(xué)中的積分這個知識點(diǎn)，老師就要讓學(xué)生明白，幾乎所有的積分問題都是通過轉(zhuǎn)為定積分來求解，那學(xué)生掌握了這一基本的解決思路，以后在學(xué)習(xí)的過程中，也就知識類似的題型如何通過轉(zhuǎn)化來解決了.

（二）把握學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從教材的呈現(xiàn)程序方面促進(jìn)化歸

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基本上都是從學(xué)生的已知知識結(jié)構(gòu)出發(fā)去構(gòu)建新的知識.因此，老師在教學(xué)時，一定要先對學(xué)生的現(xiàn)有知識結(jié)構(gòu)作一個很好的了解，同時，對學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的觀念也要了解，如果學(xué)生對這種基礎(chǔ)的知識和觀念欠缺的情況下，老師要給予補(bǔ)充或者復(fù)習(xí)，然后，老師在新知識與學(xué)生已有知識之間建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)新舊知識之間的順接和化歸.比如，如果老師要講多元函數(shù)的求導(dǎo)法則，必須先將學(xué)生以前學(xué)過的一元函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行復(fù)習(xí)，同時，也要對基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，以及在多元函數(shù)的求導(dǎo)法則中會涉入到的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一一進(jìn)行復(fù)習(xí)，在此基礎(chǔ)上，再給學(xué)生講多元函數(shù)的求導(dǎo)法則，那學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)之間的順接就會非常順暢.

當(dāng)然，在知識的聯(lián)系中，不僅有縱向的，也有橫向的，章節(jié)之間的聯(lián)系也非常重要.因此，老師在教學(xué)的過程中，不僅要讓學(xué)生看到相關(guān)課題之間的內(nèi)在聯(lián)系，也要將數(shù)學(xué)不同章節(jié)內(nèi)容之間的共同點(diǎn)給學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，這樣，不僅有利于學(xué)生建立已有知識結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，而且對學(xué)生實(shí)現(xiàn)已有知識向新知識之間的轉(zhuǎn)化起到了非常重要的作用.

結(jié)束語

綜上所述，數(shù)學(xué)的化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題非常重要的一種方法，不僅有利于老師在教學(xué)的過程中實(shí)現(xiàn)各知識點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化和滲透，同時，也非常有利于構(gòu)建學(xué)生已有認(rèn)識結(jié)構(gòu)與新知識之間的聯(lián)系，從而達(dá)到優(yōu)化學(xué)生認(rèn)識結(jié)構(gòu)的目的，并且在實(shí)際的運(yùn)用中起到了良好的效果.此外，化歸思想在高等數(shù)學(xué)中的運(yùn)用，對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維力、思維的敏捷能力和邏輯思維能力都具有非常重要的作用.

【參考文獻(xiàn)】

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