云南省玉溪市峨山縣小街中學(xué) 楊東笑
在初中數(shù)學(xué)中,因式分解是一個(gè)十分重要的概念,它是整式乘法的逆過(guò)程,是代數(shù)式恒等變形的一個(gè)重要組成部分,也是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段和工具,在代數(shù)式的運(yùn)算、解方程等方面有極其廣泛的運(yùn)用。
把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解(也叫作分解因式)。
因式分解是初中數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一,它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中,是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具。學(xué)習(xí)它,既可以復(fù)習(xí)整式四則運(yùn)算,又為學(xué)習(xí)分式打好基礎(chǔ);既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、思維發(fā)展性、運(yùn)算能力,又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題的能力。
如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提出來(lái),從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法。
例題:分解因式bm-am+cm
分析:在多項(xiàng)式bm-am+cm中,每個(gè)單項(xiàng)式都含有字母m,故提出m就可以了。
解: bm-am+cm
= m(b-a+c)
如果把乘法公式反過(guò)來(lái),就可以把某些多項(xiàng)式分解因式,這種方法叫公式法。
公式主要有以下三個(gè)。
例題:分解因式 4a2-9b2
分析:∵4a2=(2a)2,9b2=(3b)2,只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b即可。
解: 4a2-9b2
= (2a)2-(3b)2
= (2a+3b)(2a-3b)
能分組分解的多項(xiàng)式有四項(xiàng)或大于四項(xiàng),一般的分組分解有兩種形式:二二分法,三一分法。
例題:把多項(xiàng)式ax+ay+bx+by分解因式
分析:通過(guò)觀察、分析,發(fā)現(xiàn)此題應(yīng)用二二分法:把a(bǔ)x和ay分一組,bx和by分一組,利用乘法分配律,兩兩相配。
解: ax+ay+bx+by
= a(x+y)+b(x+y)
= (a+b)(x+y)
十字相乘法簡(jiǎn)單來(lái)講就是:十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù),右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng),交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)系數(shù)。
例題:把多項(xiàng)式x2+2x-15分解因式
分析:通過(guò)觀察,此題采用十字相乘法就可以了。
所以x+2x-15=(x-3)(x+5)。
因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算。在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí),整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng),或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零。在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí),需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng),即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng),或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng),前者稱為拆項(xiàng),后者稱為添項(xiàng)。拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解。
例題:把m2-6m+8 分解因式
分析:本題有兩種方法:既可以將8拆成9-1,也可以將-6m拆成-2m-4m.
解法1: m2-6m+8
= m2-6m+9-1
= (m-3)2-12
=(m-3+1)(m-3-1)
= (m-2)(m-4)
解法2: m2-6m+8
= m2-2m-4m+8
= m(m-2)-4(m-2)
= (m-2)(m-4)
對(duì)于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式,可以將其配成一個(gè)完全平方式,然后再利用平方差公式,就能將其因式分解,這種方法叫配方法。屬于拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。
例題:把多項(xiàng)式x2+6x-7分解因式
解: x2+6x-7
= x2+6x+9-16
= (x+3)2-42
=(x+3+4)(x+3-4)
= (x+7)(x-1)
一是如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,那么先提公因式;
二是如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式,那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來(lái)分解;
三是如果用上述方法不能分解,那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、添項(xiàng)法來(lái)分解;
四是分解因式,必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。
也可以用一句話來(lái)概括:“先看有無(wú)公因式,再看能否套公式,十字相乘試一試,分組分解要合適。”
第一,因式分解中應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題,可用四句話概括如下:首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù),各項(xiàng)有“公”先提“公”,某項(xiàng)提出莫漏1,括號(hào)里面分到“底”。
第二,考試時(shí)應(yīng)注意,在沒(méi)有說(shuō)明化到實(shí)數(shù)時(shí),一般只化到有理數(shù)就夠了,有說(shuō)明實(shí)數(shù)的話,一般就要化到實(shí)數(shù)。