例談高中數(shù)學(xué)必修課程選修化

●浙江省杭州高級(jí)中學(xué)錢江校區(qū) 俞 昕

例談高中數(shù)學(xué)必修課程選修化

●浙江省杭州高級(jí)中學(xué)錢江校區(qū) 俞 昕

如今選修課正如火如荼地開展著，在風(fēng)光華麗的外表下面，實(shí)際的情況還著實(shí)有些令人擔(dān)憂.作為一線教師，筆者覺得我們應(yīng)該面對(duì)現(xiàn)實(shí)，在實(shí)踐中不斷反思、勇于直面問題，并且敢于嘗試解決問題，讓我們的數(shù)學(xué)選修課程在整個(gè)選修課程開發(fā)過程中留下精彩的一筆.

一、數(shù)學(xué)選修課程實(shí)施現(xiàn)狀

浙江省新課改之后，有一種聲音：數(shù)學(xué)的地位只升不降，因?yàn)槿∠宋睦矸挚?，在高考中?shù)學(xué)顯得越發(fā)重要.這樣的現(xiàn)狀使得數(shù)學(xué)選修課程處于非常尷尬的境界.

1.學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)選修課程的認(rèn)識(shí)不到位

在學(xué)生心目中，從小學(xué)到高中數(shù)學(xué)一直是主科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的可能大都是為了考試，利用數(shù)學(xué)這門能夠體現(xiàn)區(qū)分度的學(xué)科讓自己在考試中取得優(yōu)勢(shì)地位，從而在競(jìng)爭(zhēng)中脫穎而出.因此，即使開設(shè)數(shù)學(xué)選修課程，但在學(xué)生心目中仍然難以改變數(shù)學(xué)必修課程的位置.很多學(xué)生有一種認(rèn)識(shí)誤區(qū)：數(shù)學(xué)選修課程其實(shí)就是數(shù)學(xué)必修課程的一種“偽裝”，或是扶差，或是培優(yōu).在筆者所在學(xué)校就出現(xiàn)了意想不到的現(xiàn)象：很多學(xué)生整個(gè)下午四節(jié)課全部選報(bào)了數(shù)學(xué)選修課程，他們認(rèn)為自己的數(shù)學(xué)比較薄弱，想通過多聽聽數(shù)學(xué)課提高自己的數(shù)學(xué)成績(jī).而大部分學(xué)生至少選報(bào)了一門數(shù)學(xué)選修課程，因?yàn)樗麄冋J(rèn)為多上上數(shù)學(xué)課，多多少少對(duì)自己的數(shù)學(xué)成績(jī)會(huì)有所幫助.顯然，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)選修課程的認(rèn)識(shí)是不到位的.

2.教師對(duì)數(shù)學(xué)選修課程的觀念認(rèn)識(shí)不深刻

筆者所在學(xué)校要求每一位數(shù)學(xué)教師都要開設(shè)選修課程，由于平時(shí)的必修課教學(xué)任務(wù)已經(jīng)比較繁重，所以很多數(shù)學(xué)教師將數(shù)學(xué)選修課程演變成數(shù)學(xué)習(xí)題課，選修課的備課就成為準(zhǔn)備幾道數(shù)學(xué)題目，這倒也恰好與學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)選修課程的態(tài)度不謀而合，師生都將數(shù)學(xué)選修課程看成是數(shù)學(xué)扶差課或培優(yōu)課了.其實(shí)這也反映出教師不善于開發(fā)選修課程，對(duì)數(shù)學(xué)選修課程的認(rèn)識(shí)不深刻、不到位.

3.學(xué)校對(duì)數(shù)學(xué)選修課程的把握不明確

選修課程的開設(shè)勢(shì)必對(duì)必修課程造成一定的沖擊，數(shù)學(xué)必修課程課時(shí)減少，原本的進(jìn)度加快，原本的教學(xué)內(nèi)容要壓縮，確實(shí)造成了數(shù)學(xué)教學(xué)課時(shí)的緊張.因此，校方與教師都認(rèn)為將數(shù)學(xué)選修課程演變成數(shù)學(xué)扶差課或培優(yōu)課是無可厚非的，校方一般也就默認(rèn)了一線教師的這種處理方法.

但以上現(xiàn)象是否表明學(xué)生真的喜歡數(shù)學(xué)選修課，數(shù)學(xué)選修課是否真正發(fā)揮了它應(yīng)有的價(jià)值與功能呢？這是值得我們數(shù)學(xué)教師反思的.數(shù)學(xué)選修課與必修課之間的矛盾如何解決？筆者結(jié)合自身的選修課程教學(xué)實(shí)踐，從“必修課程選修化”的角度來探討數(shù)學(xué)選修課程教學(xué).

二、數(shù)學(xué)必修課程選修化

數(shù)學(xué)選修課程的開設(shè)應(yīng)該試圖讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，改變對(duì)傳統(tǒng)“考試數(shù)學(xué)”的認(rèn)識(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的豐富的思想方法，變“被動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)”為“主動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)”，通過提升探究數(shù)學(xué)的興趣從而提高數(shù)學(xué)成績(jī)，而不是靠單純的題海戰(zhàn)術(shù)提高成績(jī)，因?yàn)榭款}海戰(zhàn)術(shù)是“治標(biāo)不治本”的做法.如何兼顧數(shù)學(xué)選修課程與必修課程呢？筆者認(rèn)為必修課程的選修化是可行之策.

1.對(duì)必修課程中數(shù)學(xué)公式來龍去脈的深入開發(fā)

高中數(shù)學(xué)中有很多新的公式，在必修課程的教學(xué)中，教師最多就是把公式推導(dǎo)出來，然后就著重進(jìn)行公式應(yīng)用的探究了，這也是常態(tài)課的一般表現(xiàn).由于必修課課時(shí)的限制，教師可能無法向?qū)W生充分展示數(shù)學(xué)公式的來龍去脈，深入挖掘數(shù)學(xué)公式，開發(fā)蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)公式中的豐富資源.而數(shù)學(xué)選修課就可以為我們提供這樣的機(jī)會(huì)，進(jìn)行必修課程的二次開發(fā)，將必修課程選修化.下面以“兩角差的余弦公式”為例進(jìn)行探討，教師可以從多角度、全方位向?qū)W生展現(xiàn)公式的全貌.（人教A版教材中用向量數(shù)量積推導(dǎo)在此省略）

視角1：兩銳角差的余弦公式.

（1）你能用這兩塊三角板（如圖1）拼出哪些角度呢？（2）你能用它們拼出15°的角嗎？（3）你能否利用所拼出的圖形（如圖2或圖3）求出cos15°的值嗎？

（4）若將上面的45°和30°角分別改成銳角α和β，那么會(huì)有怎樣的結(jié)論？cos（α-β）=？

圖1

圖2

圖3

視角2：兩銳角差的余弦公式.

如圖4所示，為一個(gè)坡度為30°的斜坡.已知作用在物體上的力F與水平方向之間的夾角為45°，且大小為10N，在力F的作用下，物體沿斜坡運(yùn)動(dòng)了2m，求力F作用在物體上的功W.

圖4

圖5

由此做功問題提煉出圖5所示的“兩銳角差的余弦公式”的模型，若將特殊角替換成一般角便可以得到兩銳角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.讓學(xué)生從實(shí)際問題情境中提煉出兩銳角差的余弦公式的模型，感知數(shù)學(xué)知識(shí)來源于實(shí)際，運(yùn)用于實(shí)際，自然界萬事萬物中都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)變換.

視角3：兩銳角差的余弦公式.

公元3世紀(jì)末，亞歷山大數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》中給出命題：如圖6，設(shè)H是以AB為直徑的半圓上的一點(diǎn)，CE是半圓在點(diǎn)H處的切線，CH=HE.CD和EF為AB的垂線，D、F是垂足，則（CD+EF）·CE=AB·DF.認(rèn)識(shí)“弦圖”，從平面幾何中發(fā)現(xiàn)兩銳角差的余弦公式.

圖6

圖7

（1）如圖7所示，設(shè)∠HOF=α，∠COH=β，試用α、β表示∠EOF；

（2）不妨設(shè)OC=OE=1，試用線段（比）分別表示sinα、cosα、sinβ、cosβ及cos（α-β）；

（3）試探究cos（α-β）與sinα、cosα、sinβ、cosβ的關(guān)系.

讓學(xué)生尋求數(shù)學(xué)進(jìn)步的歷史軌跡，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).

此外，古埃及天文學(xué)家托勒密利用兩角和、差的三角關(guān)系繪制了現(xiàn)存最早的三角函數(shù)弦表，在天文學(xué)和測(cè)量計(jì)算中有很重要的應(yīng)用.制作弦表的原理如圖8所示.此原理與人教A版上的方法（如圖9所示）有異曲同工之妙.

圖8

圖9

視角4：兩銳角差的余弦公式.

數(shù)學(xué)的魅力在于它能讓人驚嘆于數(shù)學(xué)的各種奇妙的變換，一個(gè)普通的圖形當(dāng)中竟然也能蘊(yùn)藏著“兩銳角差的余弦公式”，如圖10所示.通過簡(jiǎn)單的三角形等積就可以非常簡(jiǎn)單地得到“兩銳角差的余弦公式”.

圖10

視角5：兩任意角差的余弦公式.人教A版選修4-2《矩陣與變換》中有介紹旋轉(zhuǎn)變換.如圖11所示，在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，作單位圓O，設(shè)α、β角的始邊都為Ox，終邊分別交圓于A、B.這時(shí)，得到兩點(diǎn)間的坐標(biāo)分別為A（cosα，sinα）、B（cosβ，sinβ）.由兩點(diǎn)間的距離公式，并整理得AB2=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ） ①.再以O(shè)B為橫軸，建立新的直角坐標(biāo)系x′O′y′，使其單位長(zhǎng)度與原坐標(biāo)系相同.在新坐標(biāo)系中兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（cos（α-β），sin（α-β））、B（1，0）.同樣，由兩點(diǎn)間的距離公式，并整理得AB2=2-2cos（α-β） ②.由①②便可得兩任意角差的余弦公式.

圖11

人教社全日制普通高中教材中也是運(yùn)用類似的變換來推導(dǎo)“兩任意角差的余弦公式”的,只不過不是旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸，而是旋轉(zhuǎn)點(diǎn)（在此不累述，詳見人教社全日制普通高中教材）.

2.對(duì)必修課程中數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)性的深入開發(fā)

在日常的必修課教學(xué)中，教師往往會(huì)忽略數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，也容易給學(xué)生造成一些誤區(qū).于是我們可以利用必修課程選修化讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性.

比如在正弦定理與余弦定理的教學(xué)中，很多學(xué)生包括一些教師都會(huì)出現(xiàn)這樣的誤區(qū)：對(duì)于（1）已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角，（2）已知三角形兩角及一邊，我們能運(yùn)用正弦定理解三角形，但對(duì)于（3）已知三角形兩邊及夾角，（4）已知三角形三邊，運(yùn)用正弦定理就無法解決了，只能通過余弦定理解三角形.出現(xiàn)以上誤區(qū)的原因就在于師生對(duì)于正弦定理與余弦定理的關(guān)聯(lián)性缺乏應(yīng)有的認(rèn)識(shí).針對(duì)以上問題，我們可以對(duì)此進(jìn)行必修課程選修化的開發(fā)，對(duì)學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)正弦定理與余弦定理必有裨益.下面筆者擷取其中一角以窺一斑.

正弦定理和余弦定理是刻畫三角形6個(gè)基本元素中4個(gè)元素之間的基本關(guān)系.解三角形除了應(yīng)用這兩個(gè)定理，還有一個(gè)定理，即射影定理：a=bcosC+ccosB（另兩個(gè)略）.更進(jìn)一步講：正弦定理、余弦定理、射影定理三者之間是等價(jià)的.

比如由正弦定理可以推出余弦定理.

由三角形內(nèi)角和定理知cosA=-cos（B+C）=sinBsinC-cosBcosC，兩邊平方得cos2Bcos2C=sin2Bsin2C+cos2A-2sinBsinCcosA.

即 （1-sin2B）（1-sin2C）=sin2Bsin2C+（1-sin2A）-2sinBsinCcosA.

化簡(jiǎn)得sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA （2）.

將（1）式代入（2）式，并化簡(jiǎn)得a2=b2+c2-2bccosA.

由余弦定理也可以推出正弦定理.

a2=b2+c2-2bccosA （1），b2=a2+c2-2accosB （2）.

（1）-（2）得a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.

則2（a2-b2）=2c（acosB-bcosA）.

正余弦定理與射影定理的等價(jià)性亦可證明，在此省略.由此可以看出，正弦定理與余弦定理的等價(jià)性，不存在問題只能用正弦定理或余弦定理解決，我們只能說哪些問題運(yùn)用正弦定理或余弦定理能一步到位解決.

此外，數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維的相似性上，還是以余弦定理為例，圖12揭示了不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性與相似性.

圖12

3.對(duì)必修課程中開放性元素的深入開發(fā)

開放性教學(xué)旨在思維開放、題目開放、過程開放.由于對(duì)開放性問題的評(píng)分存在種種困難，因此，在高考中鮮有開放性問題出現(xiàn).由此引起的連鎖反應(yīng)是：數(shù)學(xué)教師在日常的教學(xué)中也鮮有涉及開放性問題.必修課程選修化可以對(duì)必修課程中的開放性元素進(jìn)行深入開發(fā)，進(jìn)一步開發(fā)學(xué)生潛藏的數(shù)學(xué)能量.比如下面關(guān)于數(shù)列知識(shí)的一個(gè)開放性教學(xué)案例.

（1）題由根生.

摘自高中數(shù)學(xué)人教A版必修5第48頁(yè)：一尺之棰，日取其半，萬事不竭.（《莊子·天下篇》）

變式：今年，某浙人語：一數(shù)為十，日減其一，竭否？（從古至今）

摘自高中數(shù)學(xué)人教A版必修5第28頁(yè)：傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖13所示的三角形數(shù).

圖13

從以上的例子中，我們共得到3個(gè)數(shù)列，請(qǐng)分別寫出這三個(gè)數(shù)列.

（2）固本培元.

對(duì)以上這3個(gè)數(shù)列，我們可以進(jìn)行怎樣的研究？

（3）開枝散葉.

對(duì)于單個(gè)數(shù)列，可進(jìn)行各種變換（取絕對(duì)值、取倒數(shù)、取子列等），得到新的數(shù)列，請(qǐng)選取某幾個(gè)角度進(jìn)行研究.

（4）節(jié)外生枝.

對(duì)于兩個(gè)數(shù)列，可進(jìn)行各種運(yùn)算（加、減、乘、除等），得到新的組合數(shù)列，請(qǐng)選取某幾個(gè)角度進(jìn)行研究.

下面的案例是基于一道高考題的題干部分進(jìn)行的開放性教學(xué)活動(dòng).

編題活動(dòng)1：2014年重慶高考題題干“條件1”：已知直線l：ax+y-2=0.請(qǐng)你根據(jù)以上題干“條件1”，運(yùn)用“直線方程”知識(shí)點(diǎn)編擬一些問題，可適當(dāng)添加一些條件.

編題活動(dòng)2：2014年重慶高考題題干“條件2”：圓心為C的圓（x-1）2+（y-a）2=4.請(qǐng)你根據(jù)以上題干“條件2”，運(yùn)用“圓的方程”知識(shí)點(diǎn)編擬一些問題，可適當(dāng)添加一些條件.并指明你編擬的題目考查了哪些知識(shí)點(diǎn).

編題活動(dòng)3：2014年重慶高考題題干“條件1”：已知直線l：ax+y-2=0與“條件2”：圓心為C的圓（x-1）2+（y-a）2=4.請(qǐng)你綜合以上題干“條件1”和“條件2”，運(yùn)用直線和圓的方程的知識(shí)點(diǎn)編擬一些問題，可適當(dāng)添加一些條件.

以上兩個(gè)開放性教學(xué)案例事實(shí)上是開放條件或結(jié)論的編題活動(dòng).基于選修課的拓展性，我們的開放度還能更大一些，滲透數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)建模的元素.比如可以設(shè)計(jì)一個(gè)開放性的數(shù)學(xué)活動(dòng)：設(shè)計(jì)制作一個(gè)1升的可樂包裝罐，形狀不定，但要節(jié)省材料.各種形狀的設(shè)想確定了用料最省時(shí)的尺寸（必須通過函數(shù)最值的計(jì)算確定），而最終要選出最滿意的設(shè)計(jì)，還要比較所有的方案才能得到.這種開放性的活動(dòng)給學(xué)生提供了更廣闊的開放性思維的機(jī)會(huì)，是培養(yǎng)開放性思維能力的好途徑.再比如高中數(shù)學(xué)中的經(jīng)典內(nèi)容“楊輝三角”，可以把楊輝三角的數(shù)學(xué)內(nèi)涵無限開放，如從“楊輝三角”到“帕斯卡三角”看中西方數(shù)學(xué)發(fā)展；用“組合數(shù)學(xué)”研究“楊輝三角”的數(shù)學(xué)規(guī)律；從數(shù)列的視角研究“楊輝三角”等.

三、結(jié)束語

必修課程選修化不僅是數(shù)學(xué)選修課程開發(fā)的一個(gè)廣闊途徑，而且有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、端正學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)選修課的態(tài)度、糾正教師隊(duì)伍中對(duì)數(shù)學(xué)選修課認(rèn)識(shí)上的一些誤區(qū)、銜接數(shù)學(xué)必修課程、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng).從另一角度來看，深入數(shù)學(xué)必修課程，對(duì)其內(nèi)涵、廣度、深度不斷挖掘，也是培養(yǎng)教師選修課程開發(fā)能力的一個(gè)有力途徑.A