單鵬

摘 要：利用多種方法解題：利用三角形的重心的性質(zhì)來解；利用三點(diǎn)共線的性質(zhì)來解題；利用解析法來解；利用基底法來解題。

關(guān)鍵詞：一題多解；解題能力；三點(diǎn)共線；基底法

方法一：利用三角形的重心的性質(zhì)去解

首先向同學(xué)們提問：重心有哪些性質(zhì)？

1.三角形的重心是三條高線的交點(diǎn)，它分中線所成的比為二比一；

2.連結(jié)重心與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，得到三個(gè)小三角形，那么這三個(gè)小三形的面積相等，且等于原三角形面積的三分之一；

同學(xué)們利用上面三個(gè)性質(zhì)，可以猜一下想如何解決這個(gè)問題呢？就有同學(xué)想到了構(gòu)造三角形，讓題設(shè)中的O點(diǎn)成為新的三角形的重心，具體過程如下：

點(diǎn)評(píng)：該方法從三角形的重心的第三個(gè)性質(zhì)入手，運(yùn)用構(gòu)造法，使同學(xué)們的解題思路得以順利打開，從而順利地解決了問題。

方法二：利用三點(diǎn)共線的性質(zhì)來解題

點(diǎn)評(píng)：充分運(yùn)用三點(diǎn)共線找到過渡的點(diǎn)A1，這樣使得各邊的比例關(guān)系一目了然，從而順利地解決了該問題。

方法三：利用解析法來解

建立直角坐標(biāo)系如下圖所示，并設(shè)各點(diǎn)的坐標(biāo)：C（c，0），B（a，b），O（x，y），則將已知條件用坐標(biāo)表示，并根據(jù)縱坐標(biāo)相等，可得到，此即為所求兩個(gè)三角形的高之比，而所求兩個(gè)三角形是同底的，所以所求兩個(gè)三角形的面積的比為。

點(diǎn)評(píng)：由于所求兩個(gè)三角形共底，所以就以這個(gè)底所在直線為X軸，建立坐標(biāo)系，這樣就把問題轉(zhuǎn)化成求B點(diǎn)與O點(diǎn)的縱坐標(biāo)之比了。

由圖可知，B點(diǎn)到AC邊距離與O點(diǎn)到AC邊的距離的比為，所求兩個(gè)三角形的面積的比為。

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)方法是以與為基底，其他的向量都可以用這一組基底來線性表示，從而確定了O點(diǎn)在三角形當(dāng)中的準(zhǔn)確位置，這樣要求的問題也就迎刃而解了。

參考文獻(xiàn)：

黃智華.設(shè)置延伸拓展問題的幾種過程.數(shù)學(xué)通訊，2009（08）.

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