高中數(shù)學中證明不等式

吳方躍

摘要：研究不等式的方法可謂眾多，本文主要從利用定義、利用導數(shù)、這兩個數(shù)學中比較重要的證明不等式方法著手.首先簡明扼要地介紹用定義法如何解決不等式證明問題，接著將不等式當作一類特殊的函數(shù)去研究，從另一個角度出發(fā)，利用導數(shù)作為研究工具或手段，具體結合微分中值定理、最值，將不等式問題化難為易.

關鍵詞：不等式;導數(shù)

不等式是高中數(shù)學中非常重要的課題之一，在高中數(shù)學中占有極其重要的地位。因此，對不等式作一些必要的研究具有重大的意義，同時，也為我們如何證明不等式問題提供了必要的理論指導。

研究不等式問題，方法眾多，本文將著重以高中數(shù)學中幾個比較重要的方法為理論基礎，探討如何解決不等式問題。

一、 利用定義法證明不等式

用定義法是常用的解決不等式問題的基本方法之一，它的原理是

若[A-B≥0]，則有[A≥B];若[A-B≤0]，則有[A≤B];反之亦然，下面給出利用定義法解決不等式問題的例子。

例1 已知：[a，b∈R+，n∈N，]求證：[a+ban+bn≤2an+1+bn+1]

證明： [a+ban+bn-2an+1+bn+1]

[=an+1+anb+abn+bn+1-2an+1-2bn+1]

[=abn+ban-an+1-bn+1]

[=abn-an+ban-bn]

[=a-bbn-an]

Ⅰ）當[a>b>0]時，[bn-an<0，a-b>0]

[bn-ana-b<0]

Ⅱ）當[b>a>0]時，[bn-an>0，a-b<0]

[bn-ana-b<0]

Ⅲ）當[a=b>0]時，[bn-ana-b=0]

[bn-ana-b=0]

綜上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ有[a-ban+bn-2an+1+bn+1]

[a-ban+bn≤2an+1+bn+1]

二、利用導數(shù)證明不等式。

1.利用函數(shù)單調性證明不等式

定理1 設函數(shù)[f（x）]在[（a，b）]內可導，則[f（x）]在[（a，b）]內遞增（遞減）的充分必要條件是

[f'（x）≥0] [（f'（x）≤0）]，[x∈（a，b）] ? ? ? ?（*）

定理2 若函數(shù)[f（x）]在[（a，b）]內可導，則[f（x）]在[（a，b）]內嚴格遞增（遞減）的充分必要條件是：

（1）對一切[x∈（a，b）]，有[f'（x）≥0][f'（x）≤0];

（2）在[（a，b）]內的任何子區(qū)間上[f'（x）]恒不等于0

該法適用于在某區(qū)間上成立的函數(shù)不等式，對于數(shù)值不等式，通常是通過作輔助函數(shù)完成的。

證題程序：

①移項（有時需要作簡單的恒等變形），使不等式一端為“0”，另一端即為所作輔助函數(shù)[f（x）]

②求[f'（x）]并驗證[f（x）]在指定區(qū)間的增減性

③求出區(qū)間的端點的函數(shù)值，作比較得證。

例2：證明 當[0

證：要證[sinx>2πx]，顯然[sinx>2πx?sinxx>2π]，令

[f（x）=sinxx-2π]

[∵f'（x）=xcosx-sinxx2=cosxx2（x-tanx）<0] [（∵tanx>x）]

[∴f（x）]在[0

[f（π2）=sinπ2π2-2π=2π-2π=0]

故當[0f（π2）=0] 即[sinxx-2π>0]

于是[sinx>2πx]

一般講，文字不等式的證明是化為函數(shù)不等式，通過函數(shù)的單調性來證明得出結果。

例3：設[b>a>0]，證明：[lnba>2（b-a）a+b]

分析：當[b>a>0]時，

[lnba>2（b-a）a+b][?（lnb-lna）（a+b）>2（b-a）]

證：令[f（x）=（lnx-lna）（a+x）-2（x-a）]，[（x>a）]

[∵f'（x）=1x（a+x）+（lnx-lna）-2]。

[f"（x）=-ax2+1x=x-ax2>0]，[（x>a）]

[∴f'（x）]在[（a，b）]嚴格單調遞增，且[f'（x）]在[[a，b]]連續(xù)，又[f'（a）=0]，于是[f'（x）>0] [（x>a）]

因而[f（x）]在[（a，b）]嚴格單調遞增，且[f（x）]在[[a，b]]連續(xù)，又[f（a）=0]，故當[b>a>0]時，有[f（b）>f（a）=0]。

即[（lnb-lna）（a+b）-2（b-a）>0] 從而[lnba>2（b-a）a+b]

但是輔助函數(shù)[f（x）]的作法也不是千篇一律的，對于具體問題還要具體對待。

2.用極值與最大（?。┲捣椒ㄗC明不等式

首先，我們把極值和最值的概念區(qū)分一下。

定義1：設函數(shù)[y=f（x）]在點[x0]的某空心鄰域[U0（x0）]內有定義，若對任意[x∈][U0（x0）]，[f（x）f（x0））]，則稱[f（x0）]為[f（x）]的一個極大值（極小值），[x0]為[f（x）]的一個極大值點（極小值點）。

定義2：設函數(shù)[y=f（x）]在閉區(qū)間[[a，b]]上有定義，[x0∈[a，b]]，若對任意[x∈[a，b]]，恒有[f（x）≤f（x0）][（f（x）≥f（x0））]，則稱[f（x0）]為函數(shù)[y=f（x）]在閉區(qū)間[[a，b]]上的最大（?。┲?，稱點[x0]為[f（x）]在[[a，b]]上的最大（?。┲迭c。

從定義上可看出：極值是一個局部性概念，它僅討論極值點[x0]附近的函數(shù)值[f（x）]與[f（x0）]之間的大小關系，而最值是針對函數(shù)給定區(qū)間上所有的函數(shù)值而言的，它是一個整體性概念。

判別極大值或極小值方法如下：設函數(shù)[y=f（x）]在[x0]的某鄰域[U（x0）]內連續(xù)，并在該鄰域的空心鄰域內可導，則（1）當[x]在該鄰域內取[x0]左側鄰近的值時，[f'（x）>0];當[x]在該鄰域內取[x0]右側鄰近的值時，[f'（x）<0]，則函數(shù)[f（x）]在點[x0]處取的極大值[f（x0）]，[x0]為極大值點。（2）當[x]在該鄰域內取[x0]左側鄰近的值時，[f'（x）<0];當[x]在該鄰域內取得[x0]右側鄰近的值時，[f'（x）>0]，則函數(shù)[f（x）]在點[x0]取得極小值[f（x0）]，[x0]為極小值點。對于可求導的函數(shù)[f（x）]，取得極值的點[x0]必有[f'（x）=0]。但并不是使[f'（x）=0]的點都能取得極值。

對于存在二階導數(shù)的函數(shù)，還可用二階導數(shù)來判斷極值：設函數(shù)[y=f（x）]在[x0]的某鄰域[U（x0）]內一階可導，在[x0]處二階可導，且[f'（x0）=0]，[f"（x0）≠0]則：（1）當[f"（x0）>0]時，[f（x0）]為極小值，[x0]為極小值點;（2）當[f"（x0）<0]時，[f（x0）]為極大值，[x0]為極大值點

求函數(shù)[f（x）]最大（?。┲禃r，若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，可先求出所有極大（?。┲?，以及區(qū)間端點的函數(shù)值，將這些函數(shù)值作比較后。其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。求函數(shù)[f（x）]最大（小）值時，若函數(shù)[f（x）]在一個區(qū)間（有限或無限，開或閉）內可導且只有一個駐點[x0]，而且這個駐點[x0]是函數(shù)[f（x）]的極值點，那么，當[f（x0）]是極大值時，[f（x0）]就是[f（x）]在該區(qū)間上的最大值;當[f（x0）]是極小值時，[f（x0）]就是[f（x）]在該區(qū)間上的最小值。

在某些實際問題中，往往根據問題的性質就可以斷定可導函數(shù)[f（x）]確有最大（?。┲?。而且一定在定義區(qū)間內部取得。這時如果[f（x）]在定義內部只有一個駐點[x0]，那么不必討論[f（x0）]是不是極值，就可以判斷[f（x0）]是最大（?。┲?。

例5： ?設[0≤x≤1，p>1]，證明：不等式[12p-1≤xp+（1-x）p≤1]

證：令 [F（x）=xp+（1-x）p]

[F'（x）=pxp-1+p（1-x）p-1（-1）=p[xp-1-（1-x）p-1]]

[F″（x）=p（p-1）xp-2+p（p-1）（1-x）p-2]

令[F′（x）=0]，得[x=12]

[F″（12）=p（p-1）[（12）p-2+（12）p-2]>0，（∵p>1）]

故[F（x）]在[x=12]處取極小值，

[∵F（0）=F（1）=1，F(xiàn)（12）=12p-1]

故[F（x）]在[[0，1]]上的最大值為1，最小值[12p-1]

故[12p-1≤xp+（1-x）p≤1]

參考文獻：

[1]裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M]。北京：高等教育出版社，1993。

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