姜宇,張韻,任兆欣,寶音賀西,李恒年

(1.宇航動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安710043;2.清華大學(xué)航天航空學(xué)院,北京100084)

三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra引力場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)

姜宇1,2,張韻2,任兆欣2,寶音賀西2,李恒年1

(1.宇航動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安710043;2.清華大學(xué)航天航空學(xué)院,北京100084)

主帶三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra是由主星216 Kleopatra及兩個(gè)小月亮(moonlet)Alexhelios[S/ 2008(216)1]和Cleoselene[S/2008(216)2]組成。其中主星216 Kleopatra是一個(gè)具有強(qiáng)不規(guī)則形狀如啞鈴的連接雙星,大小為217 km×94 km×81 km,外小月亮Alexhelios大小約為8.9 km,內(nèi)小月亮大小約為6.9 km。其動(dòng)力學(xué)行為具有非常豐富的科學(xué)內(nèi)涵。研究了三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra自身的動(dòng)力學(xué)機(jī)制及其引力場(chǎng)中探測(cè)器的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,分析了主星質(zhì)心固連系中探測(cè)器的動(dòng)力學(xué)方程,給出了三小行星引力全多體問(wèn)題的動(dòng)力學(xué)方程及Jacobi積分,方程考慮了三個(gè)小行星的不規(guī)則外形、軌道與姿態(tài)。發(fā)現(xiàn)三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra主星引力場(chǎng)中一種新的周期軌道族的倍周期分岔?？紤]主星的不規(guī)則精確外形與引力、兩個(gè)小月亮的相互作用,研究了該三小行星系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)構(gòu)形。發(fā)現(xiàn)Kleopatra的強(qiáng)不規(guī)則幾何外形及兩個(gè)小月亮Alexhelios和Cleoselene的相互作用引起兩個(gè)小月亮的軌道參數(shù)的顯著變化。

三小行星;連接雙星;引力全多體問(wèn)題;分岔;平衡點(diǎn)

0 引 言

自2005年發(fā)現(xiàn)第一個(gè)三小行星系統(tǒng)87 Sylvia以來(lái),三小行星系統(tǒng)的觀測(cè)、形成及與太陽(yáng)系起源的關(guān)系引起了人們極大的研究興趣。三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra的兩個(gè)小月亮于2008年被發(fā)現(xiàn)[1-2]。使用多面體模型可以對(duì)小行星的外形和引力場(chǎng)進(jìn)行精確的建模,甚至模擬其質(zhì)量瘤[3-5]。小行星216 Kleopatra是一個(gè)大尺度比的三小行星系統(tǒng),主星大小為217 km×94 km×81 km,外小月亮Alexhelios大小約為8.9 km,內(nèi)小月亮Cleoselene大小約為6.9 km,小月亮與主星的大小之比分別為0.066和0.051,軌道半徑與Hill半徑之比分別約為0.023與0.016,小月亮繞主星的軌道周期之比約為2.32與1.24[2]。

三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra主星引力場(chǎng)中共有7個(gè)平衡點(diǎn);其中4個(gè)在外部,且均不穩(wěn)定,拓?fù)漕?lèi)型相間分布[6-8];3個(gè)在內(nèi)部,2個(gè)穩(wěn)定,1個(gè)不穩(wěn)定[7-8]。三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra的4個(gè)外部平衡點(diǎn)中有2個(gè)附近分別有1族周期軌道,另外2個(gè)附近分別有2族周期軌道[9]。平衡點(diǎn)的拓?fù)漕?lèi)型和其附近衍生出的周期軌道族的拓?fù)漕?lèi)型存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系[10]。對(duì)于不規(guī)則外形的小行星或者彗星,其引力場(chǎng)中的周期軌道共有13種拓?fù)漕?lèi)型,其中7種純周期情形,1種周期兼Krein碰撞情形,1種周期兼退化實(shí)鞍情形,4種周期兼倍周期情形[11]。每一個(gè)周期軌道族都屬于這13種拓?fù)漕?lèi)型的至少一種;有的周期軌道族中的周期軌道屬于這13種拓?fù)漕?lèi)型的至少2種,則該周期軌道族在延拓的過(guò)程中就會(huì)產(chǎn)生分岔,文獻(xiàn)[11]共發(fā)現(xiàn)4種周期軌道族的分岔類(lèi)型,分別是:切分岔、倍周期分岔、Neimark-Sacker分岔和實(shí)鞍分岔。

為研究三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra的動(dòng)力學(xué)內(nèi)在機(jī)制,分析了主星質(zhì)心固連坐標(biāo)系中探測(cè)器的動(dòng)力學(xué)方程,發(fā)現(xiàn)主星引力場(chǎng)中一種新的周期軌道族倍周期分岔。導(dǎo)出三小行星引力全多體問(wèn)題的動(dòng)力學(xué)方程及Jacobi積分。在考慮主星的不規(guī)則精確外形與引力和兩個(gè)小月亮的相互作用的情況下,研究了該三小行星系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)構(gòu)形。發(fā)現(xiàn)在三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra的主星赤道坐標(biāo)系中看兩個(gè)小月亮的瞬時(shí)軌道運(yùn)動(dòng)時(shí),小月亮Alexhelios和Cleoselene的半長(zhǎng)軸變化幅度分別為2.7 km和6.6 km。這是由Kleopatra的強(qiáng)不規(guī)則幾何外形及兩個(gè)小月亮Alexhelios和Cleoselene的相互作用引起。在這些作用下,兩個(gè)小月亮的偏心率的變化幅度也非常顯著。Kleopatra的自旋軸指向及三個(gè)天體的相互不規(guī)則外形的引力作用引起小月亮Alexhelios和Cleoselene的瞬時(shí)軌道傾角也存在較為顯著的變化幅度。

1 動(dòng)力學(xué)方程

1.1 主星質(zhì)心固連系中探測(cè)器的動(dòng)力學(xué)方程

考慮以主星216 Kleopatra質(zhì)心固連系為參考坐標(biāo)系,將探測(cè)器的動(dòng)力學(xué)方程建立在該坐標(biāo)系中。令r為探測(cè)器的位置矢量,ω為主星相對(duì)慣性空間的旋轉(zhuǎn)角速度,U(r)為主星的引力勢(shì),則Jacobi積分H和有效勢(shì)V可以定義[12]為

探測(cè)器在主星質(zhì)心固連坐標(biāo)系中的動(dòng)力學(xué)方程為

其中:f為兩個(gè)小月亮的引力、太陽(yáng)引力等攝動(dòng)力,小月亮對(duì)探測(cè)器的引力同主天體對(duì)探測(cè)器的引力相比小于3×10-4。此外,根據(jù)文獻(xiàn)[13]的分析,太陽(yáng)對(duì)探測(cè)器的引力同主天體對(duì)探測(cè)器的引力相比是10-6～10-7量級(jí)。在考慮三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra平衡點(diǎn)的計(jì)算及附近周期軌道的計(jì)算時(shí)無(wú)需考慮兩個(gè)小月亮及太陽(yáng)的引力,僅使用主星的不規(guī)則引力來(lái)計(jì)算平衡點(diǎn)與周期軌道,在實(shí)際任務(wù)中將此計(jì)算結(jié)果作為初值代入考慮了小月亮及太陽(yáng)引力的模型中進(jìn)行微小修正或反饋控制律的計(jì)算即可。

1.2 三小行星系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

考慮三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra自身的動(dòng)力學(xué)方程。共有n=3個(gè)不規(guī)則的小行星,所有三個(gè)小行星都是既有軌道運(yùn)動(dòng)又有姿態(tài)運(yùn)動(dòng)。記βk(k=i,j)為第k個(gè)小行星;G為萬(wàn)有引力常數(shù);rk為βk的慣性位置;Dk為βk上質(zhì)量元d m(Dk)相對(duì)βk質(zhì)心的位置;ρg(Dk)為質(zhì)量元d m(Dk)的密度;d m(Dk)=ρg(Dk)d V(Dk)其中d V(Dk)為體積元;Ak為βk的主慣量坐標(biāo)系相對(duì)慣性空間的轉(zhuǎn)移矩陣;為平動(dòng)動(dòng)量;qk=AkDk+rk為質(zhì)量元d m(Dk)相對(duì)慣性空間的位置矢量;kk=rk×pk+AkIkΩk為βk的動(dòng)量矩;Gk=IkΩk。則系統(tǒng)的總引力勢(shì)能可以表示為

上式通過(guò)對(duì)三小行星系統(tǒng)中每一個(gè)不規(guī)則小行星進(jìn)行體積分從而獲得不規(guī)則外形、質(zhì)量瘤、多孔介質(zhì)等之間的相互作用。

系統(tǒng)總動(dòng)能為

其中:mi為βi的質(zhì)量;Ωi為βi的本體角速度矢量;Ii為βi的慣性張量。

因此系統(tǒng)的Jacobi積分即總能量為

系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以表示在慣性空間為

其中:fig為作用在上βi的合力;nig為作用在βi上的總的引力力矩;,是ωi生成的反對(duì)稱矩陣。第一個(gè)方程和第二個(gè)方程是表示三小行星系統(tǒng)的每一個(gè)小行星的軌道運(yùn)動(dòng)的項(xiàng),第三個(gè)方程是表示每一小行星的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)的項(xiàng),第四個(gè)方程是表示每一小行星的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)的項(xiàng)。對(duì)于三小行星系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)構(gòu)形計(jì)算,取n=3。如果考慮探測(cè)器在三小行星系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng),計(jì)算三小行星系統(tǒng)的兩兩之間不規(guī)則幾何外形、質(zhì)量瘤、多孔介質(zhì)等之間的相互作用對(duì)軌道和姿態(tài)的影響以及對(duì)探測(cè)器的軌道與姿態(tài)的影響,則在上式中令n=4,第四個(gè)指標(biāo)表示探測(cè)器的運(yùn)動(dòng)即可。

2 主星引力場(chǎng)中的倍周期分岔

文獻(xiàn)[11]首次發(fā)現(xiàn)了不規(guī)則小天體引力場(chǎng)中周期軌道族的倍周期分岔,并找到216 Kleopatra引力場(chǎng)中延拓過(guò)程中產(chǎn)生倍周期分岔的一族周期軌道。本文發(fā)現(xiàn)了與文獻(xiàn)[11]不同的周期軌道族,此周期軌道族在延拓過(guò)程中也能產(chǎn)生倍周期分岔。三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra主星引力場(chǎng)中該族周期軌道族的延拓如圖1所示,此處共畫(huà)出了18條延拓過(guò)程中的周期軌道。Jacobi積分從暗灰色周期軌道對(duì)應(yīng)的-1.397 945 3×10-3逐步增加到綠色周期軌道對(duì)應(yīng)的-1.227 945 3 m2/s2,步長(zhǎng)為1.0×10-2m2/ s2。三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra主星的幾何外形及引力場(chǎng)采用文獻(xiàn)[14]的數(shù)據(jù)由多面體模型[3-4]構(gòu)建,采用了2 048個(gè)頂點(diǎn)和4 096個(gè)面。

圖1 三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra主星引力場(chǎng)中周期軌道族的延拓Fig.1 The continuation of a periodic orbit family in the potential field of the triple asteroid system 216 Kleopatra

圖2給出了延拓過(guò)程中該周期軌道族中的各條周期軌道拓?fù)浞诸?lèi)的變化情況。不同的顏色表示不同的特征乘子的運(yùn)動(dòng)軌跡。初始時(shí)刻,有2個(gè)等于1的特征乘子和實(shí)軸上的4個(gè)特征乘子(不等于1或-1),這4個(gè)特征乘子有2個(gè)在正實(shí)軸上共軛,有2個(gè)在負(fù)實(shí)軸上共軛。正實(shí)軸上共軛的2個(gè)特征乘子位于1的兩側(cè),負(fù)實(shí)軸上共軛的2個(gè)特征乘子位于-1的兩側(cè)。隨著參數(shù)的變化,負(fù)實(shí)軸上共軛的2個(gè)特征乘子向-1靠近,最終在-1處相互碰撞并離開(kāi)實(shí)軸從而在單位圓上運(yùn)動(dòng)。同時(shí)正實(shí)軸上共軛的2個(gè)特征乘子也在相互接近但并未碰撞。

圖2 三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra主星引力場(chǎng)中周期軌道族延拓過(guò)程中的倍周期分岔Fig.2 The period-doubling bifurcationof a periodic orbit family in the potential field of the triple asteroid system 216 Kleopatra

由于在延拓過(guò)程中,周期軌道族中的每一條周期軌道始終有特征乘子位于單位圓以外,故該族周期軌道中的各條周期軌道均不穩(wěn)定。同時(shí)延拓過(guò)程中單位圓外的2個(gè)特征乘子均向單位圓移動(dòng),其中一個(gè)移動(dòng)到單位圓上,因此延拓過(guò)程中穩(wěn)定性增加,不穩(wěn)定性減小。采用文獻(xiàn)[7]的小行星平衡點(diǎn)編號(hào)方式,則該族周期軌道附近的平衡點(diǎn)為E4。根據(jù)文獻(xiàn)[10]的結(jié)論,該平衡點(diǎn)的拓?fù)漕?lèi)型屬于平衡點(diǎn)拓?fù)淝樾?,即此平衡點(diǎn)有4個(gè)復(fù)特征值和一對(duì)純虛特征值,它附近衍生出的周期軌道族的拓?fù)漕?lèi)型屬于周期軌道的拓?fù)淝樾?,即該周期軌道族的每一條周期軌道都有2個(gè)等于1的特征乘子和4個(gè)復(fù)特征乘子,這4個(gè)復(fù)特征乘子都不在x軸上或單位圓上。因此,本文發(fā)現(xiàn)的周期軌道族的拓?fù)漕?lèi)型與平衡點(diǎn)E4附近衍生出的周期軌道族[10]的拓?fù)漕?lèi)型不同。本文發(fā)現(xiàn)的周期軌道族是否和平衡點(diǎn)E4附近衍生的周期軌道族能通過(guò)延拓連接在一起,還需未來(lái)進(jìn)一步研究。分岔的位置的數(shù)值解為第10條周期軌道,第10條周期軌道與分岔位置的周期軌道的Jacobi積分的誤差小于0.5×10-2m2/s2。從圖2中還可以看出參數(shù)變化下,正實(shí)軸上的兩個(gè)共軛的特征乘子的位置也在發(fā)生變化,雖然在相互靠近但并未在1處碰撞,此外正實(shí)軸上的位于單位圓外的特征乘子移動(dòng)的距離大于正實(shí)軸上的位于單位圓內(nèi)的特征乘子移動(dòng)的距離。由于三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra主星的平衡點(diǎn)分布和平衡點(diǎn)的拓?fù)浞诸?lèi)存在一定的對(duì)稱性,因此在同E4拓?fù)漕?lèi)型相同的平衡點(diǎn)E2(平衡點(diǎn)編號(hào)方式參見(jiàn)文獻(xiàn)[7])附近也存在類(lèi)似的倍周期分岔。

3 三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra的動(dòng)力學(xué)構(gòu)形

本節(jié)計(jì)算三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra的動(dòng)力學(xué)構(gòu)形。216 Kleopatra主體的密度[15]為3.6 g/cm3,質(zhì)量為4.64×1018kg,自旋周期為5.385 h,自旋軸在地心J2000黃道坐標(biāo)系指向?yàn)?76.0°,16.0°)。相對(duì)位置與速度的初值取自文獻(xiàn)[2],以Kleopatra初始時(shí)刻的質(zhì)心為原點(diǎn)的坐標(biāo)系中兩個(gè)小月亮的初始位置與速度在表1中給出。在三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra的動(dòng)力學(xué)構(gòu)形的計(jì)算中采用2.2節(jié)給出的動(dòng)力學(xué)方程,考慮主體216 Kleopatra的不規(guī)則引力及其與2個(gè)小月亮的相互作用。

三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra的動(dòng)力學(xué)構(gòu)形計(jì)算結(jié)果如圖3所示,2個(gè)小月亮的軌跡均表示在主星的固連坐標(biāo)系中。外小月亮為Alexhelios,內(nèi)小月亮為Cleoselene。圖3中條狀為速度大小的幅值。圖4給出了動(dòng)力學(xué)構(gòu)形計(jì)算過(guò)程中的系統(tǒng)總能量的相對(duì)誤差,圖5給出了總角動(dòng)量的相對(duì)誤差。可見(jiàn)系統(tǒng)總能量的相對(duì)誤差在10-14量級(jí),總角動(dòng)量的相對(duì)誤差在10-6量級(jí)。

圖3 三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra的動(dòng)力學(xué)構(gòu)形Fig.3 The dynamical configuration of the triple asteroid system 216 Kleopatra

圖4 三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra的動(dòng)力學(xué)構(gòu)形計(jì)算過(guò)程中總能量的數(shù)值相對(duì)誤差Fig.4 The numerical error of energy in the calculation of the dynamical configuration of the triple asteroid system 216 Kleopatra

圖5 三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra的動(dòng)力學(xué)構(gòu)形計(jì)算過(guò)程中總角動(dòng)量的數(shù)值相對(duì)誤差Fig.5 The numerical error of angular momentum in the calculation of the dynamical configuration of the triple asteroid system 216 Kleopatra

由于該三小行星系統(tǒng)是大尺度比的三小行星系統(tǒng),小月亮與主星的質(zhì)量之比小于3×10-4,且小月亮并未在主星外形凹陷區(qū)域運(yùn)動(dòng),因此可以近似地采用瞬時(shí)軌道根數(shù)來(lái)研究2個(gè)小月亮相對(duì)216 Kleopatra主星的軌道變化情況。小月亮的瞬時(shí)軌道根數(shù)表示在主星的質(zhì)心瞬時(shí)赤道坐標(biāo)系中,瞬時(shí)赤道坐標(biāo)系的z軸和主星自旋軸重合。計(jì)算可得小月亮Alexhelios的半長(zhǎng)軸變化范圍為677.5～680.2 km,小月亮Cleoselene的半長(zhǎng)軸變化范圍為453.2～459.8 km,變化幅度分別為2.7 km和6.6 km。Alexhelios的偏心率的變化范圍從0.000 1～0.015 0,而Cleoselene的偏心率的變化范圍從0～0.032。這是由于Kleopatra的幾何外形強(qiáng)不規(guī)則,還存在兩個(gè)小月亮Alexhelios和Cleoselene的相互作用。將兩個(gè)小月亮的軌道傾角也表示在主星自旋運(yùn)動(dòng)的赤道坐標(biāo)系中,則Alexhelios的傾角的變化范圍從2.565°～2.642°,而Cleoselene的傾角的變化范圍從3.1°～3.25°。由于主星自旋軸指向存在變化,因此會(huì)給表示在主星赤道坐標(biāo)系的兩個(gè)小月亮的傾角帶來(lái)變化,而小月亮傾角的變化還與主星的不規(guī)則外形產(chǎn)生的引力場(chǎng)、小月亮相互引力作用有關(guān)。

表1 三小行星216 Kleopatra的2個(gè)小月亮的初值Table 1 Intial values of two moonlets of the triple asteroid system 216 Kleopatra

4 小 結(jié)

研究了三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra主星質(zhì)心固連坐標(biāo)系中的探測(cè)器動(dòng)力學(xué)方程,給出了三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra的考慮不規(guī)則外形與引力場(chǎng)、軌道與姿態(tài)的引力全多體問(wèn)題的動(dòng)力學(xué)方程及Jacobi積分。在考慮三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra主星引力場(chǎng)中動(dòng)力學(xué)行為時(shí),發(fā)現(xiàn)一種新的周期軌道族的倍周期分岔。對(duì)于三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra自身的動(dòng)力學(xué)機(jī)制,在考慮主星的不規(guī)則精確外形與引力、及兩個(gè)小月亮的相互作用的情況選,分析了小月亮軌道的變化。三個(gè)天體的不規(guī)則外形和的相互作用引起兩個(gè)小月亮的偏心率的變化幅度非常顯著。若在主星自旋運(yùn)動(dòng)的赤道坐標(biāo)系中表示的兩個(gè)小月亮的軌道傾角,則Alexhelios的傾角的變化范圍為2.565°～2.642°,而Cleoselene的傾角的變化范圍為3.1°～3.25°。兩個(gè)小月亮的瞬時(shí)軌道平面均與三小行星系統(tǒng)216 Kleopatra主星赤道平面接近重合。

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Dynamics in the Potential Field of the Triple Asteroid System 216 Kleopatra

JIANG Yu1,2,ZHANG Yun2,REN Zhaoxin2,BAOYIN Hexi2,LI Hengnian1
(1.State Key Laboratory of Astronautic Dynamics,Xi’an Satellite Control Center,Xi’an 710043,China;2.School of Aerospace Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084,China)

The triple asteroid system 216 Kleopatra in the main-belt is consisted of the primary 216 Kleopatra and two moonlets Alexhelios[S/2008(216)1]as well as Cleoselene[S/2008(216)2].The primary is a contact binary asteroid which has highly irregular shape and looks like a dumb bell,its three-axes lengths are 217 km× 94 km×81 km.Alexhelios is the outer moonlet,with the size of 8.9 km,while Cleoselene is the inner moonlet,with the size of 6.9 km.The dynamical behavior of the triple asteroid system 216 Kleopatra contain extremely abundant scientific connotation.This paper studies its dynamic mechanism and the motion law of a spacecraft in the potential field.The dynamical equation expressed in the body-fixed frame of the primary has been analyzed,and the dynamical equations as well as the Jacobi integral of the full three-body problem of the triple asteroid system have been presented.The irregular shape,the orbit and the attitude of these three minor bodies are all considered.A new kind of period-doubling bifurcation in the potential field of the primary of the triple asteroid system 216 Kleopatra has been found.The dynamical configuration of this triple asteroid system has been investigated,with considering the irregular gravitational force,the geometrical shape,and the interaction mechanism between these two moonlets.It is found that the irregular shape and the interaction mechanism between these two moonlets cause the orbital parameters of the two moonlets Alexhelios and Cleoselene vary obviously.

triple asteroids;contact binary asteroids;gravitational full N-body problem;bifurcations;equilibrium point

P134.2

A

2095-7777(2015)04-0352-06

10.15982/j.issn.2095-7777.2015.04.009

姜宇(1983—),男,工程師,主要研究方向:多小行星系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、航天器編隊(duì)飛行與星座的控制、小行星探測(cè)器軌道力學(xué)、彗星塵埃動(dòng)力學(xué)等。

[責(zé)任編輯:楊曉燕]

2015-09-18

2015-10-18

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372150);國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)(2012CB720000);高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(2012002110078)