集合論反射原則探析

朱 敏

自1947年哥德爾明確提出新公理綱領(lǐng)至今，反射原則(Reflection Principles)被視為通過描繪集合宇宙V而為新公理提供辯護(hù)的最具潛力的方法?？低袪?、策梅洛、阿克曼、貝奈斯、哥德爾等都一致認(rèn)為，集宇宙的主要特征是“任何由某確定閉包原則定義的集合都無法描繪它”。反射原則就是精確表達(dá)這個(gè)非形式的描述:關(guān)于集宇宙V的任何真斷言φ必定已經(jīng)在V的某初始段Vα上為真，它的形式化表述為:V|= φ(A)→ ?αVα|= φα(Aα)，其中 φα(Aα)是φ(A)的量詞相對(duì)于Vα的結(jié)果，Aα是任意參數(shù)A相對(duì)于Vα的結(jié)果。

目前已有的一些研究成果表明，無論涉及有窮階量詞和參數(shù)的語(yǔ)句集，還是無窮階量詞和參數(shù)的語(yǔ)句集，反射原則均是或弱于Erd?s基數(shù)κ(α)①如果 α ＞ω，Erd?s基數(shù) κ(α)是最小基數(shù) κ(如果存在的話)，使得。，或不一致。然而要讓反射原則對(duì)集宇宙作出精確描述似乎是困難的，因?yàn)槿藗儗?duì)于它力圖描繪的集宇宙V的理解存在諸多分歧。在康托爾的“絕對(duì)學(xué)說”②M.Hallett，Cantorian Set Theory and Limitation of Size，Oxford:Clarendon Press，1984，p.42.中，集宇宙V被視為“完成的總體”;在策梅洛的“超窮非集或超集”③E.Zermelo，On Boundary Numbers and Domains of Sets:New Inverstigations in the Foundations of Set Theory，in H.D Ebbinghaus，A.Kanamori，C.G Fraser(Eds.)，Ernst Zermelo Collected Works，Volume I，Berlin:Springer，2010，p.429，p.431.中，集宇宙V被視為“未完成的總體”;而在哥德爾那里，集宇宙V被理解為由“集合迭代概念”生成④它通過移除簡(jiǎn)單類型論上的三個(gè)限制而獲得。第一，不同類型的類可以形成一個(gè)類;第二，當(dāng)和具有不恰當(dāng)類型時(shí)，不是無意義而是為假;第三，不限于有窮類型，而是允許類型進(jìn)入超窮。這樣，類型變成集合域，從而得到一個(gè)集合的累積分層。集宇宙V的含義不明確導(dǎo)致的結(jié)果是，一方面，人們不太可能以非特設(shè)的方式限制反射原則以避免不一致性;另一方面，反射原則的概念似乎可以無限擴(kuò)展，即總可以超越已被精確闡述的反射原則，得到更強(qiáng)的反射原則。但到目前為止，許多學(xué)者認(rèn)為Erd?s基數(shù)仍然是所有已知相容的反射原則不可逾越的屏障。那么，如何可能提出一種強(qiáng)反射原則，它既可以突破這個(gè)屏障以證成大的大基數(shù)公理，又可以描述真正意義上的集宇宙V呢?這取決于人們對(duì)集宇宙V的理解。

一、有限閉包下的反射原則

支持所有公理，尤其大基數(shù)公理都蘊(yùn)涵在“V是不可描述的”中的首先是哥德爾:“總體上，我相信如果分析到極致的話，每條無窮公理應(yīng)該從(極為似真的)V是不可定義的原則中推導(dǎo)出來，這里，可定義性在越來越廣泛和理想化的意義上被對(duì)待。”①H.Wang，A Logical Journey:From G?del to Philosophy，Cambridge，MA:Mit Press，1996，p.284.1951年哥德爾提出的“由跳躍運(yùn)算和正則運(yùn)算下的閉包條件”實(shí)現(xiàn)的累積分層就暗含反射原則的形式:“?X[φ(X)→ ?βφβ(X)]”，由它可以推導(dǎo)出小的大基數(shù)的存在，如不可達(dá)基數(shù)、Mahlo基數(shù)和弱緊致基數(shù)等。除此之外，哥德爾也在1964年的文章中斷言更大的大基數(shù)(即可測(cè)基數(shù)等)的存在。但是，由跳躍運(yùn)算和正則運(yùn)算下的閉包條件實(shí)現(xiàn)的僅僅是一階反射原則，它并不蘊(yùn)涵這些大的大基數(shù)公理。而且，后來人們提出的高階反射原則，即便涉及集宇宙V滿足的一般邏輯條件下的閉包條件，但可能因φ(X)在邏輯上過于復(fù)雜從而使得得到的更強(qiáng)的大基數(shù)公理不足以令人信服，甚至高階反射原則在涉及三階或高階參數(shù)時(shí)會(huì)導(dǎo)致不一致②Cf.William W.Tait，Godel's Unpublished Papers on Foundations of Mathematics，Philosophia Mathematica，vol.9，no.1，2001，pp.87-126，p.96.。人們也曾嘗試借助于某種“相似性原則”——ω具有的性質(zhì)應(yīng)該也被某個(gè)更大的基數(shù)所具有——為這些更大的大基數(shù)公理做出辯護(hù)，但是這個(gè)原則使得更大的大基數(shù)越來越遠(yuǎn)離直觀的集合概念。因此，哥德爾希望使得所有集合論公理都蘊(yùn)含在集合迭代概念下的期望并沒有得到實(shí)現(xiàn)，基于有限閉包下的反射原則得到的集合論公理是有限的。

當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué)家 W.泰特(William.W.Tait)同樣支持集合論公理蘊(yùn)涵在集宇宙V中的觀點(diǎn)，并將“集宇宙V”理解為哥德爾的“集合迭代概念”。他認(rèn)為，哥德爾1933年解釋了一種可擴(kuò)充的形式系統(tǒng)分層，它對(duì)于集合概念是內(nèi)在的。這個(gè)可擴(kuò)充的分層與哥德爾的不完全性定理有關(guān):由不完全性定理，解決某系統(tǒng)S上的不可判定命題，需要擴(kuò)充該系統(tǒng)到一個(gè)新的分層。這可以從由下到上的反射原則得到，即基于語(yǔ)句φ(X)=S的反射原則從相容系統(tǒng)S=Sα(α是無窮數(shù))獲得累積分層中的Sβ=S+ ?ζSζ(Sβ是高于 Sα的下一個(gè)分層)，然后由Sβ證明Sα中不可判定的命題。另一方面，由不完全性定理，構(gòu)造越來越高的分層不會(huì)終止，因?yàn)镾β中又會(huì)出現(xiàn)不可證的命題，需要將它擴(kuò)充到更高層級(jí)來證明。這個(gè)可擴(kuò)充的分層也就意味著可以通過較高層級(jí)上的形式系統(tǒng)蘊(yùn)涵較低層級(jí)上的不可判定命題來承認(rèn)更大的大基數(shù)的存在。

但是，泰特認(rèn)為這種底層級(jí)的應(yīng)用對(duì)于引進(jìn)新公理并不重要，因?yàn)楫?dāng)前幾乎所有數(shù)學(xué)都包含在累積分層的前三個(gè)層級(jí)中(根據(jù)哥德爾1951年的說法)，可擴(kuò)充的形式系統(tǒng)分層，尤其大基數(shù)公理的需要不必通過底層級(jí)的應(yīng)用來“證成”它們。真正的關(guān)鍵是，根據(jù)任意集合都有上界的原則，新公理的需要對(duì)康托爾的超窮數(shù)理論是內(nèi)在的。由此，泰特質(zhì)疑一些作者將哥德爾的“新公理綱領(lǐng)”理解為“旨在解決算術(shù)問題或連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”，也認(rèn)為哥德爾用“外在證成”方式理解新公理的引入與集合的迭代概念不相容:公理的“內(nèi)在必然性”源自集宇宙的每個(gè)“性質(zhì)”必定被某集合所具有的思想，公理在這種迭代概念上的“真”不會(huì)因公理所獲推論的豐富性(即它的成功)而獲得更多支持，“從迭代概念角度看，一個(gè)命題真值的‘可能判定’只可能是它從這個(gè)概念推導(dǎo)出來的可能判定。否則，如何知道基于成功的可能判定不會(huì)導(dǎo)致對(duì)被視為內(nèi)在必然的真理的否認(rèn)?”①William W.Tait，Godel's Unpublished Papers on Foundations of Mathematics，Philosophia Mathematica，vol.9，no.1，2001，pp.87-126，p.96.

總之，泰特認(rèn)為集合論公理應(yīng)當(dāng)是一種內(nèi)在必然的真理，它的必然性體現(xiàn)在它恰恰表達(dá)了集宇宙V的涵義，并且集宇宙V的含義應(yīng)當(dāng)被理解為哥德爾意義上的“集合的迭代概念”。泰特反復(fù)強(qiáng)調(diào)反射原則可以耗盡集宇宙V的含義，因此只有那些從反射原則中推導(dǎo)出的公理是內(nèi)在必然的，并且由此形成的可擴(kuò)充形式系統(tǒng)分層必定符合康托爾超窮數(shù)理論所意謂的可擴(kuò)展性。那么，具有豐富推論的公理何以可能與體現(xiàn)內(nèi)在必然真理的公理不相容呢?唯一的可能就是它們不表達(dá)集宇宙V的含義。由此，泰特的一個(gè)顯然推論就是:不是由反射原則推導(dǎo)出來的公理都應(yīng)被拒斥?；谶@種觀念，當(dāng)他提到哥德爾也承認(rèn)可測(cè)基數(shù)存在時(shí)，他對(duì)這個(gè)基數(shù)的存在表示懷疑，因?yàn)樵摶鶖?shù)蘊(yùn)涵不可構(gòu)造集合的存在，而“目前尚不清楚討論的‘集合的一般概念’是否蘊(yùn)涵非可構(gòu)造集合的存在”②William W.Tait，Godel's Unpublished Papers on Foundations of Mathematics，Philosophia Mathematica，vol.9，no.1，2001，pp.87-126，p.94.。

除了這些哲學(xué)討論，泰特希望在技術(shù)成果上支持公理的內(nèi)在必然性。他先從一階反射原則出發(fā)，然后擴(kuò)展到高階反射原則，對(duì)高階反射原則的不一致性進(jìn)行語(yǔ)言的修正③Tait試圖通過避免采用“否定”語(yǔ)句來回避不一致性，因此提出了關(guān)于肯定語(yǔ)句集的反射原則，即Γn-反射原則，它表達(dá)Ω是Ω中的n-反射。經(jīng)證明，Γn-反射原則的強(qiáng)度處于n-不可描述基數(shù)和可測(cè)基數(shù)之間。Cf.William W.Tait，Zermelo on the Concept of Set and Reflection Principles，in M.Schirn(Ed.)，Philosophy of Mathematics Today，Oxford:Clarendon Press，1998，pp.469-483;William W.Tait，Constructing Cardinals from Below，The Provenance of Pure Reason:Essays in the Philosophy of Mathematics and Its History，2005，pp.133-154.。但是，P.克勒納(Peter Koellner)在2009年的文章中認(rèn)為，泰特在高階反射原則上進(jìn)行的語(yǔ)言修正具有特設(shè)性，很難說源于集合概念。更重要的是，即便接受泰特修正過的反射原則，所有已知的反射原則并沒有使得不完全性的現(xiàn)象明顯減少。也就是說，如果認(rèn)為這些已知的反射原則耗盡了集合的迭代概念，許多不可判斷命題，如二階算術(shù)上的命題“投影集具有單值化的結(jié)構(gòu)性質(zhì)”和三階算術(shù)上的命題CH等都將成為絕對(duì)不可判定的?？死占{曾嘗試借助于“反射原則上的反射”判斷二階算術(shù)上的獨(dú)立性命題，但這樣的“反射原則”并不描述集合的迭代概念。因此，在克勒納看來，接受大基數(shù)公理的唯一路徑似乎只能是尋求某種外在的辯護(hù)，即訴諸公理所獲得的豐富推論或根據(jù)它們對(duì)解決不可判定命題的實(shí)際成效等來為更大的大基數(shù)公理提供辯護(hù)。

泰特和克勒納觀點(diǎn)的不同在于，泰特認(rèn)為引進(jìn)新公理的標(biāo)準(zhǔn)不依賴于推論的豐富性，或者說，不依賴于對(duì)不完全性現(xiàn)象的解決，因?yàn)檫@可能導(dǎo)致對(duì)內(nèi)在必然真公理的否定;而克勒納用如下例子說明泰特上述觀點(diǎn)的錯(cuò)誤:語(yǔ)句Con(ZF+AD)不能從自然數(shù)概念中“推導(dǎo)出來”，但并不由此就會(huì)否認(rèn)關(guān)于自然數(shù)概念的真理④P.Koellner，On Reflection Principles，Annals of Pure and Applied Logic，vol.157，no.2，2009，pp.206-219.?？死占{由此希望通過表明反射原則的限度——“是否實(shí)際解決許多不可判定的問題”——來支持如下觀點(diǎn):如果引進(jìn)的新公理可以解決許多ZFC不可判定的命題，那么即便它們不是從反射原則推導(dǎo)出來的，它們的存在也是合理的。

倘若希望既接受泰特關(guān)于集合論公理是內(nèi)在必然的立場(chǎng)，又認(rèn)可克勒納催促解決不可判斷問題的主張，那么一條可能的解決路徑就是盡可能擴(kuò)充反射原則，以促使它們?nèi)菁{所有集合論公理，尤其容納那些似乎僅為解決不可判定命題而構(gòu)造的二階和三階的算術(shù)新公理。而這又不得不需要追問，反射原則到底應(yīng)當(dāng)描繪什么樣的集宇宙V?

二、潛無窮觀下的反射原則

事實(shí)上，克勒納在2009年的《論反射原則》(On Reflection Principles)中曾表明，迄今為止已知的反射原則并沒有完全精確描述“V的不可描述性”，由此仍有希望擴(kuò)充已有的反射原則來證成二階算術(shù)公理，乃至三階算術(shù)公理。更關(guān)鍵的是，相容的反射原則之所以不可逾越Erd?s基數(shù)，源于克勒納對(duì)反射原則的技術(shù)處理依賴于潛無窮觀的預(yù)設(shè)。

考慮高階反射原則能否被集合的迭代概念內(nèi)在證立，克勒納認(rèn)為最基本的困難是高階量化，這涉及潛無窮觀和實(shí)無窮觀的問題。首先，他認(rèn)為潛無窮者和實(shí)無窮者之間存在如下共識(shí):集合論中幾乎所有問題都是關(guān)于集宇宙初始段上的問題。其次，他認(rèn)為如果按照實(shí)無窮的觀點(diǎn)，即所有集合構(gòu)成的總體V是完成的總體，那么“這個(gè)總體不可能由下至上地被描述，因此[這個(gè)總體]滿足反射原則。但是沒有集合超出這個(gè)總體，因此很難根據(jù)這個(gè)觀點(diǎn)使得集宇宙上完全的高階量化有意義”①P.Koellner，On Reflection Principles，Annals of Pure and Applied Logic，vol.157，no.2，2009，pp.206-219.。這里，“實(shí)無窮不能使得完全的高階量化有意義”是因?yàn)椤叭绻钪鎂由所有集合構(gòu)成，V的冪集并不存在”②關(guān)于集合形成的運(yùn)算不適用于V的討論，參見P.Koellner，The Search for New Axioms(Doctoral dissertation，Massachusetts Institute of Technology)，2003，pp.17-20。。當(dāng)考慮集宇宙V具有的性質(zhì)也被Vα所具有時(shí)，由于實(shí)無窮V不能像集合的完全冪集一樣構(gòu)造它的完全冪集，限制了類上的量化，進(jìn)而不可能實(shí)現(xiàn)完全的二階反射原則。最終，實(shí)無窮只能處理一階反射原則模式和斷定不可達(dá)基數(shù)的存在③P.Koellner，The Search for New Axioms，p.32.，并且由實(shí)無窮觀點(diǎn)得到的反射原則不可能獲得更強(qiáng)的公理。

如果采取潛無窮的觀點(diǎn)，“談?wù)揤就是談?wù)撃砎α”④P.Koellner，On Reflection Principles，Annals of Pure and Applied Logic，vol.157，no.2，2009，pp.206-219.，那么便可以在Vα上進(jìn)行高階量化。例如，二階量詞?X和?X量化的(Vα)就是Vα+1，它可以形成高階反射原則。但是，潛無窮需克服如下困難:由于它說明V是不確定的總體，它又如何說明V具有的性質(zhì)也被Vα所具有(即反射原則)。這涉及如何理解V的問題。

在克勒納看來，V的不確定性在如下意義上成立:對(duì)V的任何精確描述都只是獲得某閉包原則下的Vα，因此談?wù)揤相當(dāng)于談?wù)揤α。按照如上觀點(diǎn)，集合概念V是由各種閉包原則獲得的各種Vα形成的譜系。但是，V和Vα有所區(qū)別:(1)Vα可以通過閉包原則闡明，而V不可能通過閉包原則闡明;(2)Vα可以被Vα+1超越，但V不可能被超越。這里的關(guān)鍵是，前者的超越不是說Vα+1比Vα具有更強(qiáng)的閉包原則，而是說它們僅僅是不同層級(jí)下實(shí)現(xiàn)的相同閉包⑤P.Koellner，The Search for New Axioms，pp.18-19，pp.48-49.。理由是，對(duì)于序數(shù) κPλ，如果Vκ和Vλ是 Vα中的元素，由于Vα的閉包原則可以被描述，就可以說Vλ滿足更強(qiáng)的閉包原則，因?yàn)樗幸粋€(gè)層級(jí)Vκ滿足內(nèi)在于集合概念中的閉包原則;但當(dāng)Vκ和Vλ處于V中時(shí)，由于V的閉包原則不可能被描述，因此不能說Vλ中有一個(gè)層級(jí)滿足這樣的閉包原則。

這產(chǎn)生一個(gè)后果:“集合概念的合法候選者是序不可描述的(order indiscernibles)。V是任意極大的封閉層級(jí)。[V]的合法候選者不可能被定義，而且離開它們的序不可能彼此辨別。這就是潛無窮主張任何集合可以被超越時(shí)談?wù)揤的方式?！雹轕.Koellner，The Search for New Axioms，p.49.基于這樣的潛無窮觀，克勒納得到如下結(jié)論:一般反射原則要么在三階量詞上強(qiáng)加不必要的限制來避免不一致，要么不可能逾越第一個(gè)Erd?s基數(shù)。雖然這個(gè)結(jié)論并不蘊(yùn)涵克勒納認(rèn)為現(xiàn)有的反射原則完全耗盡了V的不可描述性，但他顯然支持“不太可能證明一個(gè)強(qiáng)反射原則既能突破Erd?s基數(shù)的屏障又能基于集合的迭代概念獲得內(nèi)在合理性”。進(jìn)一步說，更強(qiáng)的大基數(shù)公理的合理性似乎只能訴諸外在證成的原則，即公理所獲得的推論豐富性或解決獨(dú)立性問題的富有成效性。

三、實(shí)無窮觀下的反射原則

與克勒納上述想法相左，P.D.韋爾奇(P.D.Welch)和 L.豪斯頓(L.Horsten)在《絕對(duì)無窮》(Absolute Infinity)①P.Welch，L.Horsten，Absolute Infinity，Retrieved from http://www.maths.bris.ac.uk/～ mapdw/AbsInf-submitted.pdf，2012.中表明，存在更強(qiáng)的反射原則可以為更強(qiáng)的大基數(shù)公理辯護(hù)，同時(shí)它們蘊(yùn)涵在集合的概念之中。與克勒納的顯著差別在于，他們支持在實(shí)無窮觀而不是潛無窮觀下闡明反射原則，并認(rèn)為克勒納的反射原則之所以得到消極結(jié)論，是因?yàn)樗鼈儾⒉皇菍?duì)康托爾“絕對(duì)無窮”的合理描繪。在韋爾奇和豪斯頓看來，1887年康托爾提出的“數(shù)學(xué)上的絕對(duì)無窮概念”應(yīng)當(dāng)被理解為一個(gè)整體，是完全確定、完全實(shí)在(在“完成”的意義上)、不可擴(kuò)展和數(shù)學(xué)上不可言說的，而這才是反射原則真正要去描繪的東西②Cf.P.Welch，L.Horsten，Absolute Infinity，Retrieved from http://www.maths.bris.ac.uk/～ mapdw/AbsInf-submitted.pdf，2012，pp.7-11.。進(jìn)一步說，如果“所有集合的宇宙是未完成的總體并不是意指客觀的不確定性，而是僅僅意指主觀上沒有能力實(shí)現(xiàn)它”③H.Wang，A Logical Journey:From G?del to Philosophy，p.259.，康托爾的集宇宙應(yīng)該具有如下結(jié)構(gòu):〈V，∈，C〉，其中，V是集宇宙，C是所有絕對(duì)無窮的匯集。從而，反射原則要表達(dá)的是，任何在〈V，∈，C〉中成立的斷言必定也在某集合大小(set-size)的結(jié)構(gòu)中成立，韋爾奇將其稱為廣義反射原則(簡(jiǎn)稱GRP):

存在一個(gè)序數(shù)κ和一個(gè)具有臨界點(diǎn)κ的不平凡初等嵌套 j∶〈Vκ，∈，Vκ+1〉→〈V，∈，C〉，其中，j是恒等變換函數(shù)。否則，當(dāng)小于 κ時(shí)，j(κ)fκ④P.Welch，L.Horsten，Absolute Infinity，Retrieved from http://www.maths.bris.ac.uk/～ mapdw/AbsInf-submitted.pdf，2012，p.14.。

這個(gè)定義說的是，當(dāng)集宇宙和它的部分在二階語(yǔ)言中被考慮時(shí)，集宇宙和它的部分至少與它們的初始段Vκ以及Vκ的部分不可區(qū)分，即集宇宙和它的所有真類被整個(gè)地反射到初始段〈Vκ，∈，Vκ+1〉中。這里，GRP 與克勒納的反射原則的差別在于:后者只是表明每個(gè)(二階)語(yǔ)句可以從集合論宇宙中被反射到某Vκ中，因此不同的二階陳述有可能被反射到不同的Vκ中，因而不會(huì)得到如下結(jié)果:集宇宙作為總體與它的任何單一的像集合的初始段相似;而GRP將整個(gè)二階語(yǔ)言反射到單一的Vκ中，因此假設(shè)了整個(gè)集宇宙〈V，∈，C〉與它的初始段〈Vκ，∈，Vκ+1〉是不可區(qū)分的。由此，GRP 比類反射原則以更強(qiáng)的方式表達(dá)了反射原則的思想，這使得 GRP產(chǎn)生很強(qiáng)的數(shù)學(xué)結(jié)果⑤P.Welch，Global Reflection Principles，in Exploring the Frontiers of Incompleteness，paper prepared for the EFI-Harvard Seminar，number INI12050-SAS in Isaac Newton Institute Pre-print Series，May，2012.:當(dāng)GRP成立時(shí)，存在不可數(shù)多的可測(cè)基數(shù);并且由于可測(cè)基數(shù)遠(yuǎn)大于第一個(gè)Erd?s基數(shù)，GRP實(shí)際上克服了克勒納提出的挑戰(zhàn)，即GRP不僅可以獲得大于Erd?s基數(shù)的基數(shù)，而且它源于集合概念(需要注意的是，這個(gè)概念與克勒納的集合概念不同);尤其，GRP還蘊(yùn)涵不可數(shù)多Woodin基數(shù)真類，因此也就蘊(yùn)涵投影決定性公理PD和決定性公理ADL(i)。這意味著，本身因推論的豐富性而獲得支持的那些大基數(shù)公理和投影決定性公理現(xiàn)在可以由GRP提供內(nèi)在辯護(hù)。

這些都是基于GRP背后的實(shí)無窮思想產(chǎn)生的技術(shù)結(jié)果，但是克勒納之前聲明類反射原則的消極結(jié)果，并且他的強(qiáng)反射原則意義上的外延原理都不源自集合的迭代概念，因此韋爾奇和豪斯頓不僅需要說明GRP的確是在描述集宇宙(尤其當(dāng)它還以嵌套函數(shù)作為中介時(shí))，還需說明GRP承諾什么樣的本體存在。就前一個(gè)問題而言，GRP不僅是獲得絕對(duì)無窮知識(shí)的間接模式，而且表達(dá)了集宇宙作為一個(gè)總體由于過于豐富不可能用語(yǔ)言定義的思想，所以它的確是似真的反射原則⑥P.Welch，L.Horsten，Absolute Infinity，Retrieved from http://www.maths.bris.ac.uk/～ mapdw/AbsInf-submitted.pdf，2012，p.17.。就后一個(gè)問題而言，這個(gè)問題源自GRP的定義。韋爾奇和豪斯頓假設(shè)〈V，∈，C〉至少使得 NBG為真，因此GRP定義中初等嵌套?的初等性是關(guān)于二階集合論語(yǔ)言的初等性;另外，j預(yù)設(shè)了Vκ和Vκ+1之間序?qū)Φ拇嬖?，因此它至少?yīng)該表述為一個(gè)三階對(duì)象。這需要GRP回答二階和三階量詞域中包含什么對(duì)象的問題，即承諾什么對(duì)象存在的問題。顯然，集合的存在毫無困難，它是一階量詞所包含的對(duì)象。從哲學(xué)上看，主要問題是二階和三階量詞包含什么樣的對(duì)象。

而理解二階和三階量詞包含什么樣的對(duì)象需要區(qū)分類與集合①P.Welch，Conceptualism:Sets and Classes，“Foundations of Mathematics:What Are They and What They for?”Conference，Cambridge，July，2012.。按照康托爾的早期思想，絕對(duì)無窮和集合是不同的，因此也意味著類不同于集合。馮·諾依曼在闡述康托爾的這種思想時(shí)認(rèn)為類和集合都遵循數(shù)學(xué)法則，只是類遵循不同的數(shù)學(xué)法則，即它可以包含元素，但自身不作為其他對(duì)象的元素，從而不存在類的冪集公理?？死占{也認(rèn)為不存在V的冪集公理，但是他的這個(gè)主張意在說明高階反射原則上的完全高階量化不可能通過實(shí)無窮獲得，由此他傾向于潛無窮的觀點(diǎn)。韋爾奇和豪斯頓則通過探究為何不存在V的冪集公理來明確類和集合的不同，從而基于實(shí)無窮觀來實(shí)現(xiàn)更強(qiáng)的反射原則。韋爾奇和豪斯頓認(rèn)為，馮·諾依曼沒有說清楚“類”是什么，尤其沒有說清楚為何類可以包含元素卻不可以作為其他東西的元素。如果遵照康托爾的本意，集宇宙V應(yīng)該是純邏輯的整體，類是部分集宇宙。它們的關(guān)鍵特征是，即便將V的各個(gè)部分融合在一起也不會(huì)產(chǎn)生一個(gè)超類，而仍只是V本身，所以不可能存在類的冪集公理，由此將類與集合區(qū)別開來。這里，作為純邏輯解釋的類可以視為二階量詞域中的對(duì)象②P.Welch，L.Horsten，Absolute Infinity，Retrieved from http://www.maths.bris.ac.uk/～ mapdw/AbsInf-submitted.pdf，2012，pp.20-22.。

韋爾奇和豪斯頓還給出了二階量詞域的復(fù)多解釋。這個(gè)解釋隱含在康托爾晚期“不一致復(fù)多”的術(shù)語(yǔ)中，即在只承認(rèn)集合存在的情況下承認(rèn)類理論的真理，即本體論上不承諾類的存在。按照這個(gè)理解，“復(fù)多”是類不是集合，但它不是二階量詞域中的對(duì)象，因此不是上述純邏輯意義上的類。韋爾奇和豪斯頓強(qiáng)調(diào)，這種復(fù)多解釋不會(huì)產(chǎn)生集宇宙的潛無窮概念，因?yàn)橐浑A量詞域中的集合以實(shí)無窮的方式被解釋，所以二階量詞的復(fù)多解釋完全取決于它。另外，他們還指出，通常認(rèn)為復(fù)多的存在與V上的定義條件無關(guān)，因此非直謂的二階概括模式對(duì)集合的復(fù)多成立。但高階復(fù)多并不具有實(shí)際意義，因?yàn)楦鶕?jù)類的解釋，集合的復(fù)多的復(fù)多并不超出集合的復(fù)多。更重要的是，在陳述GRP的二階表述時(shí)，尤其表述j為一個(gè)三階對(duì)象時(shí)，無需量化集合的復(fù)多的復(fù)多，而是只需很小的類序列就可以編碼它③P.Welch，L.Horsten，Absolute Infinity，Retrieved from http://www.maths.bris.ac.uk/～ mapdw/AbsInf-submitted.pdf，2012，p.21，pp.23-24.。

韋爾奇和豪斯頓認(rèn)為這兩種二階量化域的解釋提供了清楚表達(dá)GRP的語(yǔ)言框架，將兩者結(jié)合起來就可作為一種形而上學(xué)立場(chǎng)。首先，根據(jù)純邏輯的解釋，集合是存在的唯一數(shù)學(xué)對(duì)象，它們匯集在一起構(gòu)成完成的總體V，V的每個(gè)部分也是完成的整體;但是，V和它的部分(子類)都不是數(shù)學(xué)對(duì)象，子類與V之間的部分和整體的關(guān)系因此不同于集合之間的屬于關(guān)系，它們并不產(chǎn)生一個(gè)類的分層。另外，一階量詞遍歷所有集合，二階量詞遍歷V所有部分，因此承諾了集合的存在，以及承諾了集宇宙V和它的部分的存在。其次，根據(jù)復(fù)多的解釋，復(fù)多的量化允許復(fù)多地指稱已承諾的實(shí)體。由于已承諾集合和類的存在，因此允許三階量詞復(fù)多地指稱部分V，即指稱部分V只需要三階存在量詞“?j”，它用于表達(dá)嵌套函數(shù)j的存在，同時(shí)它滿足GRP中的條件。注意，j的存在不是作為對(duì)象存在，而是作為滿足某些性質(zhì)的序?qū)Φ膹?fù)多存在。最后，無論是子類和V之間的部分和整體關(guān)系，還是集合的復(fù)多和集合的復(fù)多的復(fù)多之間的關(guān)系，由于它們都不是數(shù)學(xué)對(duì)象，因此不可能產(chǎn)生一個(gè)類或復(fù)多的分層。由此，GRP在純邏輯和復(fù)多解釋下都可以表達(dá)為一個(gè)二階原則，而且在主張它的三階表達(dá)式時(shí)，首先用純邏輯解釋說明二階量詞域，然后用復(fù)多解釋使得三階量詞有意義。由此得到的可喜結(jié)果是，GRP不僅是一個(gè)似真的反射原則，而且在一定程度上消解了泰特與克勒納之間的爭(zhēng)論與分歧。

四、結(jié) 語(yǔ)

從哥德爾、泰特到克勒納、韋爾奇和豪斯頓都力圖通過反射原則說明“集宇宙如此豐富以至于不可能通過任何斷言近似地描述它”，從而為已有的集合論公理提供辯護(hù)。但形式化后的反射原則，尤其克勒納與韋爾奇、豪斯頓這后兩者的反射原則強(qiáng)度完全不同?？死占{的類反射原則盡管比哥德爾和泰特的表達(dá)力更強(qiáng)，但仍相對(duì)有限，同時(shí)加強(qiáng)類反射原則的任何嘗試很快會(huì)導(dǎo)致不一致。韋爾奇和豪斯頓的反射原則卻得到相當(dāng)大的大基數(shù)公理。兩者之所以存在如此大的差別，在于他們的反射原則分別取決于他們的潛無窮觀和實(shí)無窮觀。到底哪個(gè)更符合真正的集合概念呢?依照當(dāng)初哥德爾關(guān)于公理應(yīng)當(dāng)蘊(yùn)涵在集合的迭代概念之中的說法，克勒納的潛無窮下的反射原則顯然蘊(yùn)涵在其中。但韋爾奇和豪斯頓的GRP是實(shí)無窮下的二階反射原則，集合的迭代概念不足以支持GRP。如果傾向于支持所有大基數(shù)公理都應(yīng)當(dāng)蘊(yùn)涵在集合概念之中，那么這種內(nèi)在證立的方式就會(huì)支持由GRP推導(dǎo)出的大基數(shù)公理，并且集合論就不應(yīng)視為描述集合的迭代概念，而是視為描述康托爾意義上的完成的絕對(duì)無窮概念。這意味著絕對(duì)無窮概念似乎是真正的集合概念。但這樣是否拒斥了集合的迭代概念了呢?并非如此。D.馬丁(Donald A.Martin)在分析哥德爾的“概念實(shí)在論”時(shí)，認(rèn)為哥德爾的內(nèi)在證立所依賴的兩個(gè)要素“數(shù)學(xué)直覺和數(shù)學(xué)理解力”采用了兩種集合概念的用法:作為對(duì)象的集合和作為概念本身的集合。馬丁支持后一種用法，而且認(rèn)為這實(shí)際上是一種“集合結(jié)構(gòu)”。按照這樣的理解，哥德爾的集合迭代概念產(chǎn)生出來的是“集合結(jié)構(gòu)”，并且如果“集合結(jié)構(gòu)”是同構(gòu)的，集合的迭代概念就是唯一的①Cf.Donald A.Martin，G?del's Conceptual Realism，Bulletin of Symbolic Logic，vol.11，no.2，2005，pp.207-224.。如果集合的迭代概念被視為馬丁意義上的集合論的范疇性“集合結(jié)構(gòu)”，那么絕對(duì)無窮概念和集合的迭代概念只是集宇宙V的外延和內(nèi)涵。但是在外延的意義上，GRP并非描繪范疇性的集合結(jié)構(gòu)，而是旨在表達(dá)作為完成的絕對(duì)無窮概念V的超越性。其結(jié)果是，GRP蘊(yùn)涵在這個(gè)絕對(duì)無窮概念之中，同時(shí)因?yàn)檫@個(gè)絕對(duì)無窮不可言說，GRP表達(dá)的這種超越性只是認(rèn)識(shí)論意義上的，而不是本體論意義上的。