第一作者任勇生男，博士，教授，1956年7月生

旋轉復合材料薄壁軸的不平衡非線性彎曲振動

任勇生，張興琦，代其義

(山東科技大學機械電子工程學院, 青島266590)

摘要：研究幾何非線性復合材料薄壁軸在偏心激勵作用下的非線性振動特性。在軸的應變位移關系中引入Von Kármán幾何非線性，基于Hamilton原理和變分漸進法(VAM)導出復合材料傳動軸的拉-彎-扭耦合非線性振動偏微分方程組。為了著重研究軸的橫向彎曲非線性振動特性，在上述模型中忽略軸向變形和扭轉變形，得到軸的橫向彎曲非線性振動偏微分方程，其中考慮了黏滯外阻和內阻的影響。采用Galerkin法，將偏微分方程轉離散化為常微分方程，在此基礎上利用四階Runge-Kutta法對常微分方程組進行數(shù)值模擬，獲得位移時間響應圖、相平面圖和功率譜圖，研究了外阻、內組、偏心距和轉速對非線性振動響應的影響，發(fā)現(xiàn)旋轉復合材料薄壁軸存在混沌運動。

關鍵詞：非線性振動；復合材料薄壁軸；旋轉軸

基金項目：國家自然科學基金(11272190);山東省自然科學基金(ZR2011EEM031);山東科技大學研究生科技創(chuàng)新基金項目(YC130210)資助項目

收稿日期：2014-06-18修改稿收到日期：2014-07-30

中圖分類號:TH113文獻標志碼：A

Nonlinear bending vibration of an unbalanced rotating composite thin-walled shaft

RENYong-sheng,ZHANGXing-qi,DAIQi-yi(College of Mechanical and Electronic Engineering, Shandong University of Science and Technology, Qingdao 266590, China)

Abstract:The dynamic behavior of rotating composite thin-walled shafts with geometrical non-linearity was studied here. The nonlinear tensional-bending-torsional vibration equations for a rotating composite thin-walled shaft were derived using Hamilton’s energy principle and variational-asymptotical method (VAM). On the basis of von Karman’s assumption, the geometrical nonlinearity was included in the relationship of strain and displacement of the shaft. In order to emphatically study the shaft’s nonlinear bending vibration, the tensional and torsional deformations were ignored. Thus, the nonlinear bending vibration equations for the rotating composite thin-walled shaft were obtained considering the external and internal viscous dampings. Galerkin’s method was used to discretize the governing equations and the ordinary differential equations of the rotating shaft hending vibration were obtained. By using the fourth-order Runge-Kutta method, the differential equations were integrated numerically in time domain, the displacement-time responses, phase plane curves and power spectra of the shaft were obtained. The effects of external damping, internal damping, mass eccentricity and rotating speed on the nonlinear bending vibration responses of the shaft were studied. The numerical simulation results showed that the shaft may exhibit a chaotic motion.

Key words:nonlinear vibration; composite thin-walled shaft; rotating shaft

復合材料由于比強度和比剛度高、抗疲勞和減振性能好，在直升機尾傳動軸[1]以及汽車傳動軸[2]的結構設計中已經顯示出廣闊的應用前景。采用復合材料取代金屬材料不僅可以減輕結構的重量，同時還能夠減少噪聲、提高結構的抗振性能。輕質復合材料軸通常具有細長、薄壁結構的形式，當復合材料軸的長度增加時，其變形的幾何非線性特征也會隨之顯現(xiàn)出來。

不計幾何非線性的復合材料軸的線性振動問題的研究，一般僅限于對固有頻率和臨界轉速進行求解和穩(wěn)定性分析，但是無法對復合材料軸在不平衡激勵下的非線性響應進行分析和預測。因此，需要借助于非線性振動的理論揭示復合材料軸的非線性動力行為。

文獻[3-7]關于旋轉軸的幾何非線性動力學問題的分析與建模僅限于針對各向同性實心軸；文獻[8]雖然給出了一個計及幾何非線性的復合材料薄壁梁的非線性振動模型，但是其中沒有考慮旋轉效應而且也未能給出有關非線性振動特性的數(shù)值結果；文獻[9-10]研究了結構非線性變形的復合材料薄壁旋轉梁的動態(tài)特性，但是所建立的動力學方程僅適合于葉片類旋轉復合材料結構而不適合于旋轉復合材料軸。目前尚未見到計及幾何非線性的旋轉復合材料薄壁軸非線性振動的研究報道。

本文以變分漸進法(VAM)薄壁梁理論為基礎[11]，通過引入Von Kármán幾何非線性，采用Hamilton原理和Galerkin法建立了一個復合材料薄壁軸的非線性振動分析模型。將本文模型和計算方法用于周向均勻剛度(CUS)(即滿足：θ(y)=θ(-y),θ(z)=θ(-z)，式中，θ表示由正向s軸進行度量的纖維鋪層角)復合材料薄壁軸的橫向非線性振動分析，其中考慮了質量偏心、外阻和內阻的影響。研究結果表明，本文提出的模型和計算方法能夠用于分析和預測具有幾何非線性的復合材料薄壁軸的振動特性以及包括軸的偏心、外阻、內阻和轉速等主要參數(shù)對非線性動力學行為的影響規(guī)律。

1振動微分方程的建立

具有圓形截面、長度為L的復合材料薄壁軸，以不變角速度Ω繞轉軸旋轉。定義軸的旋轉坐標系(x,y,z)和固定坐標系(X,Y,Z)，它們具有共同的原點，此外還定義局部坐標系 (x,s,ζ)，如圖1所示。

圖1　圓截面復合材料薄壁軸 Fig.1 Thin-walled composite shaft of a circular cross section

為了導出復合材料薄壁軸的非線性振動方程，利用Hamilton原理

(1)

其中：U和T分別為應變能和動能，分別表示如下

(2)

(3)

如果在位移應變關系中考慮Von Kármán幾何非線性,可以推出[10]

(4)

其中：G(s)的物理意義為扭轉率，g1(s)的物理意義為軸向應變，g2(s)和g3(s)的物理意義為沿y,z方向的彎曲曲率；φ表示橫截面繞x軸的扭轉角。

應力應變本構關系

(5)

將式(5)代入(2)，進行變分，得[10]

(6)

其中：F1,M1,M2,M3表示軸的廣義截面內力和力矩，其具體表達式見文獻[10]。

動能的變分為

(7)

將式(6)、(7)代入變分方程 (1)，得

(8)

其中:

(9)

b1=?AρdA,b2=?AρydA,b3=?AρzdA,

b4=?Aρy2dA,b5=?Aρz2dA

為了求得復合材料軸橫向非線性振動的近似解析解，在方程組(8)的第二、三個方程中忽略軸向變形和扭轉變形，并且考察具有CUS構型的圓形截面復合材料薄壁軸，得到橫向振動的非線性動力學方程組

(10)

如果將坐標系置于固定坐標系下,并且同時考慮粘性外阻尼、內阻和偏心作用，則有[12]

(11)

采用Galerkin近似求解方法，利用假設振型消除軸的空間位置變量，將振動方程 (11)轉化為關于時間的常微分方程。為了明確起見,假設軸的兩端具有簡支邊界條件。

軸的彎曲變形表示如下

(12)

其中:彎曲振型函數(shù)選取標準的非旋轉、非耦合、均勻簡支梁的振型函數(shù)

(13)

為了著重研究第一階模態(tài)的非線性動力學特性，對u2,u3取單模態(tài)近似，于是將(11)表示的非線性振動偏微分方程組，簡化為2個未知函數(shù)U21,U31組成的非線性振動方程組

(14)

式中：

(15)

2算例分析

2.1外阻的影響

圖2　不同外阻尼下的復合材料薄壁軸的位移響應 Fig.2 The time response of a composite shaft for different external damping coefficients

2.2內阻的影響

圖3表示具有不同內阻的復合材料薄壁軸的時間響應曲線，取外阻尼cn=9 Ns/m。其他參數(shù)與圖2的取值相同。結果表明，當cr=0.5 Ns/m時，軸的運動是穩(wěn)定的，對應的時間響應曲線如圖3 (a)所示。當cr=2 Ns/m時，軸的運動是臨界穩(wěn)定的，對應的時間響應曲線如圖3(b)所示。當cr=4 Ns/m時，運動狀態(tài)是不穩(wěn)定的，軸的時間響應曲線如圖3(c)所示。

圖3　不同內阻下的復合材料薄壁軸的位移響應 Fig.3 The time response of a composite shaft for different internal damping coefficients

數(shù)值結果還表明，在給定內阻的情況下，當轉速逐步增加到達某個值時(Ω=2 500 rad/s)，系統(tǒng)同樣可以由穩(wěn)定的運動變?yōu)椴环€(wěn)定的運動。為了節(jié)省篇幅，這些結果不再展示。

2.3偏心的影響

對應于四種不同的偏心距：即，e1=5×10-7m、e1=5×10-5m、e1=5×10-3m 和e1=5×10-1m，復合材料薄壁軸的動力學特性(包括時間響應圖、相平面圖和功率譜圖)演化過程，分別如圖4～7所示。所選取的參數(shù)分別為鋪層角θ=60°，轉速Ω=2 000 rad/s，偏心距e2=0，其他材料參數(shù)和初始條件同前。

圖4　單倍周期運動 Fig.4 Period-one motion of the composite shaft

結果表明，當e1=5×10-7m時，系統(tǒng)發(fā)生單倍周期運動，如圖4所示；當e1=5×10-5m和e1=5×10-3m時，系統(tǒng)發(fā)生概周期運動，如圖5和圖6所示；當e1=5×10-1m時，系統(tǒng)發(fā)生混沌運動，如圖7所示。

數(shù)值計算結果還顯示出，除了偏心距之外，軸的轉速對非線性振特性也有重要的影響。例如，在給定偏心距e1的情況下，隨著轉速的增加，軸的運動會依次表現(xiàn)為單倍周期運動、概周期運動、混沌運動、概周期運動和周期運動。為節(jié)省篇幅，這些圖形不再給出。

2.4徑厚比和長徑比的影響

不計內外阻的影響,取徑厚比分別為50，100和200,計算得到軸的時間響應圖,結果表明,徑厚比對響應幅值的影響很小,但是增加徑厚比會導致固有頻率有所增加; 此外,從長徑比分別取20、60和100的計算結果看到, 固有頻率隨著長徑比的增加顯著增加, 而且長徑比的增加也導致響應幅值明顯增大, 為節(jié)省篇幅，這些圖形也不再給出。

圖5　概周期運動 Fig.5 Quasiperiodic motion of the composite shaft

圖6　概周期運動 Fig.6 Quasiperiodic motion of the composite shaft

圖7　混沌運動 Fig.7 Chaotic motion of the composite shaft

3結論

提出了具有幾何非線性的復合材料薄壁軸在不平衡激擾下的受迫振動分析模型，在不計拉-扭變形的影響的情況下，著重研究了橫向彎曲非線性振動的響應特性。利用四階龍格-庫塔法對橫向彈性變形耦合的系統(tǒng)模型進行數(shù)值分析。得到如下結論：

(1)隨著偏心距的增大，軸將依次出現(xiàn)單倍周期運動、概周期運動和混沌運動；類似地，隨著轉速的增大，軸也會依次表現(xiàn)出單倍周期運動、概周期運動、混沌運動、概周期運動和單倍周期運動。

(2)外阻尼對軸的振動只產生抑制作用，振動抑制的效果隨著外阻尼的增加而增加。然而，內阻會降低軸的動力穩(wěn)定性。在轉速固定的情況下，隨著內阻的增加，軸的運動由穩(wěn)定狀態(tài)逐漸變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)；在內阻固定的情況下，隨著轉速的增大，軸的運動狀態(tài)同樣可由穩(wěn)定逐漸變?yōu)椴环€(wěn)定。

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