關(guān)于兩等量同種點(diǎn)電荷中垂線上場(chǎng)強(qiáng)最大值的再思考

陳一垠

(南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院江蘇 南京210097)

摘 要：兩等量同種點(diǎn)電荷連線中垂線上的電場(chǎng)強(qiáng)度存在一極大值點(diǎn)，高中階段學(xué)生由于數(shù)學(xué)知識(shí)不足,無(wú)法求出該極大值點(diǎn).本文通過(guò)代數(shù)求導(dǎo)法以較為簡(jiǎn)潔的步驟精確地求出該極大值點(diǎn)的位置以及場(chǎng)強(qiáng)的最大值.

關(guān)鍵詞：點(diǎn)電荷等量電場(chǎng)強(qiáng)度最大值

收稿日期：(2014-12-19)

在高中物理“電場(chǎng)強(qiáng)度”這一節(jié)內(nèi)容中，有這樣一個(gè)問(wèn)題：真空中的兩個(gè)位置分別放有兩等量同種點(diǎn)電荷，從兩點(diǎn)電荷連線的中點(diǎn)開(kāi)始沿其中垂線向外，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小怎樣變化？

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我們首先可以進(jìn)行定性的判斷，即這兩個(gè)點(diǎn)電荷中點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，而無(wú)窮遠(yuǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度也為零，但是中垂線上的其他位置通過(guò)矢量疊加可知電場(chǎng)強(qiáng)度的大小并不為零，那么就可以知道從這兩點(diǎn)電荷連線的中點(diǎn)開(kāi)始沿其中垂線向外，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小變化情況為先變大后變小.在高中階段，學(xué)生能夠做出這樣的回答已經(jīng)是令人滿意的了,但對(duì)于已經(jīng)修過(guò)《普通物理》和《高等數(shù)學(xué)》的物理學(xué)科教學(xué)工作者而言，這樣的定性解答似乎仍意猶未盡，我們不禁要追問(wèn)一句：在這兩個(gè)等量同種點(diǎn)電荷連線中垂線上電場(chǎng)強(qiáng)度的最大值究竟在何處？其最大值又是多少？

貴刊2010年第9期“兩等量同號(hào)點(diǎn)電荷中垂線上場(chǎng)強(qiáng)的極大點(diǎn)”[1]一文用一種類似于數(shù)學(xué)中的二分法的求解思路求出了電場(chǎng)強(qiáng)度最大值所在的近似位置，方法雖妙，但過(guò)程略顯繁瑣，且沒(méi)能得到電場(chǎng)強(qiáng)度最大值的準(zhǔn)確值，還是有點(diǎn)遺憾.現(xiàn)將文獻(xiàn)[1]的計(jì)算步驟歸納如下.

圖1

如圖1所示，假定兩等量同種點(diǎn)電荷的距離為2L.計(jì)算可得A,B兩點(diǎn)電荷在其中垂線上某點(diǎn)P的合場(chǎng)強(qiáng)為

(1)

積化和差，式(1)轉(zhuǎn)化為

(2)

其中，Q為點(diǎn)電荷所帶的電荷量，k為靜電力常量，α為點(diǎn)電荷到P點(diǎn)的連線與兩點(diǎn)電荷連線的夾角.

為求場(chǎng)強(qiáng)的最大值點(diǎn)，對(duì)式(2)求導(dǎo)后得

(3)

式(3)為零時(shí)求得的α可能為極值的位置.采用無(wú)限逼近的方法來(lái)確定最大值的位置，即

3cos3α+cosα=0

(4)

由于這里的自變量α的取值范圍為0～90°，要滿足式(4)，則3α必須超過(guò)90°，說(shuō)明α必定大于30°.然后通過(guò)合理選取α的值，以期得到方程(4)的近似解，具體的取值過(guò)程如表1所示.

表1　求解式(4)時(shí) α的取值

可見(jiàn)，最終得到的近似解為α=35.265°，將該值代入到式(2)后可得

由于上述解法較為繁瑣，筆者提出一種較為簡(jiǎn)潔的解法.

現(xiàn)假設(shè)題設(shè)條件仍如圖1所示，并取兩點(diǎn)電荷連線的中點(diǎn)為O點(diǎn)，設(shè)OP=x，則

將這兩式代入式(1)后可得

(5)

且這里令x≥0.若要求得場(chǎng)強(qiáng)的最大值，則只要求出函數(shù)

(6)

的最大值即可.對(duì)式(6)求導(dǎo)得

(7)

令y′=0可解得

將其代入式(5)后可得

這也進(jìn)一步驗(yàn)證了文獻(xiàn)[1]中的近似解已經(jīng)相當(dāng)精確，相比而言，第二種解法可以求出場(chǎng)強(qiáng)的最大值的準(zhǔn)確值且步驟較為簡(jiǎn)潔.但由于高中生數(shù)學(xué)知識(shí)的儲(chǔ)備有限，這種方法并不需要高中階段的學(xué)生掌握，他們僅需知道在兩等量同種點(diǎn)電荷連線的中垂線上存在著兩個(gè)對(duì)稱的場(chǎng)強(qiáng)最大值點(diǎn)即可.

參 考 文 獻(xiàn)

1楊雄生.兩等量同號(hào)點(diǎn)電荷中垂線上場(chǎng)強(qiáng)的極大點(diǎn).物理通報(bào)，2010(9)：97

Rethink on the Maximum Electric Field Strength in

the Perpendicular Bisector of Two Same Point Charges

Chen Yiyin

(College of Teacher Education, Nanjing Normal University， Nanjing, Jiangsu210097)

Abstract:there exists a maximum electric field strength in the midperpendicular between the two point charges of the same kind and with equal quantity, which high school students can't solve because of lacking knowledge in Mathmatics. This paper used the method of derivation to figure out the position of the maximum point and the maximum electric field strength succinctly and accurately.

Key words: point charge; equal quantity; electric field strength; maximum