王　倩　李　佳　張亞婷

( 北京師范大學(xué)教育學(xué)部，北京 100875)

小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)整體性探究及其教育價(jià)值

王倩李佳張亞婷

( 北京師范大學(xué)教育學(xué)部，北京 100875)

[摘要]《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出學(xué)生應(yīng)該體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系的教學(xué)，教師要經(jīng)常有目的地揭示數(shù)學(xué)知識(shí)形成和發(fā)展的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，溝通各部分知識(shí)之間縱向與橫向的聯(lián)系，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體性認(rèn)識(shí)。在介紹知識(shí)整體性的理論基礎(chǔ)上，闡述了數(shù)學(xué)知識(shí)之間相同領(lǐng)域和不同領(lǐng)域的聯(lián)系，以及這樣的聯(lián)系帶來(lái)的教育價(jià)值(聚合知識(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率；學(xué)會(huì)推理，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；融會(huì)貫通，提高學(xué)生解決問(wèn)題的綜合能力；自主建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí))。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)知識(shí)；整體性；知識(shí)聯(lián)系；教育價(jià)值；小學(xué)

在現(xiàn)階段的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，教師大多數(shù)是依據(jù)教材上的內(nèi)容分課時(shí)進(jìn)行授課，學(xué)生接收到的知識(shí)也是孤立地存在著；再加上教材編寫(xiě)時(shí)，必須考慮學(xué)生的心理接受水平，原本邏輯關(guān)系密切的數(shù)學(xué)知識(shí)分布在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”的各個(gè)學(xué)段。鑒于數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在關(guān)聯(lián)性、邏輯性的特征，因此，我們有必要更加廣泛、深入地挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，一方面擴(kuò)充以教材為依據(jù)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容；另一方面也加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，更全面地體現(xiàn)其育人功能。

一、知識(shí)整體性的理論基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)知識(shí)具有系統(tǒng)性、邏輯性，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)應(yīng)該注意知識(shí)間的聯(lián)系性，運(yùn)用整體的思維來(lái)學(xué)習(xí)。有學(xué)者對(duì)知識(shí)的整體性做了一番研究，主要成果有布魯納的結(jié)構(gòu)教學(xué)法、系統(tǒng)論的整體原理。

布魯納認(rèn)為：“不論我們教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！苯虒W(xué)論必須詳細(xì)規(guī)定大量知識(shí)組織起來(lái)的方式，以便于學(xué)習(xí)者掌握。而將知識(shí)組織起來(lái)的最理想方式是建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，即學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，它的最大優(yōu)越性在于它具有簡(jiǎn)化信息、產(chǎn)生新的命題和增強(qiáng)知識(shí)的可操作性等方面的力量。[1]他還指出，知識(shí)的相互聯(lián)系首先體現(xiàn)為知識(shí)的整體性。它要求教師在教學(xué)中，不僅要了解內(nèi)容本身的規(guī)定和含義，還要把它與其他內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)去理解和掌握，以此克服知識(shí)的離散性，使學(xué)生形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。所以教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注重建立數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生把相關(guān)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，形成數(shù)學(xué)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

系統(tǒng)論的整體原理也提出了知識(shí)的整體性的觀點(diǎn)，把系統(tǒng)看作“是由具有相互聯(lián)系、相互制約的若干組成部分結(jié)合在一起并且具有特定功能的有機(jī)整體”。[2]系統(tǒng)論的整體原理指出，任何系統(tǒng)都是具有結(jié)構(gòu)的，系統(tǒng)的整體功能由系統(tǒng)各部分的綜合功能反映出來(lái)。因此，只要挖掘出系統(tǒng)各個(gè)部分潛在的最大積極因素，促使其密切配合、協(xié)調(diào)一致，就會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)的整體功能大于各孤立部分功能之和的效果。建立數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性就是把孤立的數(shù)學(xué)知識(shí)統(tǒng)整在一起，使之具有一定的內(nèi)在邏輯，同時(shí)也體現(xiàn)一定的數(shù)學(xué)思想方法，不僅能夠促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，同時(shí)也有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

正如《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》總目標(biāo)所提倡的學(xué)生要“體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力。”[3]在當(dāng)下日益強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與生活之間聯(lián)系的教學(xué)背景下，同樣不能忽視數(shù)學(xué)知識(shí)自身內(nèi)部的聯(lián)系。數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)密性和聯(lián)系性有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，因此筆者著重探索數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)部聯(lián)系，尋找小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系，以此來(lái)提高課堂教學(xué)的效率，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之間的整體性體現(xiàn)為各知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，是指數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的聯(lián)系，關(guān)注內(nèi)部的聯(lián)系才能有效把握數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性，從而利用知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系解決問(wèn)題。但是，由于教材對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律等內(nèi)容是分段編排的，容易造成知識(shí)的割裂，因而教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)整理，比較知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別，明晰知識(shí)的來(lái)龍去脈，使各知識(shí)點(diǎn)在腦海中連成線、結(jié)成網(wǎng)，形成整體性知識(shí)結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容領(lǐng)域包括四個(gè)部分：數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率和綜合與實(shí)踐。綜合與實(shí)踐本身就融合了數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，因此不過(guò)多論述，而是針對(duì)數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率這三部分進(jìn)行闡述。數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的聯(lián)系可分為相同領(lǐng)域和不同領(lǐng)域兩種類型。

1.相同領(lǐng)域內(nèi)的聯(lián)系

在數(shù)與代數(shù)中，毋庸置疑，認(rèn)識(shí)數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起步，數(shù)的運(yùn)算是對(duì)認(rèn)識(shí)數(shù)的承接，而式與方程是在算式的基礎(chǔ)上提高了一些難度，轉(zhuǎn)變成含有未知數(shù)的等式，正反比例更是在式與方程中用抽象的字母來(lái)表示它們之間的關(guān)系。整個(gè)過(guò)程一環(huán)接一環(huán)，是對(duì)數(shù)與代數(shù)學(xué)習(xí)一步步地加深，能逐漸剖析出更深層次的內(nèi)容。另外，常見(jiàn)的量和探索規(guī)律與“數(shù)”也有關(guān)聯(lián)，比如元角分的進(jìn)率換算、有規(guī)律的遞增數(shù)列都需要借用數(shù)的運(yùn)算。在圖形與幾何中，剛接觸這個(gè)領(lǐng)域時(shí)，會(huì)認(rèn)識(shí)圖形的特征，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)如何測(cè)量和計(jì)算長(zhǎng)度、面積，熟知這些性質(zhì)之后，能有效幫助學(xué)生掌握?qǐng)D形平移和旋轉(zhuǎn)后所展示的圖像。在統(tǒng)計(jì)與概率中，數(shù)據(jù)的整理和統(tǒng)計(jì)可以為可能性奠定基礎(chǔ)，因?yàn)閷W(xué)習(xí)可能性時(shí)，需要列出事件發(fā)生的所有情況類別，這就需要運(yùn)用分類、整理等知識(shí)。因此，教師在講授相同領(lǐng)域內(nèi)的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，注意到這層聯(lián)系后，會(huì)幫助學(xué)生用已學(xué)過(guò)的知識(shí)為新學(xué)的知識(shí)做鋪墊。而另一方面，在講授新的知識(shí)時(shí)，也可以重溫和鞏固已學(xué)的知識(shí)。這種雙向的受益最終都會(huì)促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和理解。

2.不同領(lǐng)域之間的聯(lián)系

“數(shù)與代數(shù)”以各種形式遍布在小學(xué)數(shù)學(xué)中，和圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率相互聯(lián)系。長(zhǎng)度的多少、面積的大小、平均數(shù)的求解都要以數(shù)學(xué)計(jì)算為基礎(chǔ)，而在學(xué)數(shù)的運(yùn)算和統(tǒng)計(jì)圖的時(shí)候，通常會(huì)借用一些小圓形、線段圖、扇形圖等幾何直觀形式來(lái)解題，幫助學(xué)生更直觀地理解求解的過(guò)程。比如認(rèn)識(shí)鐘表和角的初步認(rèn)識(shí)這兩節(jié)內(nèi)容，鐘表上的中心可以看作角的頂點(diǎn)，時(shí)針和分針相當(dāng)于角的兩條邊，而指針的夾角就是角，當(dāng)鐘表每到一個(gè)時(shí)刻時(shí)，都會(huì)出現(xiàn)一個(gè)新的角度，這是生活中最常見(jiàn)的例子。將“角的認(rèn)識(shí)”和“認(rèn)識(shí)鐘表”有效結(jié)合起來(lái)，不僅可以讓學(xué)生全面認(rèn)識(shí)0°到360°之間不同大小的角，而且能培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成觀察生活的好習(xí)慣。因?yàn)殓姳淼臅r(shí)針和分針時(shí)刻在轉(zhuǎn)動(dòng)，他們之間的角度也隨之在改變，鐘表是讓學(xué)生在靜態(tài)與動(dòng)態(tài)變化中認(rèn)識(shí)角的好工具。因此，教師在講授不同領(lǐng)域的知識(shí)時(shí)，可以利用它們的共通點(diǎn)建立聯(lián)系，這樣就能幫助學(xué)生迅速建立聯(lián)系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

綜上，不管是相同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域還是不同的學(xué)習(xí)領(lǐng)域之間都有著千絲萬(wàn)縷、緊密的聯(lián)系。相同領(lǐng)域之間的聯(lián)系是縱向的，可以延伸知識(shí)聯(lián)系的深度；不同領(lǐng)域之間的聯(lián)系是橫向的，可以拓寬知識(shí)聯(lián)系的廣度?？偟膩?lái)說(shuō)，這些聯(lián)系是對(duì)教材中以螺旋上升的形式表現(xiàn)的知識(shí)進(jìn)行重新整合的基礎(chǔ)上，使教師在實(shí)際教學(xué)內(nèi)容依靠教材的同時(shí)又超越教材，逐漸成為一個(gè)完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。就像人類大腦一樣，尋找著各個(gè)聯(lián)系點(diǎn)，搭建聯(lián)系，使大腦變得更聰明；而知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的存在也具有很大的價(jià)值，減少人類的記憶負(fù)擔(dān)，減少冗余，使更有價(jià)值的東西存留腦中。

三、建立知識(shí)整體性的教育價(jià)值

1.聚合知識(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率

學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，積累了知識(shí)，形成了舊知識(shí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的時(shí)候，可以用舊知識(shí)來(lái)同化新知識(shí)，把新知識(shí)納入舊知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系中。通過(guò)新舊知識(shí)的聯(lián)系，一方面，可以減少學(xué)習(xí)知識(shí)和認(rèn)知負(fù)荷，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；另一方面，還可以用新知識(shí)來(lái)鞏固舊知識(shí)，通過(guò)聚合新舊知識(shí)提高學(xué)習(xí)效率。數(shù)學(xué)知識(shí)的緊密性決定了數(shù)學(xué)新舊知識(shí)可以互相融通的特點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等知識(shí)時(shí)，不僅可以尋找各板塊內(nèi)部知識(shí)的聯(lián)系，減少各板塊內(nèi)部知識(shí)的數(shù)量；還可以將不同的板塊聯(lián)系起來(lái)，把不同板塊的知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，形成更大的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，理清復(fù)雜知識(shí)間的聯(lián)系，將復(fù)雜知識(shí)簡(jiǎn)單化，把新知識(shí)同化到舊知識(shí)中，減少知識(shí)的學(xué)習(xí)量，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

2.學(xué)會(huì)推理，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式?！蓖评砟芰Πê锨橥评砗脱堇[推理，通常的表現(xiàn)形式是歸納、比較、聯(lián)想、估算、自覺(jué)等。其實(shí)在教學(xué)過(guò)程中，教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、猜想、類比等一系列活動(dòng)去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出一些結(jié)論；并且在建立各知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系時(shí)，學(xué)生會(huì)努力尋找數(shù)學(xué)知識(shí)之間的共通點(diǎn)，這種通過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的學(xué)習(xí)過(guò)程推動(dòng)著學(xué)生合情推理能力和邏輯思維能力的發(fā)展。另外，學(xué)生還可以運(yùn)用各種知識(shí)，快速反應(yīng)、舉一反三，培養(yǎng)其發(fā)散思維。因此，知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的開(kāi)拓。

3.融會(huì)貫通，提高學(xué)生解決問(wèn)題的綜合能力

生活中的問(wèn)題是復(fù)雜多變的，因此人們?cè)趹?yīng)對(duì)時(shí)往往需要依賴于自身的綜合能力。數(shù)學(xué)這門學(xué)科正好給學(xué)生提供了這樣的契機(jī)，它可以將相關(guān)知識(shí)構(gòu)成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生能夠?qū)⒏鞣N知識(shí)融會(huì)貫通，形成較強(qiáng)的綜合能力，內(nèi)化于心，去解決問(wèn)題、適應(yīng)生活。另外，學(xué)生在學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的同時(shí)，也可以掌握數(shù)學(xué)基本概念、原理，擴(kuò)寬自己對(duì)數(shù)學(xué)廣度和深度的理解，提高所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象程度。除此之外，在看待問(wèn)題時(shí)，學(xué)生能更加快速地進(jìn)行反應(yīng)，找出快速的解決辦法，并且還能培養(yǎng)學(xué)生全面看問(wèn)題的態(tài)度，從多種角度分析問(wèn)題，使自己的思維保持靈活性，提高學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)。

反之，如果學(xué)生學(xué)到的知識(shí)只是簡(jiǎn)單、分散的個(gè)體，它們之間沒(méi)有搭建好橋梁、建立聯(lián)系，那么知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的整體功能就會(huì)弱化，學(xué)生在生活中解決問(wèn)題時(shí)也會(huì)變得棘手，不能更快、更好、有效地去應(yīng)對(duì)。

4.自主建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)

在新課程改革中，“培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力”是改革方向和目標(biāo)價(jià)值取向，把創(chuàng)新精神擺在了突出的位置。在新課程改革的十大核心概念中，也突出強(qiáng)調(diào)了創(chuàng)新意識(shí)，并且指出：創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過(guò)程之中。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終。

建立數(shù)學(xué)知識(shí)之間的整體性，就是把在教材中孤立呈現(xiàn)的知識(shí)進(jìn)一步精細(xì)加工，挖掘知識(shí)之間本身就存在的內(nèi)在聯(lián)系，然后通過(guò)數(shù)軸、函數(shù)圖像、幾何圖形等多種數(shù)學(xué)表達(dá)方式把它們進(jìn)行整合，使知識(shí)之間的聯(lián)系更加鮮明、一目了然。這樣一方面可以促進(jìn)學(xué)生融會(huì)貫通，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解和掌握；另一方面，在教授的過(guò)程中，學(xué)生自己運(yùn)用所學(xué)知識(shí)探究、發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系，用他們自己的方式進(jìn)行合理表達(dá)，學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)會(huì)得到不斷的提升與發(fā)展。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 余文森.布魯納結(jié)構(gòu)主義教學(xué)理論評(píng)析[J].外國(guó)教育研究，1992(3)：14.

[2] 王雨田.控制論、 信息論、 系統(tǒng)科學(xué)與 哲學(xué)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，1988：401.

[3] 教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011：8.

[責(zé)任編輯：陳學(xué)濤]

[收稿日期]2015-10-17

[作者簡(jiǎn)介]王倩(1993-)，女，湖南懷化人，碩士研究生；李佳(1993-)，女，廣東梅州人，碩士研究生；張亞婷(1990-)，女，河南焦作人，碩士研究生。

[中圖分類號(hào)]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號(hào)]1002-1477(2016)05-0061-03

數(shù)學(xué)研討[DOI]10.16165/j.cnki.22-1096/g4.2016.05.016