提高“高等代數(shù)”教學質量的幾點措施

辛大偉　田雪

摘要：本文從改革教學模式、教學內(nèi)容和教學評價體系等方面，給出了提高高等代數(shù)教學質量的幾點措施：我們在高等代數(shù)的部分章節(jié)的教學中嘗試運用了新的教學模式——問題教學模式；將解析幾何融入到高等代數(shù)代數(shù)中，加入高等代數(shù)的背景與應用的介紹；加強數(shù)學軟件在高等代數(shù)課程教學中的作用；嘗試改革考評體系。

關鍵詞：高等代數(shù)；教學模式；教學內(nèi)容

中圖分類號：O151文獻標識碼：A文章編號：1671—1580（2015）10—0067—03

高等代數(shù)是數(shù)學專業(yè)的三大專業(yè)基礎課之一，對后繼課程的學習起著至關重要的作用。然而，從我院近幾年的考試成績和考研情況看，高等代數(shù)課程的教學效果并不是很好。原因是多方面的，例如，由于我校是地方高師院校，地理位置不佳，生源質量肯定會有所影響；由于實行績效工資，對科研考評的比重加大，教學只需完成額定工作量即可，一定程度影響了教師的教學積極性；高等代數(shù)理論性強，定理多、定義多，令人感到枯燥乏味；學生的學習積極性不高，自學能力差，課前不預習，課后不復習，不愿意做習題。基于上述原因，我們在高等代數(shù)教學過程中，做了一些探索，力求提高高等代數(shù)的教學質量。

一、改革傳統(tǒng)的教學模式

傳統(tǒng)的高等代數(shù)教學是以教師講授為主，學生被動學習，參與性不強，進而導致學生學習積極性不高，學習效果不理想。為了改變這一局面，我們在高等代數(shù)部分章節(jié)的教學中嘗試運用了新的教學模式——問題教學模式。該模式首先由教師布置任務，提出問題，然后讓學生討論，尋求問題的答案。在這個過程中培養(yǎng)了學生自己發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，也使學生在問題解決中感受到學習的樂趣。

下面以行列式的定義教學為例介紹問題教學模式。行列式的概念比較抽象，對于剛進入大學的文科生來說，難度可想而知。在處理這個問題上，我們先來介紹行列式的起源，從解二元一次方程組入手，給出一個二元一次方程組：

a11x1+a12x2=b1

a21x1+a22x2=b2

先讓學生用中學所學的消元法求出解：

x1=b1a22-a12b2a11a22-a12a21

x2=a11b2-a21b1a11a22-a12a21

之后觀察解，提示學生引入行列式的本來目的就是為了解n 元一次方程組，當n充分大以后，再用這個方法來解，難度相當大，為此定義二階行列式：

a11a12

a21a22=a11a22-a12a21.

同理，從解三元一次方程組入手，定義三階行列式：

a11a12a13

a21a22a23

a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32.

接下來引導學生觀察二階和三階行列式的定義，從中找出規(guī)律，問二階行列式有多少項？每一項幾個元素乘積？這些元素的取法滿足什么規(guī)律？三階行列式呢？經(jīng)過討論，學生得出結果，二階行列式有2！項，每一項2個元素乘積，三階行列式有3！項，每一項3個元素的乘積，這些元素均取自不同的行、不同的列。再問學生，怎么定義n 階行列式呢？經(jīng)學生討論后，得出結論，n 階行列式有n！項？每一項有n個元素，且這n個元素取自不同行不同列。那么每一項取正號還是負號呢？學生肯定很想知道，這時告訴他們，這需要學習排列的知識。顯而易見，學生的學習積極性被調(diào)動起來了，對知識有著某種渴望。

再以線性變換的對角化為例來談一下問題教學模式。先給出線性變換可對角化的定義，設φ是數(shù)域K上n維線性空間V的一個線性變換，如果存在V中的一組基，使φ的矩陣為對角形，就稱φ可對角化。再問學生：為什么研究線性變換的對角化呢？給定一組基后，線性變換和矩陣一一對應，線性變換構成的線性空間和矩陣構成的線性空間同構，因此可以用矩陣來研究線性變換。問題是給定一個線性變換后，如何恰當?shù)剡x擇一組基，使某個矩陣和它對應。當然我們希望和線性變換對應的矩陣越簡單越好。經(jīng)過前面的學習，大家會發(fā)現(xiàn)對角矩陣是足夠簡單的。自然地，我們考慮如何選取一組恰當?shù)幕?，使線性變換和對角矩陣建立起對應關系。這就是研究矩陣對角化的理由。繼續(xù)提問，是否每個線性變換都可以對角化呢？能否舉例？可以對角化的線性變換要滿足什么條件呢？回答。那么怎么對角化呢？不能夠對角化的矩陣怎么辦？準對角化。

二、改革教學內(nèi)容

1.將解析幾何融入到高等代數(shù)教學中

高等代數(shù)中有些概念、結論很抽象，對于初學者來講是個很大的障礙，如向量組線性相關、向量組等價等。如果將解析幾何與高等代數(shù)相結合，那么幾何將給代數(shù)提供了直觀模型，同時代數(shù)也給幾何提供了研究方法。其中有關向量的內(nèi)容、直線、平面，和線性代數(shù)結合是很自然的，對代數(shù)與幾何的融匯，相互影響是有利的。例如，三維向量組α1，α2，α3 線性相關，不妨假設α1 可以由α2，α3線性表出，從幾何角度看，實質就是α1在α2，α3所確定的平面上。又如幾何中的二次曲線與二次曲面的分類，實際上就是實二次型的分類的幾何背景。

2.加入高等代數(shù)的背景與應用的介紹

上好第一堂課非常重要。加入高等代數(shù)的背景介紹，能激發(fā)學生的學習興趣。實踐中，我們在高等代數(shù)的第一節(jié)課先來介紹代數(shù)學的發(fā)展史，使學生對高等代數(shù)有一個粗略的認識。我們是這樣介紹的：18世紀前的代數(shù)學主要研究中學階段所學的初等代數(shù)。18世紀～19世紀關心的是怎么解方程。方程有兩類：

一類是一個未知數(shù)的2次、3次等的高次方程，如：

anxn+…+a0=0

關心的問題是找根式解。根式解是指用加減乘除開方及系數(shù)來表的解。一元2次、3次、4次方程都有根式解。1824年，Abel證明了一元5次及5次以上的方程無根式解。1830年，Galois 給出方程能否根式求解的判別方法。至此方程求解告一段落。

另一類方程是多變量的、次數(shù)為1的線性方程組。中學學過2、3個變量的，這門課學習一般情況，n 個變量的。在研究過程中產(chǎn)生了一些新的概念，如行列式、矩陣（重要的數(shù)學分支，應用廣）、向量空間等。1930年，范德瓦爾登的著作《代數(shù)學》是劃時代的，是代數(shù)發(fā)展的里程碑。從這以后代數(shù)學研究的是代數(shù)運算系統(tǒng)，如群環(huán)域。研究對象不僅僅是數(shù)了，很抽象，當然也有稍微具體點的，如置換，矩陣等，主要研究它們的運算性質。

為了進一步調(diào)動學生的積極性，筆者幫助學生解決了下面兩個問題：高等代數(shù)有什么用？ 為什么要學習高等代數(shù)？理由有如下幾點：

（1）我校已實行學分制，高等代數(shù)共兩個學期，8.5個學分，為了能拿到學位，必須學好高等代數(shù)，得到這個學分。

（2）作為師范專業(yè)的學生，畢業(yè)后絕大部分同學去做中學教師，而高等代數(shù)對于中學數(shù)學有指導作用，比如多項式的因式分解理論。

（3）我們學院考研氛圍濃厚，每年都有20%左右的學生考取研究生，只要你考數(shù)學專業(yè)，初試基本上都是要考高等代數(shù)的。

（4）高等代數(shù)在物理、化學、生物、計算機、經(jīng)濟學等學科中都有著廣泛的應用，如果要在這些行業(yè)中生存，學好高等代數(shù)是必須的。

3.加強數(shù)學軟件在高等代數(shù)課程教學中的作用

高等代數(shù)課程應該注重與數(shù)學軟件的結合。在高等代數(shù)教學中增加數(shù)學軟件使用的實驗課很有必要，特別是不完全按軟件手冊的方式介紹Matlab的各種用途，軟件使用的介紹最好力求簡單，不必講得太多、太繁，最好圍繞高等代數(shù)課程的教學內(nèi)容來介紹如何使用Matlab。這有助于讓學生學會如何應用數(shù)學軟件以及用高等代數(shù)知識解決實際問題，同時通過對一些具體問題的計算，也能幫助學生理解一些抽象的代數(shù)概念，拓寬學生的視野和培養(yǎng)學生應用代數(shù)知識解決實際問題的能力。線性方程組是高等代數(shù)的主要研究對象，但是高等代數(shù)中主要是討論線性方程組有解的情況下解的結構。事實上，無解的線性方程組可以有最小二乘解（最優(yōu)的近似解），這在實際問題中會經(jīng)常遇到的， 例如由實驗數(shù)據(jù)建立起來的方程組很可能無解。Matlab函數(shù)庫中已有最小二乘解的算法。因此，我們在實際教學中就介紹了如何利用Matlab求解線性方程組的最小二乘解。這樣，既完備了線性方程組各種情況的處理方法，也對實用有利。

三、改革考試評價體系

高等代數(shù)課目前采用平時成績+期末考試成績的考評機制，但在實施中存在許多問題。主要體現(xiàn)在平時成績的評定上。設置平時成績的目的，是為了起到督促學生學習的目的，但實際上，平時成績主要根據(jù)出勤和作業(yè)來給分，這很難能達到目的，比如作業(yè)這一塊，現(xiàn)在市面上教輔資料非常多，網(wǎng)上也很容易就能獲得電子版的習題解答，好多同學為了應付老師，直接引用。

鑒于此，我們將嘗試改進考評體系。對于平時成績這一塊，不能像以往只是根據(jù)出勤和作業(yè)來給分，將引入隨堂測驗和小論文。具體操作上，可以在每周的最后一次課，留一點時間，布置幾個題目，考察學生這一周的學習情況，這種方式雖說會占用課堂教學時間，但是能真實反映學生對知識的掌握程度，有助于教師根據(jù)學生對知識的掌握情況做相應的調(diào)整。同時，也要在每章結束后，布置一個小論文，讓學生可以查閱資料，與他人合作完成，如講完矩陣這一章后，可以布置可逆矩陣的判定與性質這樣的題目；學完二次型之后，布置二次型化標準形的意義與方法等。這將充分調(diào)動學生的學習積極性，激發(fā)學習興趣。

期末考試應嚴格按照教學大綱執(zhí)行，題目要覆蓋大多數(shù)知識點，題型要多樣化，難度要適中，不能一味地考慮及格率，最好實行教考分離。

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