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該命題中的“任意”是全稱量詞嗎？

◇陜西高非

在某版本高中數(shù)學《選修2-1》第1章“全稱量詞與存在量詞”中,有一個“線面垂直定義”的例題:如果直線l垂直于平面α內的任意一條直線,那么直線l垂直于平面α.教材在“任意一條”4字下面加了著重號,認為其中的“任意一條”是全稱量詞.

對此,筆者請教了不少同行,概括起來有如下觀點.

1) 認為“任意一條”是全稱量詞,因為全稱量詞就是“在指定范圍內(平面α內),表示整體或全部(任意一條)”的含義,況且教材都用了多年,應該無誤.

2) 認為判斷“任意一條”是否為全稱量詞,可以用命題的否定來檢驗.該命題的否定是“如果直線l僅垂直于平面α內的一條(些)直線,那么直線l不垂直于平面α”是假命題,應是全稱量詞.

3) 該命題的否定應該是“平面α內存在一條(些)直線和直線l不垂直,則直線l垂直于平面α”.因為該命題的“條件”部分本身就是命題,故“提前”否定,結論不變,結果也是假命題,故為全稱量詞.

筆者認為以上觀點均有紕漏,我們知道,命題的否定是從日常語言中的“不是”“問題的反面”“全盤否定”等抽象而來,故命題p和非p的真假相反,但并不是真假相反就是命題的否定,還應滿足非p對應的集合是p對應集合的補集.導致觀點不一甚至錯誤的根本原因就是認為“任意一條”為全稱量詞.事實上,這里的“任意一條”并非全稱量詞,我們假設是全稱量詞,那么按照通常的語言習慣該命題可表述為:“如果平面α內的任意一條直線都與直線l垂直,那么平面α與直線l垂直.”其否定就是:“如果平面α內存在一條(些)直線與直線l垂直,且這個平面α與直線l不垂直．”這完全符合全稱命題否定的“規(guī)則”,即全稱命題p:對任意x∈M,使p(x)成立;它的否定非p:存在x∈M,使p(x)不成立.可是這仍然是真命題,與“命題及其否定真假相反”矛盾.

因此這里的“任意一條”不是全稱量詞,正如線面垂直的判斷定理“如果一條直線和平面內的2條相交的直線都垂直,那么該直線與此平面垂直”中的“2條相交”是全稱量詞還是存在量詞?顯然都不是.它是對平面內直線的一般修飾量詞．那么該命題到底是什么樣的命題?是全稱命題,但命題中的全稱量詞是被省略了.全稱量詞“任意”是置于“直線l”之前的,其完整的表述形式是:“對于任意直線l,如果垂直于平面α內的任意一條直線,那么直線l垂直于平面α.”如此表述雖然在一個命題中出現(xiàn)了2個“任意”的情況,但由于第2個“任意”不作為全稱量詞,所以符合《標準》中只要求理解和掌握含有一個量詞的命題.也可以換一種表述:“凡是與平面α內任意一條直線都垂直的直線l都和平面α垂直.”其否定是:“存在一條直線l和平面α內的任意一條直線垂直,且直線l與平面α不垂直.”當然該命題也是“若p,則q”形式的假言命題,其否定是“p且非q”,即“存在直線l垂直于平面α內的任意一條直線,且直線l不垂直于平面α”,與筆者的觀點完全吻合.

事實上,高中數(shù)學中還有許多定理或定義都是具有類似“結構”的全稱命題.如線面平行的判定定理、函數(shù)單調性的定義、奇偶函數(shù)的定義等,它們的共同特點都是省去了全稱量詞,但含在命題中的“任意”“任何”“無數(shù)”卻不是全稱量詞.

例寫出下列命題的否定并判斷其真假.

(1) 如果直線l垂直于平面α內的無數(shù)條直線,那么直線l垂直于平面α.

(2) 對任意x∈D,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)在D上為奇函數(shù).

解(1) 將命題改寫為:對于任意直線l,如果垂直于平面α內的無數(shù)條直線,那么直線l垂直于平面α.其否定是:存在直線l垂直于平面α內無數(shù)條直線,且直線l與平面α不垂直.原命題為假,其否定為真.

綜上所述,筆者以為教材設置此例似有不妥,宜予刪改.“常用邏輯用語”在高中數(shù)學中是作為工具來學習的,這也是新課標的基本定位,高中學習常用邏輯用語的主要目的就是為了更好地理解數(shù)學概念、清晰地表達數(shù)學內容,體會運用常用邏輯用語表述數(shù)學內容的準確性、簡潔性,因此在教學中一定要把控好概念的“度”,尤其是不要涉及超《標準》甚至有爭議的邏輯問題.

(作者單位：陜西省榆林中學)

(2) 將命題改寫為：“凡是滿足對任意x∈R,都有f(-x)=-f(x)的函數(shù)都是奇函數(shù).”其否定是：“存在函數(shù)f(x)滿足對任意x∈R,都有f(-x)=-f(x)且f(x)不是奇函數(shù).”或“并非滿足對任意x∈R,都有f(-x)=-f(x)的函數(shù)都是奇函數(shù).”原命題為真,其否定為假.