江蘇省句容市第三中學(xué) 余東云

蘇教版必修四“任意角”教學(xué)案例

江蘇省句容市第三中學(xué) 余東云

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型。角的概念的推廣正是這一思想的體現(xiàn)之一，是初中相關(guān)知識的自然延續(xù)，為進(jìn)一步研究角的和、差、倍、半關(guān)系提供了條件，也為今后學(xué)習(xí)向量、解析幾何、復(fù)數(shù)等相關(guān)知識提供了有利的工具。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.結(jié)合實例體驗角的概念推廣的必要性；從運動的觀點出發(fā)，進(jìn)行角的概念推廣，理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義。

2.能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來討論任意角，理解象限角、軸線角的概念，并能用集合和數(shù)學(xué)符號表示。

3.能用集合和數(shù)學(xué)符號表示終邊相同的角；能在0°～360°范圍內(nèi)找出終邊相同的角，找到一個與已知角終邊相同的角，并判斷為第幾象限的角。

4.在角的概念的推廣的過程中，學(xué)會運用運動變化的觀點認(rèn)識事物；通過正角、負(fù)角、零角與正數(shù)、負(fù)數(shù)、零的類比，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力；通過畫圖和判斷角的象限及終邊相同的角，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法以及由特殊到一般的推理模式。

三、重難點和重難點解析

1.本節(jié)課的重點是：任意角的概念，通過實例提出建立新概念的必要性。

2.本節(jié)課的教學(xué)難點是：把終邊相同的角、象限角用集合和數(shù)學(xué)符號語言正確地表示出來。

四、教學(xué)手段分析

借助信息技術(shù)工具（如：幾何畫板），制作課件。

五、教學(xué)過程設(shè)計

（一）問題情境

問題1：請同學(xué)回憶一下，在初中階段我們是如何定義角這個平面圖形的？

【設(shè)計意圖：回顧已有知識，為后面角的概念的推廣做好對比和鋪墊。】

師生活動：學(xué)生回答，教師可適當(dāng)引導(dǎo)，結(jié)合教室看到的角加以闡釋。

問題2：初中學(xué)習(xí)過哪些角？范圍是什么？

【設(shè)計意圖：回顧已有知識，指出曾經(jīng)研究角范圍為0°～360°，引出超過360°的角。】

師生活動：問題簡單，學(xué)生可以一起回答。

問題3：那現(xiàn)實生活中你聽說過或者見過超過360°的角嗎？

【設(shè)計意圖：結(jié)合具體的實例，讓學(xué)生感受角的概念推廣的必要性?！?/p>

師生活動：學(xué)生回答，教師可適當(dāng)引導(dǎo)：運動品牌361°，體操中的轉(zhuǎn)體，跳水中的翻騰，鐘表的時針，自行車的輪子，螺絲扳手與曲柄連桿等。

問題4：你認(rèn)為刻畫這些角的關(guān)鍵是什么？能否從另一個角度來重新認(rèn)識角？

【設(shè)計意圖：讓學(xué)生認(rèn)識到必須從動態(tài)的角度重新認(rèn)識角，同時刻畫這些角不僅要用旋轉(zhuǎn)量，還要用旋轉(zhuǎn)方向?！?/p>

師生活動：組織討論，引導(dǎo)學(xué)生從旋轉(zhuǎn)量、旋轉(zhuǎn)方向這兩個方面進(jìn)行思考。

（二）建構(gòu)數(shù)學(xué)

1.任意角的概念

問題5：你能通過任意角的概念，演示一下“角”是如何形成的嗎？

【設(shè)計意圖：通過演示，讓學(xué)生從動態(tài)的角度感受任意角，同時理解角的三要素及旋轉(zhuǎn)方向的不同，利用新概念重新認(rèn)識問題?！?/p>

師生活動：讓學(xué)生拿著筆或者尺子演示，邊演示邊闡述。

2.正角、負(fù)角和零角

問題6：旋轉(zhuǎn)方向不同的角是在兩種不同情況下形成的角，那么我們?nèi)绾螀^(qū)別它們呢？通過什么來刻畫它們的不同呢？

【設(shè)計意圖：拋出問題，激發(fā)學(xué)生思考，引出正角、負(fù)角和零角的概念?！?/p>

師生活動：學(xué)生思考、討論，引導(dǎo)學(xué)生通過類比正數(shù)、負(fù)數(shù)和零，定義角的正角、負(fù)角和零角的概念。

3.象限角、軸線角

問題7：我們知道，同一個大小的角，在平面中可以有不同的放置方法，如何更好地研究任意角呢？有什么更好的載體嗎？

【設(shè)計意圖：通過問題及學(xué)生嘗試探究，讓學(xué)生感受沒有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)時，角的表示不方便?！?/p>

師生活動：在教學(xué)中，可以根據(jù)學(xué)生的實際情況，利用教師演示及下列問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：教師可拿三角板的一個角演示，讓學(xué)生感受同一個大小的角，可以有不同的放置方法。

（1）問題7-1：這些不同方法放置下的角大小相等嗎？你覺得它帶給你的麻煩是什么？

總結(jié)：如果能把角固定下來較好。

（2）問題7-2：在平面，引入什么載體，可以把角這個幾何圖形固定住呢？

總結(jié)：平面直角坐標(biāo)系。

（3）問題7-3：如果把角放在直角坐標(biāo)系中，那么怎樣放比較方便、合理？

在總結(jié)分析合理放法的基礎(chǔ)上，給出象限角的概念，并說明在同一坐標(biāo)系下討論角的好處。然后通過具體例子使學(xué)生直接感受象限角的概念。

4.終邊相同的角

實際操作：學(xué)生上黑板在坐標(biāo)系中做出-300°、-150°、-60°、60°、210°、300°。

【設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過實際操作感受象限角、正負(fù)角，感受數(shù)形結(jié)合，同時為下面講“終邊相同的角”做好問題的素材?！?/p>

師生活動：學(xué)生作圖，教師根據(jù)實際情況點評。

問題8：

（1）在剛才做出的角中，請指出它們分別是第幾象限角？其中哪些角的終邊相同？

（2）你還能寫出與60°終邊相同的角嗎？能寫幾個？

（3）與60°終邊相同的角彼此之間有什么關(guān)系？你能寫出與60°終邊相同的角的集合嗎？

設(shè)計意圖：通過問題串，逐步引導(dǎo)學(xué)生思考與60°終邊相同的角的關(guān)系，總結(jié)出終邊相同角的集合。

師生活動：通過提問的形式向?qū)W生傳遞答案，學(xué)生回答，教師作適當(dāng)引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

問題9：通過與60°終邊相同的角的集合，你能總結(jié)出更一般性的表達(dá)式嗎？你能寫出與a終邊相同的角的集合嗎？

【設(shè)計意圖：由特殊到一般，進(jìn)行歸納總結(jié)。】

師生活動：學(xué)生回答，教師板演。

問題10：

請思考：（1）終邊相同的角相等嗎？相等的角的終邊一定相同嗎？

（2）終邊相同的角有多少個？怎樣闡述它們間的關(guān)系？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步理解終邊相同角的關(guān)系。

【師生活動：學(xué)生回答，教師適當(dāng)解釋?！?/p>

（三）數(shù)學(xué)運用

例1 在0°到360°的范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并分別判斷他們是第幾象限角：（1）650° （2）-150° （3）-990°15′

例2 （1）寫出終邊在x軸非正半軸上的角的集合；

（2）寫出終邊在y軸非負(fù)半軸上的角的集合。

分析：找出對應(yīng)軸線上的一個角（絕對值較?。缓笤俦硎境山K邊相同角的集合。

（四）回顧小結(jié)

問題：

（1）你知道角是如何推廣的嗎？象限角是如何定義的呢？

（2）你掌握了與角α終邊相同的角的集合的表示方法了嗎？它有什么作用呢？

（3）本節(jié)課你體會到哪些數(shù)學(xué)思想方法？

（4）在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有哪些不太明白的地方？

學(xué)生：回答，討論交流，補充。

教師：歸納總結(jié)，突出重點知識，解決學(xué)生的疑惑點。

（五）課外作業(yè)

教科書第10頁第1、2題。