綦小剛　丁小東

摘 要：論文首先通過排隊論計算出超市在營業(yè)期間各時段來客數(shù)相對應的最優(yōu)的需要開放的收銀臺的數(shù)量，然后根據(jù)排班的約束條件線性規(guī)劃求解出不同班次的人員安排，并對某公司旗下的幾個大型超市的真實數(shù)據(jù)進行驗證，最后闡述了該優(yōu)化策略的優(yōu)越性和局限性。

關鍵詞：排隊論；線性規(guī)劃；排班優(yōu)化

一、引言

大多數(shù)顧客在大型超市（Hypermarket）購物時唯一能夠感受到服務的地點就是收銀臺，在這種感受當中最強烈的就是對排隊時等候時間的感受。根據(jù)心理學研究：一個人在超市等候時間超過7分鐘，就明顯感到情緒急躁起來。對超市來講，如果開放的收銀臺不夠，就造成過度排隊等候；如果開放過多的收銀臺，又造成公司資源的浪費。

本論文研究的目的是要實現(xiàn)系統(tǒng)優(yōu)化，保證服務、降低損耗。由于保證服務（顧客要求）與降低服務強度（收銀臺要求）是相互矛盾的，因而最終的評價要借助于經(jīng)濟性指標，即讓顧客等待引起的損失與服務工作發(fā)生費用之和最小。從實際工作來看，這一標準也是十分有意義的，因為提供服務者與被服務者的利益往往有很大的關聯(lián)性：即服務質(zhì)量越高，顧客就越多，利潤也越高，這在大型超市中有更顯著地體現(xiàn)。

二、基于排隊論的收銀臺最優(yōu)開放數(shù)量模型

1.模型的建立和分析

大型超市顧客的到來基本是隨機的，因此認為超市收銀系統(tǒng)服務是一個典型的隨機服務系統(tǒng)。當系統(tǒng)運行較長時間達到穩(wěn)態(tài)后，系統(tǒng)的情況按實際總結(jié)如下：

（1）排隊結(jié)構(gòu)是多隊多服務臺結(jié)果如（圖1），系統(tǒng)有c個平行的收銀臺1，每個收銀臺的服務時間是一個隨機變量，服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布。

（2）顧客的到達時間符合非時間齊次泊松過程（Non-homogene-

ous Position Process）到達速率是λ（t）。顧客在不同時間段的到達速率不同，但在某一時間段內(nèi)到達速率是固定的，即在某一時間段內(nèi)顧客的到達時間服從參數(shù)為λ的泊松過程。2

（3）系統(tǒng)中如顧客數(shù)大于收銀臺數(shù)，則不會有空閑的收銀臺，進入系統(tǒng)的顧客可隨時改變其隊列。

（4）到達過程、服務過程和各個服務過程之間都是相互獨立的。

（5）假設系統(tǒng)的等待位置為∞，服務規(guī)則是先來先服務即FC-

FS。

假如超市規(guī)定各收銀排隊人數(shù)不超過5人，顧客在收銀臺排隊系統(tǒng)中的平均等待時間不超過7分鐘，則c應該滿足條件：

2.模型的編程實現(xiàn)

該程序在數(shù)學優(yōu)化建模軟件LINGO 11.0中測試通過。我們以某門店在某個星期日7：00～8：00時段為例，運行結(jié)果為：此時段最優(yōu)開放的收銀臺數(shù)是3臺。程序如下：

min=c；

T=1.26； ！匯總統(tǒng)計收銀員平均客流算術(shù)平均值得出μ=47.62117人次/小時，所以收銀員的服務時間服從T=60分鐘/μ=1.26分鐘/人的負指數(shù)分布；

R=1.55； ！根據(jù)公司IT系統(tǒng)導出得到在該時段顧客到達速率λ的值為R=1.55人/分鐘；

a=R*T； ！由a=λ/μ推導出；

a/c<1； ！排隊系統(tǒng)中服務員的利用率為ρ=a/c<1；

L_q<=5；W_q<=7；

P_wait=@peb（a，c）；

W_q=P_wait*T/（c-a）；

L_q=（a/c）/（c-a）*P_wait；

@gin（c）；

三、規(guī)劃求解最優(yōu)排班模型

得出每時段的最優(yōu)開放的收銀臺之后，接下來我們共同探討一下如何通過線性規(guī)劃求解計算出最優(yōu)的排班收銀員人數(shù)。

1.模型的建立和分析

（1）線性規(guī)劃模型的建立，如圖2。模型介紹：

①來客數(shù)時段分解：把超市營業(yè)時間按小時劃分。

②當班工時：匯總超市門店的每個班次的累計工時數(shù)，“0”表示用餐狀態(tài)或下班狀態(tài)。

③當班人數(shù)：表示每個班次安排的收銀人數(shù)總和。

④班次：超市門店的班次。例如：7-16表示上班時間從7：00～16：00。

⑤理論收銀臺最優(yōu)開放數(shù)：通過LINGO編程計算出每個來客時段的理論收銀臺最優(yōu)開放數(shù)。

⑥排班最優(yōu)人數(shù)：表示某一小時的時段內(nèi)，各班次收銀員人數(shù)之和。例如9點～10點期間排班最優(yōu)人數(shù)為：

X3=Y1*1+Y2*1+Y3*1+Y4*0+Y5*0

⑦浪費工時：通過“排班最優(yōu)人數(shù)”減去“理論收銀臺最優(yōu)開放數(shù)”的值，來評估實際排班的人數(shù)與理論收銀臺最優(yōu)開放數(shù)之間的差距。正數(shù)表示開放的收銀臺偏多，負數(shù)表示開放的收銀臺不足以應對當前的客流量。

（2）模型的約束條件分析

決策變量、目標函數(shù)、約束函數(shù)三種信息的單元格區(qū)域為：

①決策變量：在C19～G19單元格中（即當班人數(shù)）；

②目標函數(shù)：在I19單元格中（即全天總工時）；

③約束函數(shù)在第I3～I17行。約束函數(shù)主要是確?！芭虐嘧顑?yōu)人數(shù)”不小于“理論收銀臺最優(yōu)開放數(shù)”，約束條件如下：

X1，即I3=SUMPRODUCT（C3：G3，C19：G19）≥H3

X2，即I4=SUMPRODUCT（C4：G4，C19：G19）≥H4

......

X15，即I15=SUMPRODUCT（C17：G17，C19：G19）≥H17

（3）線性規(guī)劃求解

“線性規(guī)劃”是Excel系統(tǒng)中的較少用到的一個宏，需要進行加載才能運行。把模型的約束條件錄入到規(guī)劃求解參數(shù)中去，最優(yōu)配置結(jié)果將會顯示在目標單元格中。如圖3

四、數(shù)據(jù)驗證

我們以某門店在2015年12月20日星期日的數(shù)據(jù)為例。當天來客數(shù)為11917人。該門店的當日耗用的總工時是316個小時，當班的收銀員39人。

1.驗證最優(yōu)開放的收銀臺數(shù)量

匯總統(tǒng)計收銀員平均客流量算術(shù)平均值之后得到收銀員當日的服務時間為47.62117人次/小時，其負指數(shù)分布為1.26min/人次。每時段的顧客到達數(shù)是從公司IT系統(tǒng)中導出，詳見表1。通過Lingo可分別計算出每匯總統(tǒng)小時收銀臺最優(yōu)開放數(shù)。

結(jié)論：當日14點之前和17點之后開放的收銀臺偏多，營業(yè)期間兩端時段開放的收銀臺浪費率4甚至多達100%，而在當日14：00～17：00這3個小時的高峰期間開放的收銀臺又偏少。

2.驗證最優(yōu)排班人數(shù)

我們結(jié)合現(xiàn)場當班人數(shù)來對比線性規(guī)劃模型優(yōu)化的排班人數(shù)。結(jié)合圖3計算結(jié)果得出表2。

結(jié)論：最優(yōu)解的全天當班總?cè)藬?shù)由原來的39人下降到34人，全天總工時由原來的316小時降低到291小時，最終節(jié)約了5個人工，25個工時。

五、結(jié)語

本論文研究的目的雖然是實現(xiàn)系統(tǒng)優(yōu)化，但并不僅僅是為了精簡員工，而是通過優(yōu)化提高管理效率，把現(xiàn)代企業(yè)管理意識植入到超市管理當中，逐漸建立起一個科學化的管理機制。

1.模型的優(yōu)勢

（1）負責排班的前端主管可以利用模型，根據(jù)季節(jié)不同、來客數(shù)時段峰值的變化而設計班次及最優(yōu)人數(shù)，也可以驗證排班的合理性。

（2）該優(yōu)化策略具有靈活的可操作性。例如：門店因為人員短缺，則可以去除此時段的約束條件，即允許“浪費時間”字段是負數(shù)的情況，這相當于人為修正來客流曲線從而實現(xiàn)更優(yōu)化、更具有現(xiàn)實意義的排班策略。

（3）該模型不僅考慮到了換班吃飯的問題，甚至還可以外延“班次”字段的定義，即讓班次對應到每個收銀員。

（4）模型把來客數(shù)按時段分解，通過與“理論收銀臺最優(yōu)開放數(shù)”的對比，使前端領班或主管能對當前收銀員應對來客數(shù)的承載量進行預估，為其現(xiàn)場管理提供了便利，同時也為前端領班或主管的管理能力的評估提供了量化的手段。

（5）模型也可以在連鎖門店之間橫向?qū)Ρ绕淝岸说氖浙y現(xiàn)狀，從而形成良性的水平競爭局面，提供結(jié)構(gòu)性的管理數(shù)據(jù)。如案例中的門店服務效率近期總體在45～50人/小時之間，同比另一門店B高達60～65人/小時之間，而門店C只有30～35人/小時之間。顯而易見，門店B的收銀員多為熟手或業(yè)務熟練度較高，門店C的收銀員多為新手或業(yè)務熟練度較低。

2.模型的不足和改善

（1）優(yōu)化在提高人力資源使用效率的同時，也降低應對突發(fā)情況的能力。當現(xiàn)場發(fā)生斷電、個別收銀員突發(fā)性曠工等情況時，將難以應對，實際應用要考慮增加一定比例的彈性。

（2）模型僅僅考慮到收銀工作本身，現(xiàn)實中在收銀員當班期間，除了收銀的工作，還有開關店、收銀臺側(cè)架的補貨、清潔、現(xiàn)金清點等工作。建議合理利用"浪費工時"字段中數(shù)據(jù)，來安排收銀以外的相關工作，更能提高效率。

（3）模型中的客流高峰僅僅細分到以小時數(shù)為基數(shù)單位，有時客流會集中在更細分的時間段，造成瞬時擁堵，這種現(xiàn)象在某些特殊時段甚至是常態(tài)。例如在21：00～22：00超市營業(yè)的最后時段，通常會出現(xiàn)100多位顧客集中在21：30～21：45時段買單。要解決這一問題，必須采用其他方案解決。

（4）在最優(yōu)服務和最優(yōu)效率之間平衡的問題。這兩者的矛盾在于：顧客的來客流是非對稱、非平滑的曲線，有些時刻的曲線是突兀的；同時，不可能安排收銀員上班一、二個小時之后就要求其下班，也要考慮人性化管理的問題。

注釋：

①每個收銀臺對應一個收銀員

②符合以下四個性質(zhì)的顧客流稱為泊松流又稱最簡單流。

a.流的平穩(wěn)性。在時間區(qū)間[t，t+△t]內(nèi)到達k位顧客的概率與t無關，只與△t有關。

b.流的無后效性（獨立性）。顧客的到來是不相關聯(lián)的，或稱為相互獨立的。在兩個互不交叉時段τ1和τ2內(nèi)，來到系統(tǒng)的顧客數(shù)是相互獨立的。

c.流的普通性。在足夠小（充分?。┑臅r間間隔內(nèi)，或稱為“同一瞬間”，正好有兩個或兩個以上顧客來到系統(tǒng)的概率為高階無窮小，可以忽略。

d.流的有限性。在任意的有限時間區(qū)間內(nèi)，到達有限位顧客的概率為1。換言之，有0個顧客至有k個顧客（k→∞）這些情況中，必定有一種要發(fā)生。

③該超市實際是從早上七點半開始營業(yè)，所以半小時內(nèi)來客數(shù)是93，則每小時客流是186。

④有些大型超市中，還存在賣場內(nèi)的單獨收銀機、出口換購等收銀臺，統(tǒng)計時需要除去這些收銀員占據(jù)的工時，也要除去這些收銀臺承載的客流數(shù)，本案例中已經(jīng)去除。

參考文獻：

[1]蘇兆龍.排隊論基礎[M].成都：成都科技大學出版社，1998.

[2]孫昌言，陳偉忠.工商管理中的定量分析方法[M].上海：同濟大學出版社，2003.

作者簡介：綦小剛（1977- ），男，上海，曾任卜蜂蓮花某門店副店，同濟大學2010級MBA；丁小東（1981- ），男，上海，曾任卜蜂蓮花某門店副店，華東理工大學2009級MBA