矩陣等價與向量組等價的關(guān)系及應(yīng)用

趙偉舟

摘 要：本文主要討論了矩陣等價和向量組等價之間的聯(lián)系，在包含相同個數(shù)向量的前提下，

獲得了借助初等行變換研究向量組等價的重要結(jié)論，并通過實例具體說明了應(yīng)用方

法。

關(guān)鍵詞：矩陣等價； 向量組等價

中圖分類號：O151.21 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）01（a）-0000-00

1.引言

等價是描述兩個對象之間的一種關(guān)系，當(dāng)這種關(guān)系具有自身性、對稱性和傳遞性時，這種關(guān)系可被稱為“等價”[1-3]。矩陣等價和向量組等價是兩個不同的概念，前者是指一個矩陣可以經(jīng)過有限次初等變換得到另一矩陣，后者是指兩個向量組能夠相互線性表示。矩陣和向量組具有一一對應(yīng)性，由于等價矩陣具有相同的行數(shù)和列數(shù)，從向量組的角度，兩個向量組包含相同個數(shù)的向量；而當(dāng)列（行）向量組等價時，從矩陣的角度，兩個矩陣的列（行）數(shù)可以不同。初等變換作為矩陣?yán)碚摰闹匾ぞ?，?dāng)兩個向量組包含相同個數(shù)的向量時，項梁組等價和矩陣等價之間是否具有聯(lián)系呢？如果能獲得這種聯(lián)系，則向量組的等價問題在某種程度上可以借助初等變換研究以簡化其討論步驟。

2.理論

為方便起見，不妨設(shè)有兩個矩陣 和 且 ，從而存在兩個可逆陣 ，滿足： 。可將 和 表示為列向量組的形式，則有：

（*）

如果 ，由初等變換理論可知， 到 只進(jìn)行了初等列變換，且（*）式可改寫為：

（*1）

兩邊同時右乘 ，得：

（*2）

由（*1）知，向量組 能由向量組 線性表示，由（*2）知，向量組 能由 線性表示，故 與 等價。因此獲得下面結(jié)論：

結(jié)論1 只經(jīng)初等列變換由一個矩陣到另一矩陣，相應(yīng)的列向量組等價。

對上面的（*1）式，兩邊同取轉(zhuǎn)置，得：

（*3）

兩邊同時左乘 ，得：

（*4）

同理，（*3）式和（*4）式表明行向量組 與 等價，由此獲得下面結(jié)論：

結(jié)論2 只經(jīng)初等行變換由一個矩陣到另一矩陣，相應(yīng)的行向量組等價。

3.應(yīng)用

根據(jù)結(jié)論1和結(jié)論2，在討論兩個向量組等價時，只要包含相同個數(shù)的向量，可考慮借助矩陣等價的初等變換方法。

例 已知

試證明向量組 與向量組 等價。

分析：這里是列向量組且都包含兩個向量，應(yīng)考慮使用結(jié)論1，但由于初等行變換較為常用，因此考慮兩個列向量組的轉(zhuǎn)置結(jié)果。由結(jié)論2，只需說明由一個向量組僅通過初等行變換到另一向量組，即完成了等價證明。

證明：

① ②

顯然 和 有相同的行最簡形。①式說明， 經(jīng)初等行變換能獲得其行最簡形，②式由初等行變換的可逆性，該行最簡形也能獲得 。因此， 能只經(jīng)過初等行變換獲得 。由上面結(jié)論2，向量組 與向量組 等價，從而 與 等價。

值得注意的是，在上面證明中，不能簡單借助等價的傳遞性直接給出 ，這是因為本文結(jié)論強(qiáng)調(diào)變換形式的單一性，而從 可能既涉及初等行變換，又涉及初等列變換。另外，考慮到向量組記法的靈活性以及例題的證法加之初等行變換是較為常用的初等變換形式，因此可給出如下更為實用的結(jié)論：

結(jié)論3 給定的兩個行向量組如果包含相同個數(shù)的向量，且相應(yīng)的矩陣具有相同的行最簡形，則兩個行向量組等價。

這一結(jié)論對列向量組也是適合的，只需將其轉(zhuǎn)置為行向量的形式（如上面例題）。另外，結(jié)論中的“行最簡形”不能替換為“標(biāo)準(zhǔn)形”，因為只是進(jìn)行初等行變換的操作。

3. 結(jié)論

矩陣等價和向量組等價從概念上看完全不同，前者是源于初等變換給出的概念，后者是源于線性表示給出的概念。當(dāng)兩個向量組包含相同個數(shù)的向量時，由向量組形成的兩個矩陣是同型矩陣，按照獲得的重要結(jié)論，借助初等行變換說明向量組的等價性是相當(dāng)方便的。但當(dāng)兩個向量組包含不同個數(shù)的向量時，只能按照向量組等價的定義進(jìn)行討論，這里不再贅述。

參考文獻(xiàn)：

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 工程數(shù)學(xué)：線性代數(shù)（第5版）[M]. 北京：高等教育出版社，2007.

[2] 吳贛昌.線性代數(shù)[M]. 北京：中國人民大學(xué)出版社，2011.

[3] 李炯聲，查建國，王新茂. 線性代數(shù)[M].北京：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社， 2010.