逐步Ⅱ型截尾競爭失效產(chǎn)品的Marshall-Olkin擴展指數(shù)分布統(tǒng)計分析

王　燕， 賀興時，王慧敏

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

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逐步Ⅱ型截尾競爭失效產(chǎn)品的Marshall-Olkin擴展指數(shù)分布統(tǒng)計分析

王燕， 賀興時，王慧敏

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

為研究產(chǎn)品壽命服從Marshall-Olkin擴展指數(shù)分布的截尾壽命試驗的統(tǒng)計特性，文中基于Marshall-Olkin擴展指數(shù)分布的逐步Ⅱ型截尾壽命試驗競爭失效模型，對壽命參數(shù)的極大似然、漸進(jìn)區(qū)間及Bootstrap區(qū)間進(jìn)行了估計.利用Monte-Carlo模擬方法對逐步Ⅱ型截尾壽命試驗競爭失效模型進(jìn)行了仿真.結(jié)果表明在不同的截尾試驗方案下，隨著樣本容量的增大，參數(shù)極大似然估計值越接近真值，在同一試驗方案下，Bootstrap區(qū)間的覆蓋率比漸進(jìn)置信區(qū)間的更優(yōu).

Marshall-Olkin擴展指數(shù)分布；極大似然估計；漸進(jìn)置信區(qū)間；Bootstrap區(qū)間

approximate confidence interval;Bootstrap confidence interval

指數(shù)分布是可靠性分析中常用的分布之一，但由于其分布的危險比率函數(shù)為常數(shù)，導(dǎo)致分布在實際應(yīng)用中受到限制.為有效解決該問題，Marshall 和 Olkin于1997年提出了一種新的壽命分布，即Marshall-Olkin擴展指數(shù)分布[1](Marshall-Olkin extended exponential，MOEE)，其原理是通過擴展已有的指數(shù)分布族來增加模型的靈活性，由此在可靠性統(tǒng)計分析中得到了廣泛的應(yīng)用.同時，隨著Marshall-Olkin擴展指數(shù)分布理論研究的深入，大量的國外學(xué)者在該分布中開始探討極大似然估計及貝葉斯估計，以進(jìn)一步改進(jìn)其性能.比如Rao和Ghitany[2-3]研究的該分布在可靠性測試計劃及經(jīng)濟(jì)可靠性測試計劃中的應(yīng)用，并通過實例驗證結(jié)果表明該分布優(yōu)越于其他可靠性測試計劃；Srivastava[4]利用蒙特卡洛方法，研究的MOEE的極大似然估計及貝葉斯估計；以及Narinder Pushkarna研究的在逐步Ⅱ型右刪失模型下該分布的邦弗朗尼和基尼系數(shù)的遞推關(guān)系[5].在我國，也有大量的統(tǒng)計學(xué)者們開始對該主題的研究，其研究熱點主要分布在在MOEE分布的分布特征及參數(shù)估計方面，比如李國安[6]研究的多元Marshall-Olkin型指數(shù)分布的統(tǒng)計特征，并通過導(dǎo)出二元Marhsall-Olkin型指數(shù)分布的一個特征，得到了該分布的極大似然估計與距估計；同時，文獻(xiàn)[7]研究了MOEE模型的性質(zhì)及應(yīng)用，并給出Marshall-Olkin二元指數(shù)分布模型的邊際分布，以及文獻(xiàn)[8]討論了Marsall-Olkin Laplace(AMOL)分布的性質(zhì)，得到了該分布的自回歸模型的一個充要條件.

通過文獻(xiàn)回顧，發(fā)現(xiàn)國內(nèi)外學(xué)者對MOEE的研究，主要集中在MOEE分布的分布特征及參數(shù)估計方面，也得出了一些重要結(jié)論，對MOEE在截尾壽命試驗統(tǒng)計分析的研究尚未深入探討.為此，本文在逐步Ⅱ型截尾試驗下，研究了Marshall-Olkin擴展指數(shù)分布的基本過程，并對壽命參數(shù)的極大似然、漸進(jìn)區(qū)間及Bootstrap區(qū)間進(jìn)行了估計，進(jìn)而通過構(gòu)建試驗方案開展仿真試驗研究.

1　模型構(gòu)建

由于產(chǎn)品內(nèi)部結(jié)構(gòu)及外界工作環(huán)境的復(fù)雜性，導(dǎo)致產(chǎn)品失效的原因較多，任何一個原因的發(fā)生都有可能導(dǎo)致產(chǎn)品失效，稱這類產(chǎn)品為競爭失效產(chǎn)品.引起產(chǎn)品失效的原因稱為產(chǎn)品失效機理.在潛在的產(chǎn)品失效機理中，正確的判斷導(dǎo)致產(chǎn)品在達(dá)到預(yù)期壽命之前失效的原因機理是產(chǎn)品質(zhì)量評估的一個重要問題.現(xiàn)有文獻(xiàn)通常采取壽命試驗及工程判斷等方法來識別失效機理對產(chǎn)品失效的敏感程度.在壽命試驗的基礎(chǔ)上，通過對產(chǎn)品失效數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從而改進(jìn)產(chǎn)品的設(shè)計和研制，進(jìn)而提高產(chǎn)品的質(zhì)量水平.

在逐步Ⅱ型截尾競爭失效產(chǎn)品的壽命試驗中，假定有n個產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗，產(chǎn)品的失效機理有k個，且各失效機理發(fā)生時間Ti(i=1,2,…,k)相互獨立.當(dāng)?shù)谝粋€產(chǎn)品失效時，從未失效的n-1個產(chǎn)品中隨機抽取R1個產(chǎn)品移離試驗，并記錄該產(chǎn)品失效時間為X1與引起失效的機理編號δi(i=1,…,k).直到第m(m

若Xi表示第i個失效機理發(fā)生的時間，則產(chǎn)品的壽命為T=min(X1,X2,…Xk)，Xji(j=1,2,…,k;i=1,2,…,n)表示第個i產(chǎn)品失效機理j的發(fā)生時間.

現(xiàn)假定引起產(chǎn)品失效的機理有2個，記為{1，2}且相互獨立，則所有的方法都可以推至k個失效機理.

設(shè)產(chǎn)品失效時間Xi(i=1,2,…，m)服從不同形狀參數(shù)α1,α2和尺度參數(shù)λ1,λ2的Marshall-Olkin擴展指數(shù)分布，Xji服從形狀參數(shù)為αj，尺度參數(shù) λj的Marshall-Olkin擴展指數(shù)分布.由此，其概率密度函數(shù)、分布函數(shù)可分別表示為

(1)

(2)

由式(2)可得，相應(yīng)的生存函數(shù)可表示為

(3)

由式(3)可得，基于競爭失效模型產(chǎn)品的生存函數(shù)可構(gòu)建為

(4)

逐步Ⅱ型截尾壽命試驗下競爭失效產(chǎn)品數(shù)據(jù)為(t1,δ1)，(t2,δ2),…,(tm,δm)則引起第i個產(chǎn)品失效的原因為δj,(δj=1,2)，示性函數(shù)為Ij={i;δi=j}.

2　極大似然估計

在逐步Ⅱ型截尾試驗下，基于Marshall-Olkin擴展指數(shù)分布競爭失效產(chǎn)品數(shù)據(jù)為(t1,δ1)，(t2,δ2),…,(tm,δm)，得到產(chǎn)品壽命的似然方程為

(5)

其中C為常數(shù).

(6)

現(xiàn)對式(5)取對數(shù)，得到的對數(shù)似然函數(shù)可表示為

l=log(L(ti;λ，α))=n1logλ1+n2logλ2-

(7)

同理，得到的似然方程可表示為

(8)

(9)

由此，利用牛頓迭代法對式(8)和式(9)進(jìn)行求解，從而得到極大似然估計.

3　參數(shù)區(qū)間估計

3.1漸進(jìn)置信區(qū)間估計

由于未知參數(shù)αj,λj,的精確分布難以得到，所以無法通過樞軸量法構(gòu)造參數(shù)的精確區(qū)間估計.可利用極大似然估計的漸進(jìn)正態(tài)性[10]與Fisher信息矩陣，構(gòu)造未知參數(shù)αj,λj,的漸進(jìn)置信區(qū)間.

具體而言，參數(shù)的Fisher信息矩陣為

則參數(shù)的方差協(xié)方差矩陣為

j=1,2

3.2Bootstrap區(qū)間

對近似區(qū)間方法而言，只有在大樣本的前提下才具有明顯優(yōu)勢.相反，在樣本適量的情況下，Bootstrap方法[11-12]在構(gòu)建參數(shù)置信區(qū)間方面更具優(yōu)勢.為此，Bootstrap方法的構(gòu)建過程如下：

4　算例驗證

用Monte-Carlo模擬方法，得到未知參數(shù)(α1,α2,λ1,λ2)的極大似然估計及其區(qū)間估計，并在不同樣本容量和實驗方案下對比各種方法的優(yōu)略性.

表1　截尾試驗方案表

同時，基于1 000次Monte-Carlo模擬數(shù)據(jù)，計算置信水平為95%的區(qū)間覆蓋率，得到的仿真結(jié)果見表3.其中，“ACI”，“Boot”分別表示漸進(jìn)置信區(qū)間和Bootstrap區(qū)間.

由表2可見，在小樣本下，極大似然估計的估計效果較差.但是，隨著樣本容量的增大，參數(shù)的極大似然估計值越接近參數(shù)真值.同時，在給定的定樣本容量及試驗方案下，與參數(shù)(α2，λ2)相比，參數(shù)(α1，λ1)的極大似然估計更穩(wěn)定.原因在于當(dāng)α1<α2<λ1<λ2時，產(chǎn)品失效機理1導(dǎo)致產(chǎn)品失效的概率要大于機理2.

表2　不同試驗方案下的參數(shù)期望值

表3不同試驗方案下參數(shù)區(qū)間覆蓋率(%)

Tab.3 The coverage percentages of the parameters in different schemes(%)

nmα1λ1α2λ2ACIBootACIBoot485.693.588.494.220888.694.289.294.51288.994.289.594.71689.494.890.195.0888.394.587.694.3401688.595.089.595.22490.995.990.995.93291.196.292.096.1

由表3可見，當(dāng)選取覆蓋率為考核指標(biāo)時，Bootstrap方法的估計效果要優(yōu)于漸進(jìn)方法.主要原因在于極大似然估計的近似區(qū)間是建立在近似方差協(xié)方差矩陣基礎(chǔ)上的，只有在樣本容量足夠大時才具有良好的近似性.同時，漸進(jìn)置信區(qū)間的覆蓋率，隨著樣本容量的n增大而增加.具體表現(xiàn)在：當(dāng)樣本容量從n=20,r=4增加到n=40,r=32時，參數(shù)α1的區(qū)間覆蓋率從85.6%上升至91.1%.

5　結(jié) 論

1) 在逐步Ⅱ型截尾壽命試驗下，通過建立似然方程，給出未知參數(shù)的極大似然估計值;采用近似方法、Bootstrap方法建立參數(shù)的置信區(qū)間.

2) 在小樣本下，極大似然估計的效果較差.隨著樣本容量的增大，參數(shù)的極大似然估計值越接近參數(shù)真值.

3) 選取覆蓋率為考核指標(biāo)時，Bootstrap方法的估計效果要優(yōu)于漸進(jìn)方法.主要原因在于極大似然估計的近似區(qū)間建立基礎(chǔ)為近似方差協(xié)方差矩陣，樣本容量足夠大時才具有良好的近似性.

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(責(zé)任編輯、校對張立新)

Statistical Analysis of Competing Failure Models with Marshall-Olkin Extended Exponential Distribution under Progressive Type Ⅱ Censored

WANGYan,HEXingshi,WANGHuimin

(School of Science,Xi’an Polytechnic University,Xi’an 710048,China)

In order to study the statistical properties of the competing risk model based on the Marshall-Olkin extended exponential distribution under the censoring test,the maximum likelihood estimates,the approximate and the Bootstrap confidence intervals of the parameters were derived based on the competing risk model under the progressive type II censored.Then,one data set was used for illustrative purpose in conclusion by the monte carlo method.Simulation results show that,with the increase of the sample size,the maximum likelihood estimates of the parameter are closer to the true values.Under the same test scheme,the bootstrap interval coverage is superior to the asymptotic confidence interval coverage.

Marshall-Olkin extended exponential distribution;maximum likelihood estimate;

10.16185/j.jxatu.edu.cn.2016.07.001

2016-04-20

陜西省科技廳軟科學(xué)基金(2014KRM28-01)；陜西省教育廳自然科學(xué)基金(12JK0744,11JK0188)

王燕(1987-)，女，西安工程大學(xué)助教，西北工業(yè)大學(xué)博士研究生，主要研究方向為可靠性統(tǒng)計分析.

E-mail:wywzyf@126.com.

中圖號：O213.2A

1673-9965(2016)07-0517-05