李露，張賢勇，孫小義

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變精度粗糙集的近似冪集空間

李露，張賢勇*，孫小義

（四川師范大學數(shù)學與軟件科學學院，四川成都 610068）

變精度粗糙集是重要的量化模型，但其近似算子不具有保并性與保交性。本文針對變精度粗糙集，挖掘補平邊界（算子），修正近似算子的集合運算，建立近似冪集空間。具體地，構建四種補平邊界（算子），分析容錯特征；建立近似算子的保并等式與保交等式，重新定義近似集的并交補運算；定義近似冪集空間，得到關于經(jīng)典冪集空間的同態(tài)性質(zhì)。本文從算子論與集合論的雙重視角深化了變精度粗糙集，并量化擴張了定性粗糙集相關結果。

變精度粗糙集；近似算子；集合運算；補平邊界（算子）；近似冪集空間

引言

粗糙集理論是一種基礎的不確定性數(shù)學理論，具有數(shù)據(jù)挖掘的廣泛應用。其經(jīng)典的承載模型為定性模型（記為PawlakRS）[1]，具有一定局限性，如數(shù)據(jù)過擬合。對比地，量化粗糙集模型具有適用性，能有效解決實際的數(shù)據(jù)噪聲問題。概率粗糙集提供了基本的量化框架，具有可測性、泛性與彈性等優(yōu)點[2]。變精度粗糙集Variable precision rough sets（記為VPRS）則是其中的重要代表。VPRS主要引進錯誤分類率度量與量化閾值進行建模[3]。從而，VPRS具有相關的錯誤容忍機制，并擴張了PawlakRS。當前，VPRS具有深入研究。例如，文[4]基于容差關系粒度構建VPRS，從概念格角度擴張PawlakRS；文[5,6]研究VPRS屬性約簡及算法。特別地，文[7]比較研究VPRS與程度粗糙集，并針對粗糙集量化提出基于相對量化與絕對量化的雙量化完備刻畫。

粗糙集理論具有“算子論”與“集合論”兩種解釋[8]?！八阕诱摗闭J為，粗糙集理論是在經(jīng)典集合算子上添加了上、下近似兩個一元算子，是經(jīng)典集合理論的拓展；而“集合論”認為，粗糙集理論沒有引進新的算子，只是改變了集合的運算。在傳統(tǒng)的定性模型中，近似算子部分保持集合并交運算。針對剩余的不保持部分，文[9]挖掘補平邊界（算子），定義近似的新型并交補運算，確立近似算子保持集合運算的良性，進而構建近似冪集空間。

VPRS近似算子完全不保持集合并交運算。對此，本文主要基于文[9]的研究，擬將良性集合運算從定性近似算子拓展到量化VPRS近似算子，并最終建立基于新型集合運算的VPRS近似冪集空間。具體地，針對VPRS，引入四種邊界（算子）進行修正；重新定義近似集的集合運算，得到近似算子對集合運算的保持良性；確立近似冪集空間，并分析對于常規(guī)冪集空間的同態(tài)特性。相關研究將從“算子論”和“集合論”深化VPRS，并量化擴張已有的PawlakRS定性結果。

1 粗糙集與近似算子性質(zhì)

本節(jié)基于文[1,3,8]回顧PawlakRS與VPRS，并提供相應的定性與定量近似算子的性質(zhì)。這里，論域與等價關系組建近似空間，對象的等價類表示知識粒，為目標概念，符號表示集合補運算。

定義1 PawlakRS中，上下近似定義如下：

性質(zhì)1 PawlakRS上下近似算子對于集合并交運算具有性質(zhì)：

PawlakRS即為經(jīng)典定性粗糙集，其近似算子具有不完全的保并性與保交性（性質(zhì)1）。對此，文[9]進行了等式修正，下面提供一種變形刻畫。

性質(zhì)2 PawlakRS中，兩種補平邊界（算子）能夠修正近似算子的并交運算到如下等式：

針對PawlakRS近似算子的非保并性與非保交性（性質(zhì)1），定義2提出兩種補平邊界（算子），性質(zhì)2得到近似算子的并交運算等式。進而，文[9]還提出近似集的新型并交補運算與近似冪集空間，獲得運算保持與同態(tài)良性。

針對PawlakRS量化缺陷，VPRS引入錯誤分類率與量化閾值確立模型。粒關于概念的錯誤分類率為：

定義3 VPRS中，上下近似定義如下：

性質(zhì)4 VPRS上下近似算子對于集合并交運算具有如下不等式：

對比性質(zhì)1與性質(zhì)4可見，在量化擴張過后，VPRS近似算子完全不保持集合并交運算，相關等式補平成為一個問題。

2 變精度粗糙集的補平邊界與補平算子

針對VPRS算子實施集合并交運算的不等性（性質(zhì)3），本節(jié)主要建立四種補平邊界與補平算子。

引理1 VPRS近似算子具有如下作差性質(zhì)：

引理1主要基于性質(zhì)4實施作差比較，挖掘影響等式的集合因素。其正確性可由VPRS近似算子定義（定義3）保證。引理1揭示了性質(zhì)4中VPRS近似算子并交不保持的差額部分，進而自然確定四種邊界（算子）以實施補平作用。

它們分別稱為上內(nèi)邊界、上外邊界、下內(nèi)邊界、下外邊界，統(tǒng)稱為補平邊界。其中，

定理1 VPRS中，四種補平邊界（算子）修正近似算子的并交運算到如下等式：

定理2 VPRS四種補平邊界（算子）量化擴張了PawlakRS補平邊界（算子），后者是前者的特殊情況。時的具體退化結果如下：

根據(jù)引理1，定義4自然確立四種邊界（算子）。在定理1中，補平邊界（算子）通過差額修正，自然補平VPRS近似算子對集合的并交運算。因此，定理1改進性質(zhì)4中的不等式為等式。此外，定理2表明VPRS補平邊界（算子）對于PawlakRS補平邊界（算子）的量化擴張性，其中有兩種VPRS補平邊界在時退化為空集。

VPRS補平邊界與補平算子具有意義。關于“算子論”，四種邊界算子被引入，并能實施VPRS補平功能；關于“集合論”，四種邊界集合被引入，并調(diào)平VPRS近似算子的集合并交運算。此外，相關結果擴張了PawlakRS的基本結果。

鑒于邊界與算子的一致性，下面主要聚焦補平邊界作深入分析。首先，依據(jù)定義4，可以歸納四種邊界的錯誤分類率特征，如表1。

表1 四種邊界的錯誤分類率特征

基于定義4與表1，可以基本定位四種邊界。為此，下面給出相關的圖1。其中，集合為一般的相交關系，相關小矩形描述四種邊界（或其組成粒）。

圖1 VPRS的四個補平邊界示意圖

3 變精度粗糙集的近似冪集空間

基于上節(jié)的VPRS補平邊界與補平算子，可以構造VPRS近似的新型并交運算，得到保持并交運算的良性。再加上對補運算的重新定義，本節(jié)主要構建VPRS近似冪集空間，并分析相關的同態(tài)性質(zhì)。

根據(jù)補平邊界（算子）及近似算子的補運算，定義5提出了VPRS近似的一種新型并交補運算。適用于VPRS近似但依賴于基礎概念，與經(jīng)典的不同，具有相關的修正?？梢暈榈耐茝V，因為細化為單點粒結構時前者退化為后者，且概念精確可定義時兩者變得一致。兩者可以根據(jù)應用環(huán)境進行區(qū)別確認。

證明 前四條由引理1、定理1與定義5可得?；诙x5與VPRS性質(zhì)，

即（5）得證，同理可證（6）?！?/p>

定理3表明，VPRS上下近似算子能夠保持集合并交補運算。因此，新增加的具有意義，特別是從“集合論”角度。對VPRS近似運算具有封閉性，因此能夠組建相關的代數(shù)空間。下面定義VPRS近似冪集空間，并分析同態(tài)性質(zhì)。

VPRS近似冪集空間的對象是確定的，但其依賴于冪集空間，因為近似集的運算具有對基礎概念的依賴性。

的同態(tài)滿射。

4 結論

PawlakRS具有定性絕對性，文[9]針對PawlakRS近似算子性質(zhì)，提出兩種補平邊界與補平算子，獲取近似算子對集合運算的相等式與保持性，并最終建立近似冪集空間。本文主要在文[9]的基礎上，將相關工作向量化VPRS進行了擴張推廣。針對VPRS，構造了四種補平邊界與補平算子，構建了新型的并交補運算（即），讓近似算子具有保持集合運算的良性，進而構建的近似冪集空間具有對于經(jīng)典冪集空間的同態(tài)特性。此外，所得VPRS結果具有對于PawlakRS相關結果的量化擴張性。

本文研究深化了VPRS。從“算子論”的角度，添加四個二元算子，把現(xiàn)有的VPRS系統(tǒng)

推進到

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Approximate Power Set Space of Variable Precision Rough Sets

LI Lu, ZHANG Xianyong*, SUN Xiaoyi

(College of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Chengdu 610068, China)

Variable precision rough sets (VPRS) act as a fundamental quantitative model, but their approximation operators can not maintain intersection and union operations. Aiming at VPRS, this paper mines supplement boundaries (operators), amends set operations of approximation operators, and constructs approximate power set space. Concretely, four types of supplement boundaries (operators) are proposed, and their fault-tolerance features are analyzed; intersection and union preservation equations of approximation operators are gained, so union, intersection, and complement operators of approximations are redefined; approximate power set space is determined, and its homomorphism feature regarding the classical power set space is achieved. This study adopts double views of operators and sets to enrich VPRS, and quantitatively expands relevant results of qualitative rough sets.

variable precision rough set; approximation operator; set operation; supplement boundary (operator); approximate power set space

1672-9129(2016)01-0006-05

TP18

A

2016-06-17;

2016-06-27。

國家自然科學基金項目61203285；四川省教育廳科研項目15ZB0028。

李露(1993-)，女，重慶云陽人，碩士研究生，主要研究方向：粗糙集、數(shù)據(jù)挖掘；張賢勇(*通信作者、第一作者)(1978-)，男，四川成都人，副教授，博士后，碩導，主要研究方向：粗糙集、粒計算、數(shù)據(jù)挖掘；孫小義(1992-)，女，四川達州人，碩士研究生，主要研究方向：粗糙集、數(shù)據(jù)挖掘。

（*通信作者電子郵箱：xianyongzh@sina.com)