孔濤

[摘 要] 解析幾何教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，如何在高三解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)中提高復(fù)習(xí)的針對(duì)性、有效性、高效性，成為教師復(fù)習(xí)教學(xué)的重要工作.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何；二輪復(fù)習(xí)；高三；數(shù)學(xué)；復(fù)習(xí)；教學(xué)

二輪復(fù)習(xí)教學(xué)是高考前的重要復(fù)習(xí)，是在一輪基礎(chǔ)上進(jìn)行的更有針對(duì)性的、專題性質(zhì)的教學(xué)復(fù)習(xí). 對(duì)于高三復(fù)習(xí)教學(xué)而言，一輪復(fù)習(xí)是系統(tǒng)的、橫向的對(duì)各種知識(shí)進(jìn)行梳理，比較全面地對(duì)每一章節(jié)的每一細(xì)微知識(shí)點(diǎn)都進(jìn)行了復(fù)習(xí). 與一輪復(fù)習(xí)不同的是，二輪復(fù)習(xí)更有針對(duì)性、專題性，它能將高考中的熱點(diǎn)問題進(jìn)行有效的縱向挖深，有效地將各類問題有機(jī)整合，成為復(fù)習(xí)教學(xué)必不可少的復(fù)習(xí)途徑.

解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，從新知教學(xué)開始，學(xué)生對(duì)于解析幾何的恐懼一直延續(xù)到高三復(fù)習(xí)教學(xué). 經(jīng)過大量資料研究，造成解析幾何難學(xué)的主要原因是：第一，運(yùn)算量大是學(xué)生對(duì)其恐懼的首要原因；第二，幾何條件如何轉(zhuǎn)化成代數(shù)語(yǔ)言不能較好地掌握；第三，當(dāng)變量居多時(shí)，無法正確選擇合理變量進(jìn)而轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題求解；第四，解析幾何大部分的問題最終都是轉(zhuǎn)化成函數(shù)求值域的問題，函數(shù)最值求解模型能力達(dá)不到要求. 從這幾方面來看，解析幾何問題最終造成了學(xué)生學(xué)習(xí)的困難，因此在二輪復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，要研究高考中的熱點(diǎn)問題結(jié)合上述造成困難的原因，提高復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性和高效性.

[?] 基于高考真題所反映的信息

每年的高考真題，都是大學(xué)教授和中學(xué)特級(jí)教師命題的結(jié)晶. 很多高考真題，具備很高的研究?jī)r(jià)值，這里面既有考綱中對(duì)基本知識(shí)考查的訴求，還有在教材基本概念、基本知識(shí)等層面上進(jìn)行的提煉和深加工.筆者建議，教師和學(xué)生至少要做一做去年的高考真題，讀懂這些真題背后所考查的知識(shí)點(diǎn)，有助于二輪復(fù)習(xí)教學(xué)的針對(duì)性.

問題1：設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若=5，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________.

分析：本題初看似乎與常規(guī)問題的解決有著極為不同的角度，但是細(xì)細(xì)品味，我們就不難發(fā)現(xiàn)高考真題想反映的是設(shè)而不求思想，但是這個(gè)設(shè)而不求需要利用橢圓最基本的性質(zhì)——對(duì)稱性給予呈現(xiàn). 利用對(duì)稱性這樣最基本的性質(zhì)去考查學(xué)生，成為高考問題貼近教材的樸實(shí)體現(xiàn).

[?] 類題同練

我們知道，從解析幾何教學(xué)初始到高三復(fù)習(xí)教學(xué)，運(yùn)算能力一直是解析幾何教學(xué)急需解決的重要問題. 學(xué)生在運(yùn)算中，往往對(duì)于直線和橢圓、直線和雙曲線、直線和拋物線的各種不同聯(lián)立方程極容易算錯(cuò)，筆者的建議是在二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，采用類題同練的方式，加強(qiáng)計(jì)算的針對(duì)性，從而減少學(xué)生在不同曲線背景下的運(yùn)算錯(cuò)誤率.

問題2：已知拋物線C：y2=4x，以M（1，2）為直角頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接三角形MAB. 求證：直線AB過定點(diǎn).

分析：設(shè)直線AB的方程為x=my+b，利用垂直關(guān)系及韋達(dá)定理，將M點(diǎn)看作兩直線交點(diǎn)，利用軌跡思想，設(shè)直線MA的方程為y-2=k（x-1），聯(lián)立拋物線方程，用-取代k，可得直線MB與拋物線聯(lián)立的方程，進(jìn)而求得定點(diǎn)（5，-2）.

類題1：把M點(diǎn)換成坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線方程：y2=2px（p>0），則OA⊥OB時(shí)，直線AB過定點(diǎn)（2p，0）. （教材中的基本知識(shí)）

類題2：若kMA·kMB=r（常數(shù)），則直線AB必過定點(diǎn).

類題3：若kMA+kMB=0，則直線AB的斜率為定值.

如圖2，以AB為直徑的動(dòng)圓滿足交點(diǎn)M在圓內(nèi)，可以編制類題：

類題4：若將點(diǎn)M設(shè)為拋物線上任意一點(diǎn)，則直線AB必過定點(diǎn).

類題5：若將點(diǎn)M設(shè)為圓上任意一點(diǎn)，則直線AB必過定點(diǎn).

類題6：將拋物線換成橢圓，直線AB也必過定點(diǎn)

[?] 同題多變

二輪復(fù)習(xí)要注意問題的多變性，有些問題就是不斷地在改變條件或者結(jié)論，要注重這樣同一類型問題的多變，在二輪教學(xué)中進(jìn)行這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)特別有助于教學(xué)的高效性.

問題3：橢圓+=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為其上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F2PF2為鈍角時(shí)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的范圍.

變式1：橢圓+=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，是否存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2為直角？（≤e<1即可）

變式2：橢圓+=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，在橢圓上滿足PF1⊥PF2的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有______個(gè). （2個(gè)）

變式3：橢圓+=1，若θ表示焦周角∠F1PF2，求證：S△F1PF2=b2tan.

變式4：點(diǎn)A1，A2是橢圓+=1長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，則kPA1·kPA2=______.

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變式5：雙曲線-=1上存在一點(diǎn)P滿足∠FPF為直角的充要條件是離心率滿足e≥.

變式6：雙曲線-=1，若θ表示焦周角∠FPF，求證：S△F1PF2=b2cot.

變式7：點(diǎn)A1，A2是雙曲線-=1長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則kPA1·kPA2=____.

同題多變使得教學(xué)的寬度大大地拉長(zhǎng)了，針對(duì)同一問題演變出的很多近似的條件或結(jié)論都有了一定的了解，這種同題多變的二輪復(fù)習(xí)方式也給予教師在教學(xué)中有所啟示.

[?] 條件轉(zhuǎn)化的合理性

學(xué)生之所以認(rèn)為解析幾何問題較難，是對(duì)如何轉(zhuǎn)化題中的條件還具備不確定性. 很多學(xué)生從解析幾何學(xué)習(xí)的第一天就沒弄明白，解析幾何是用什么樣的方法解決什么樣的問題！二輪復(fù)習(xí)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)這一思想的滲透：用代數(shù)運(yùn)算的方式解決幾何曲線問題，用合理的代數(shù)方式轉(zhuǎn)化條件中的幾何表述，注重積累的基礎(chǔ)上，提高條件轉(zhuǎn)化的合理性.

問題4：已知拋物線C：y2=-2px（p>0）上橫坐標(biāo)為-3的一點(diǎn)，與其焦點(diǎn)的距離為4.

（1）求p的值；

（2）設(shè)動(dòng)直線y=x+b（b>3）與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，問：在直線l：y=2上是否存在與b的取值無關(guān)的定點(diǎn)M，使得∠AMB被直線l平分？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

分析：第（1）問顯然利用拋物線的定義求解；對(duì)于第（2）問，學(xué)生最大的疑問是如何用代數(shù)的語(yǔ)言描述“∠AMB被直線l平分”，很多學(xué)生腦海中沒有正確形成問題解決的代數(shù)思路：利用kAM=-kBM將幾何條件轉(zhuǎn)化成合理的代數(shù)語(yǔ)言.

[?] 加強(qiáng)函數(shù)最值模型的處理

解析幾何問題大都在求解變量范圍，這勢(shì)必與函數(shù)最值休戚相關(guān). 中學(xué)數(shù)學(xué)說到底，還是變量問題的研究，這就和中學(xué)數(shù)學(xué)的核心章節(jié)——函數(shù)密不可分. 可以這么說，求解函數(shù)最值模型的熟練程度，是區(qū)分優(yōu)秀學(xué)生與否的一個(gè)標(biāo)志. 二輪復(fù)習(xí)中，教師需要精挑細(xì)選典型函數(shù)模型為本的解析幾何問題，在教學(xué)中更有側(cè)重地加以引導(dǎo)，從系統(tǒng)的角度審視，有助于優(yōu)秀學(xué)生更上一層樓.

問題5：如圖3，點(diǎn)F是拋物線x2=2py的焦點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）若點(diǎn)P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，直線l是圓O在點(diǎn)P處的切線，直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)（A，B在y軸的兩側(cè)），求四邊形OAFB的面積的最小值.

本題利用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)置了問題的求解，在求解過程中，使用動(dòng)點(diǎn)縱坐標(biāo)建立函數(shù)模型，運(yùn)用整體思想的介入形成了二次函數(shù)模型，進(jìn)而求解. 值得注意的是，解析幾何中的大部分問題最終涉及的函數(shù)還是一些基本初等函數(shù)，如二次函數(shù)模型、對(duì)勾函數(shù)模型等，不過轉(zhuǎn)化過程往往需要整體思想介入才能顯現(xiàn)出來，二輪復(fù)習(xí)教學(xué)要加以引導(dǎo).

總之，二輪解析幾何復(fù)習(xí)是提高該知識(shí)高度的一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，從多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看，上述經(jīng)驗(yàn)結(jié)合編制校本學(xué)情的資料，以微型專題的形式介入，對(duì)于學(xué)生后續(xù)時(shí)間段內(nèi)進(jìn)一步提高解析幾何有重要的作用. 筆者反對(duì)二輪復(fù)習(xí)階段，無目的、無針對(duì)性的訓(xùn)練，不研究、不落實(shí)的訓(xùn)練是浪費(fèi)時(shí)間，降低效率，因此以筆者淺薄之見提出一些二輪復(fù)習(xí)的想法，不成熟之處還請(qǐng)讀者批評(píng)指正.