淺議不定積分的解法

孫永濤?張瑛

摘 要：不定積分的求解一直是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，但由于其方法的靈活性和結(jié)果的不確定性，又一直是高等數(shù)學(xué)的難點(diǎn)。針對(duì)不定積分求解方法的核心思想——“湊微分”，就其技巧、步驟的形式化方面方面做了相關(guān)分析和總結(jié)，并給出了一系列行之有效的“湊微分”的形式化步驟和技巧。

關(guān)鍵詞：不定積分；湊微分；換元積分；分部積分；高職高專高等數(shù)學(xué)

不定積分是高職高專高等數(shù)學(xué)的基本和主要內(nèi)容，不定積分與求導(dǎo)是互逆的運(yùn)算，而定積分的計(jì)算主要依賴于萊布尼茲公式，而使用萊布尼茲公式的前提是求被積函數(shù)的任一原函數(shù)。由此可見(jiàn)，不定積分是聯(lián)系微分學(xué)和定積分的一條紐帶。不定積分掌握的好壞直接決定了后面的定積分的、多元函數(shù)微積分的內(nèi)容的掌握，亦對(duì)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)后很大影響。由于不定積分方法的靈活性和結(jié)果的不確性，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)往往覺(jué)得無(wú)從下手，因而，我在這里就不定積分的一些解法加以闡述。

不定積分的常規(guī)求解求解方法主要包括直接積分法、換元積分法和分步積分法，而經(jīng)常使用的主要是換元積分法和分步積分法，其核心即——“湊微分”。

換元積分法中的“湊微分”主要體現(xiàn)在第一類換元積分法中，第一換元發(fā)法的解題思路是首先利湊成微分形，然后換元使復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)后在利用積分公式在求積分。求出積分后再還原。其中關(guān)鍵的一步是湊成微分形也是大家感到最困難的一步，因?yàn)轭}中需要才能湊成微分形，不易被觀察出。也就無(wú)法湊成微分形式了。這正是湊微分的核心。由于“湊微分”方式靈活多樣，單單依靠幾個(gè)常見(jiàn)的湊微分并不能給學(xué)生足夠的啟示，在講解過(guò)程中我們將方法歸結(jié)三種1.能化成n個(gè)函數(shù)的乘積；2.不能化成幾個(gè)函數(shù)的乘積；3.能化成幾個(gè)因式的乘積但難以湊微分。這樣學(xué)生掌握起來(lái)就容易了。

1.遇到一個(gè)不定積分的題目，若能直接化成若干個(gè)函數(shù)的乘積，則挨個(gè)觀察各個(gè)函數(shù)能否湊微分，找出合適的求解。

如：求解下面兩個(gè)不定積分：

（1）=

因，所以前面要有，來(lái)和這里出現(xiàn)的2相消=這里

（2）

因=這里

2. 不能化成幾個(gè)函數(shù)的乘積

若一個(gè)不定積分不能直接化成若干個(gè)函數(shù)的乘積或可以化成若干個(gè)函數(shù)的乘積但難以計(jì)算，則先觀察它是否與某一個(gè)不定積分基本公式接近，若接近，則依此不定積分基本公式為目標(biāo)去靠近從而求解。

如：求解不定積

解-

-

-+c

3.能化成幾個(gè)因式的乘積但難以湊微分。

若一個(gè)不定積分既不能化成若干個(gè)函數(shù)的乘積或能化成若干個(gè)函數(shù)的乘積但是難以進(jìn)行湊微分計(jì)算，又不與任何一個(gè)不定積分的基本公式接近，則可以先利用恒等變形方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在根據(jù)轉(zhuǎn)化的形式進(jìn)行相應(yīng)求解。

如：求解不定積

解。

2.分步積分法中的“湊微分”

分部積分法主要適用于被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)乘積形式的不定積分，分步積分法的關(guān)鍵步驟是配微分，即拆分選擇不當(dāng)會(huì)使題目求解越陷越繁瑣，

例如如果，則，代入分步積分法公式于是，新得到的積反而比原積分更難以求解。如果則容易求解。遵循上面的兩個(gè)原則，在實(shí)際教學(xué)中我們總結(jié)出一個(gè)比較實(shí)用的方法：對(duì)拆分成乘積的兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)類型發(fā)生變化則，沒(méi)有發(fā)生變化則，全部沒(méi)有發(fā)生變化則任選一個(gè)即可。而且總結(jié)一個(gè)口訣“三指動(dòng)，反對(duì)不動(dòng)”，即三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可以，反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)不能。如：求

指數(shù)函和三角函求導(dǎo)后仍為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)，函數(shù)類型都沒(méi)有發(fā)生變化，則可任選一個(gè)函數(shù)。

解法1：

：

將最后的式子中移項(xiàng)，再合并，然后可

所以

解法2=

將最后的式子中移項(xiàng)，再合并，然后可得

所以得到同樣結(jié)

另外，針對(duì)某些被積函數(shù)只有一個(gè)的情況，可以看成其與常數(shù)的乘積。如：求解不定積，被積函可以看求導(dǎo)，類型有對(duì)數(shù)函數(shù)變成了冪函數(shù)形式，而1求導(dǎo)得0，仍為冪函數(shù)不變，因此=1

此方法對(duì)于“配微分”的選擇來(lái)說(shuō)是比較實(shí)用的，并且可以培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維，但在一定方面亦有其局限性，對(duì)于某些題目，容易使同學(xué)們產(chǎn)生“歧途亡羊”之感。如求解不定積被積函求導(dǎo)，被積函求導(dǎo)，類型仍是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)形式，因此應(yīng)該任取一個(gè)即可，但通過(guò)下面的求解發(fā)現(xiàn)并不是如此。

解法（1）：

（陷入無(wú)限循環(huán)）。

解法（2）

（簡(jiǎn)單明了）。

為解決此缺陷，我們?cè)俳o出一個(gè)選的簡(jiǎn)單方法：把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積，按“反、對(duì)、冪、指、三”的順序，前者后者。如：求解不定積，分析：被積函可以看成冪函與三角函的乘積，按照“反、對(duì)、冪、指、三”的順序取u，v′。其實(shí)，兩種方法各有利弊，第一種方法拓展了學(xué)生的發(fā)散思維，但對(duì)于某些問(wèn)題不能廣泛使用，第二種方法雖然簡(jiǎn)潔、應(yīng)用廣泛，但是又限制了同學(xué)們發(fā)散思維的培養(yǎng)，因此我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中應(yīng)該相互結(jié)合，互為補(bǔ)充，這樣才能既有效解決問(wèn)題，又培養(yǎng)了學(xué)生們的思維能力。通過(guò)上面的方法，我們幾乎可以把不定積分的基本求解形式化的確定下來(lái)，在一定程度上減輕了同學(xué)們的壓力。對(duì)于不定積分的求解步驟、方法形式化的討論，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)到微積分的無(wú)窮魅力。

參考文獻(xiàn)

1 張順燕.數(shù)學(xué)的思想、方法和應(yīng)用.北京大學(xué)出版社，2002.

2 范應(yīng)元，安洪慶，孔雨佳.醫(yī)用高等數(shù)學(xué)教學(xué)中人文推動(dòng)的模糊綜合評(píng)價(jià).數(shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志，2008，21（6）：760～761.

3 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué).第5版.高等教育出版社，2002.