錢金宇++嚴(yán)育洪

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了“經(jīng)歷（感受）、體驗(yàn)（體會(huì)）、探索”等刻畫數(shù)學(xué)活動(dòng)水平的過程性目標(biāo)動(dòng)詞，這就為數(shù)學(xué)教學(xué)真正落實(shí)過程性目標(biāo)找到了有效的路徑。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要有效地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展與形成的過程，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，感悟基本數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)，還要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的過程，提高解決問題的能力，形成積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感與態(tài)度。

關(guān)鍵詞：解決問題的策略；表格；數(shù)量關(guān)系

新課程改革將“過程與方法”作為教學(xué)的重要目標(biāo)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了“經(jīng)歷（感受）、體驗(yàn)（體會(huì)）、探索”等刻畫數(shù)學(xué)活動(dòng)水平的過程性目標(biāo)動(dòng)詞，這就為數(shù)學(xué)教學(xué)真正落實(shí)過程性目標(biāo)找到了有效的路徑。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要有效地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展與形成的過程，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，感悟基本數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)，還要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的過程，提高解決問題的能力，形成積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感與態(tài)度。本文試以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊《解決問題的策略——從條件和問題想起》一課的教學(xué)為例，談?wù)劰P者自己的思考與實(shí)踐。

一、感受列表，體會(huì)列表的需要

《解決問題的策略——從條件和問題想起》一課，教材創(chuàng)設(shè)了這樣的問題情境：

小芳家栽3行桃樹、8行杏樹和4行梨樹。桃樹每行7棵，杏樹每行6棵，梨樹每行5棵。桃樹和梨樹一共有多少棵？

在試教時(shí)，筆者將教材原封不動(dòng)地出示給了學(xué)生，結(jié)果大部分學(xué)生花了不到2分鐘的時(shí)間就將這道問題解答出來，很少甚至沒有學(xué)生想到要通過列表的方式來解決問題。課后筆者進(jìn)行反思：這是教材上的例題，為什么達(dá)不到教材想要的效果呢？原來，教材的意圖是通過這一問題解決的過程讓學(xué)生體會(huì)列表這一策略的價(jià)值，學(xué)生只有在產(chǎn)生列表的需要時(shí)才會(huì)對列表策略的價(jià)值有所體會(huì)，并對以后解決問題獲取新知也有很大的益處。

如何利用情境，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生整理信息的愿望呢？筆者組織了如下的教學(xué)過程——

師出示課件（如圖1）：

師：看了這些信息，你有什么感受？

生：很多，有些雜亂。

師：你想怎么辦？

生：整理一下。

師：是呀，為了又快又準(zhǔn)地弄清題意，我們要對這些條件進(jìn)行必要的整理?，F(xiàn)在就請同學(xué)們把這些信息整理在導(dǎo)學(xué)單的第一部分。

（學(xué)生獨(dú)自整理信息，教師收集后進(jìn)行展示交流。）

生：我是將果樹按照桃樹、杏樹、梨樹來分類摘錄整理的。（如圖2）

生：我也是按照果樹的種類分類整理的，但是我還根據(jù)行數(shù)和每行棵數(shù)進(jìn)行了對應(yīng)整理。（如圖3）

師：這樣整理比剛才屏幕上的信息整齊了很多，你們可真有辦法！

生：我是根據(jù)問題“求桃樹和梨樹一共多少棵”選取了桃樹的條件和梨樹的條件分類對應(yīng)整理的。（如圖4）

師：為了看得更清楚，我們可以給這些整理好的條件加上邊線，用列表的方法整理信息。

師：瞧，把這些整理好的信息和原來的信息對比，你有什么感受？

生：比原來清楚了，更有條理了。

師：是的，列表可以幫助我們把已知條件看得更清楚，有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系。不管是摘錄整理還是列表整理，都能幫助我們理解題意。

【思考：列表整理信息的策略，是讓學(xué)生根據(jù)條件與條件、條件與問題之間的內(nèi)在關(guān)系，舍棄相關(guān)的情節(jié)要素和事件背景，抽取數(shù)量關(guān)系涉及的純粹數(shù)量，使得問題的表征得以最大限度地簡化，從而便于學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)。首先，在教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生產(chǎn)生整理信息的需要。從學(xué)生的心理感受來說，這種需要并不是在教師的要求或提示下才產(chǎn)生的，而是基于對條件和問題的特點(diǎn)產(chǎn)生的。因此，在學(xué)生充分感受到例題的條件之多之亂后拋出問題“桃樹和梨樹一共有多少棵”，使學(xué)生自然地產(chǎn)生整理信息的心理需求，當(dāng)然這里的整理方法可以是列表，也可以是摘錄。之后，教師為學(xué)生提供動(dòng)手操作的時(shí)間和空間，鼓勵(lì)學(xué)生用喜歡的方式整理信息。這樣，學(xué)生無論能否運(yùn)用列表的策略整理信息，他們都實(shí)實(shí)在在地經(jīng)歷了整理信息的過程，展現(xiàn)了原生態(tài)的思考，為后面進(jìn)一步研究列表的策略提供了鮮活的教學(xué)資源?！?/p>

二、抓住表格，分析數(shù)量關(guān)系

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)課程應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的根本途徑?！睌?shù)學(xué)學(xué)習(xí)要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并理解運(yùn)用的過程。因此，在教學(xué)中，筆者充分抓住并利用表格為導(dǎo)向，幫助學(xué)生建立思維模型，在解決問題的過程中明確所需的策略。

利用表格表征問題，理解題意是解決問題的第一個(gè)步驟，但列表策略的教學(xué)還不能到此為止，筆者組織了以下教學(xué)過程：

師：弄清題意后我們就可以分析數(shù)量關(guān)系并確定先算什么？

師：請同桌交流一下你準(zhǔn)備先算什么？你是怎么分析的？

生：根據(jù)“桃樹有3行，每行7棵”，可以求出桃樹的棵數(shù)（表后板貼：桃樹的棵數(shù)），數(shù)量關(guān)系是：桃樹的行數(shù)×每行棵數(shù)=桃樹的棵數(shù)；再根據(jù)“梨樹有4行，每行5棵”，可以求出梨樹的棵數(shù)（表后板貼：梨樹的棵數(shù)），數(shù)量關(guān)系是：梨樹的行數(shù)×每行棵數(shù)=梨樹的棵數(shù)；最后把桃樹的棵數(shù)和梨樹的棵數(shù)加起來就可以求出問題“桃樹和梨樹共有的棵數(shù)”（板貼）。

師：這種分析數(shù)量關(guān)系的方法運(yùn)用了哪種策略？

生：從條件想起分析數(shù)量關(guān)系。（板貼：從條件想起）

師：誰再來有序地說說從條件想起的思考過程？（師指著表格，課件逐步展示數(shù)量關(guān)系，如圖5）

師：有沒有不同的分析思路？不從條件出發(fā)分析可以嗎？

生：根據(jù)問題“桃樹和梨樹一共有多少棵”，必須先知道桃樹的棵數(shù)和梨樹的棵數(shù)，題中沒有直接告訴我們，所以先算桃樹的棵數(shù)和梨樹的棵數(shù)。桃樹的行數(shù)×每行棵數(shù)=桃樹的棵數(shù)，梨樹的行數(shù)×每行棵數(shù)=梨樹的棵數(shù)。

師：和剛才相比，分析方法有什么不同？

生：從問題想起分析數(shù)量關(guān)系。（板貼：從問題想起）

師：我們一起來完整地說說分析過程。（師指著表格，課件逐步展示數(shù)量關(guān)系，如圖6）

師：對于比較復(fù)雜的問題，我們還可以將從條件想起和從問題想起兩種策略綜合運(yùn)用。如剛才這題，從條件出發(fā)，根據(jù)“行數(shù)×每行棵數(shù)”就可以求出梨樹和桃樹的棵數(shù)，再從問題出發(fā)，發(fā)現(xiàn)知道桃樹的棵數(shù)和梨樹的棵數(shù)即可，所以馬上可以確定應(yīng)該先算桃樹和梨樹的棵數(shù)。（師結(jié)合課件展示，如圖7）

【思考：依托整理的表格，筆者引導(dǎo)學(xué)生尋找本題的數(shù)量關(guān)系，在這里橫向觀察表格能得到“桃樹的行數(shù)×每行棵數(shù)=桃樹的棵數(shù)”“ 梨樹的行數(shù)×每行棵數(shù)=梨樹的棵數(shù)”，再將桃樹的棵數(shù)和梨樹的棵數(shù)加起來就可以求出問題“桃樹和梨樹共有的棵數(shù)”，也就是三年級時(shí)學(xué)習(xí)的“從條件想起的策略”；縱向觀察表格能得到“桃樹的棵數(shù)+梨樹的棵數(shù)=共有的棵數(shù)”，再由這一數(shù)量關(guān)系思考解決這一問題必須要知道“桃樹的棵數(shù)”“梨樹的棵數(shù)”，也就是三年級時(shí)學(xué)習(xí)的“從問題想起的策略”。雖然表格的敘述方式只有寥寥幾字，但正是表格呈現(xiàn)了幾組有著內(nèi)在關(guān)聯(lián)信息的分類對比，才方便了我們觀察和發(fā)現(xiàn)表格中橫向和縱向的數(shù)量關(guān)系，促進(jìn)問題的解決。】

三、檢驗(yàn)反思，體會(huì)表格的價(jià)值

著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞非常重視解決問題之后的反思，他說：“如果沒有了反思，他們就錯(cuò)過了解題的重要而有效益的方面”，“通過回顧所完成的解答，通過重新考慮和重新檢查這個(gè)結(jié)果和得出這一結(jié)果的路子，學(xué)生們可以鞏固他們的知識和發(fā)展他們的解題能力”。從解決問題的策略的形成需要來看，檢驗(yàn)反思也是必不可少的過程：

師：現(xiàn)在我們能寫答句了嗎？對，寫答句之前我們一般先要進(jìn)行檢驗(yàn)。已經(jīng)學(xué)過用什么方法檢驗(yàn)？

生：把求出的問題當(dāng)成已知條件代入原題，把原題中的一個(gè)條件當(dāng)成問題，看求出的結(jié)果是否相同來進(jìn)行檢驗(yàn)。

師：這里有四個(gè)條件，你們想把哪個(gè)條件變成問題？可不可以把別的條件變成問題？現(xiàn)在我們就用這種方法進(jìn)行檢驗(yàn)吧，請大家把檢驗(yàn)過程寫在導(dǎo)學(xué)單上。

交流檢驗(yàn)方法（如圖8）：

師：在剛才解決問題時(shí)，我們用了哪些策略？

生：理解題意時(shí)用到了列表的策略。

生：分析數(shù)量關(guān)系時(shí)用到了從條件想起的策略和從問題想起的策略，還可以綜合運(yùn)用兩種策略。

師： 對，理解題意時(shí)，可以用列表的策略整理信息，這樣容易看清，便于分析（指表格）。在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)我們可以采用從條件想起（表格橫指）或從問題想起（表格豎指）以及綜合運(yùn)用兩種策略，這樣可以幫助我們理清解題思路，確定先算什么，再算什么，最后算什么。

【思考：對四年級的學(xué)生而言，這是第一次完整經(jīng)歷解決問題的策略的四個(gè)步驟，所以要讓學(xué)生在反思的過程中形成反思的意識，逐步養(yǎng)成反思的習(xí)慣。如果以解決問題為目的，得出問題的正確結(jié)果，解題活動(dòng)就可以結(jié)束了。然而，數(shù)學(xué)教學(xué)中的解決問題，目的不只是得到問題的答案，而是提高學(xué)生解決問題的能力，培養(yǎng)解決問題的策略。所以，得到問題的結(jié)論不應(yīng)是教學(xué)的結(jié)束，還要幫助學(xué)生進(jìn)一步積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)，形成解決問題的有效策略。因此，在解決問題之后進(jìn)行反思，解題的方法會(huì)得到明晰，原有的經(jīng)驗(yàn)會(huì)得到強(qiáng)化，策略的價(jià)值會(huì)得到更好的領(lǐng)悟。在解決問題之后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧與反思解決問題的過程，突出了三個(gè)方面：一是解決這個(gè)問題的方法，強(qiáng)化對列表策略和從條件想起、從問題想起的策略的印象；二是列表時(shí)要注意的事項(xiàng)，體會(huì)列表的關(guān)鍵；三是回顧列表的過程，體會(huì)用列表的策略解決問題具備的特點(diǎn)。這樣的回顧反思，指向明確，有助于學(xué)生深化對列表策略和從條件想起、從問題想起的策略的認(rèn)識，同時(shí)也有助于學(xué)生逐步養(yǎng)成回顧反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣?！?/p>

四、應(yīng)用策略，內(nèi)化表格的內(nèi)涵

策略的形成不是一蹴而就的，而應(yīng)是一個(gè)循序漸進(jìn)、不斷感悟和理解的過程。因此，在初步學(xué)習(xí)策略之后，還要通過變化的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生加深對策略的體會(huì)，積累運(yùn)用策略解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，為真正形成策略“添磚加瓦”——

師：現(xiàn)在讓我們一起來挑戰(zhàn)一下自己吧！老師不再提醒，請每個(gè)同學(xué)自己嘗試按四步解題法獨(dú)立完成解題過程，看誰挑戰(zhàn)成功。（課件出示“練一練”第2題：江老師買2件長袖襯衫一共用去270元，買3件短袖襯衫一共用去180元。一件長袖襯衫比一件短袖襯衫貴多少元？）

（學(xué)生在導(dǎo)學(xué)單上獨(dú)立完成，之后，教師投影展示一位學(xué)生的導(dǎo)學(xué)單，并讓全班學(xué)生說說這位學(xué)生的解題過程。）

師：第一步理解題意時(shí)，他用什么方法整理信息？

生：他是列表整理的。

師：看來大家都感受到了列表整理的優(yōu)勢。

師：第二步分析數(shù)量關(guān)系時(shí)，誰能看懂他是從什么出發(fā)分析的？你能說說分析過程嗎？

……

師：列式方法和你們一樣嗎？第一步算的是？第二步？第三步呢？

師：一起看檢驗(yàn)過程。把問題當(dāng)成條件代入原題后，他把哪個(gè)條件變成了問題？檢驗(yàn)出來對嗎？

師：四步解題法的確很管用，只要你按照這四步來做，再復(fù)雜的實(shí)際問題都會(huì)迎刃而解。

……

【思考：解決問題需要認(rèn)真整理?xiàng)l件和問題，這是解決問題很重要的一步。使用哪一種方式、方法進(jìn)行整理，都要從學(xué)生自己的實(shí)際能力出發(fā)進(jìn)行選擇。教材在呈現(xiàn)例題時(shí)采用的是“有形”的表格，到“練一練”第2題沒有明確提出整理?xiàng)l件和問題的要求，這并不是不要求學(xué)生整理信息，而是希望學(xué)生自覺進(jìn)行整理信息的活動(dòng)。學(xué)生可以根據(jù)自己的需要，或是采用“有形”的信息整理方式，或是在頭腦里想象表格，進(jìn)行“無形”地整理。學(xué)生能夠經(jīng)歷從看得見的“有形表格”到想在心里的“無形表格”的思考、演變過程。有了這樣的思想引領(lǐng)，學(xué)生獲得的不僅僅是列表整理的知識方法，更是列表活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和對應(yīng)思想方法的感悟，從“有形”到“無形”，提升了學(xué)生數(shù)學(xué)思考的能力和綜合素養(yǎng)?！?/p>

策略的形成應(yīng)體現(xiàn)在解決新問題的過程中，如果獲得的策略只應(yīng)用于比較熟悉的、已經(jīng)知道解法的問題之中，那么策略的價(jià)值和意義就變得有限了。所以，學(xué)生通過解答更多的實(shí)際問題，可以進(jìn)一步體會(huì)列表策略和從條件想起、從問題想起的策略的價(jià)值，掌握運(yùn)用策略解決問題的方法，豐富運(yùn)用策略的經(jīng)驗(yàn)。