張文宇，宋 軍

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加拿大小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)感與運(yùn)算能力評(píng)析——以安大略省為例

張文宇1，宋 軍2

（1．渤海大學(xué)教育與體育學(xué)院，遼寧錦州 121013；2．盤錦市鶴鄉(xiāng)小學(xué)，遼寧盤錦 124000）

加拿大安大略省于2005年頒布了《安大略數(shù)學(xué)課程（修訂）》．?dāng)?shù)感與運(yùn)算能力作為小學(xué)1~6年級(jí)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一個(gè)分支，被看作是其它分支的基礎(chǔ)．在介紹數(shù)感與運(yùn)算能力核心思想的基礎(chǔ)上，分析了各核心思想具有的特征；提出了對(duì)中國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究的借鑒與啟示．

數(shù)感與運(yùn)算能力；數(shù)量關(guān)系；計(jì)數(shù)；運(yùn)算意識(shí)；比例關(guān)系

在近年來(lái)的PISA測(cè)試中，加拿大學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)始終位居前列[1~2]．作為教育分權(quán)制的國(guó)家，加拿大各省可以自行制定、實(shí)施課程標(biāo)準(zhǔn)．安大略省（以下簡(jiǎn)稱安?。┮涣鞯幕A(chǔ)教育水平和成熟、完善的課程框架已經(jīng)成為加拿大其余各省課程改革的典范．研究者以安省為例，分析加拿大小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)感與運(yùn)算能力，希望對(duì)中國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)研究提供借鑒和參考．

1 數(shù)感與運(yùn)算能力的課程期望

安省小學(xué)階段目前使用的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是2005年頒布的《安大略數(shù)學(xué)課程（修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》），該文件是小學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫、教學(xué)、考試評(píng)價(jià)的依據(jù)[3]．《課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容主要包含5個(gè)分支：數(shù)感和運(yùn)算能力、測(cè)量、幾何和空間觀念、模式和代數(shù)、數(shù)據(jù)管理和概率．其中數(shù)感和運(yùn)算能力這一分支是小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．因?yàn)閿?shù)感與運(yùn)算能力遍及其它數(shù)學(xué)分支，可以和其它分支的數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)活動(dòng)相聯(lián)系．

《課程標(biāo)準(zhǔn)》將數(shù)感和運(yùn)算能力界定為：對(duì)數(shù)字和運(yùn)算的總體理解，以靈活的方式應(yīng)用這種理解，做出數(shù)學(xué)判斷，為了解決問(wèn)題發(fā)展有價(jià)值的策略．在這個(gè)分支中，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)不同的表征數(shù)字的方式及數(shù)字之間的關(guān)系，發(fā)展對(duì)數(shù)字的理解；他們學(xué)習(xí)以不同的方式計(jì)數(shù)，發(fā)展對(duì)“大數(shù)”的認(rèn)識(shí)，發(fā)展對(duì)四則運(yùn)算的深刻理解，學(xué)習(xí)使用各種工具和策略流利地計(jì)算．發(fā)展良好的數(shù)字理解包含掌握“多與少的關(guān)系”，“部分與整體的關(guān)系”，特殊數(shù)字（例如5和10）所發(fā)揮的作用，數(shù)字和現(xiàn)實(shí)的量、環(huán)境中的測(cè)量之間的關(guān)系等[4]．根據(jù)兒童數(shù)學(xué)思維發(fā)展的特征、規(guī)律以及數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的編排，整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)感與運(yùn)算能力包含的核心思想也是發(fā)展變化的．1~3年級(jí)的核心思想包含：數(shù)量關(guān)系、計(jì)數(shù)、運(yùn)算意識(shí)；從四年級(jí)開(kāi)始，在此基礎(chǔ)上添加了比例關(guān)系；六年級(jí)不再包含計(jì)數(shù)．

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)小學(xué)各個(gè)年級(jí)的課程期望做了詳盡的闡述，為教材的編寫、教師的教學(xué)提供了具體的、有針對(duì)性的指導(dǎo)．課程期望分為總體期望和具體期望，總體期望以一般性、概括性的術(shù)語(yǔ)描述了期望學(xué)生在各學(xué)年結(jié)束時(shí)所具備的數(shù)感與運(yùn)算能力方面的知識(shí)與技能；具體期望則對(duì)各年級(jí)的核心思想進(jìn)行具體的闡述，更詳細(xì)地描述了預(yù)期的知識(shí)和技能．由于篇幅所限，表1僅列舉出各年級(jí)的總體期望，各年級(jí)的課程期望（包含總體期望與具體期望）見(jiàn)附錄．

2 對(duì)數(shù)感與運(yùn)算能力課程期望的評(píng)析

2.1 數(shù)量關(guān)系

關(guān)注兒童對(duì)數(shù)字的表征、比較和排序．

數(shù)量是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中事物量的抽象，數(shù)量的本質(zhì)是多與少[5]．理解數(shù)字所表征的數(shù)量是學(xué)生具有數(shù)感的重要表現(xiàn)．兒童在入學(xué)前就已經(jīng)了解現(xiàn)實(shí)生活中的量，他們知道量之間的大小關(guān)系、多少關(guān)系．理解數(shù)量是理解十進(jìn)位值制、運(yùn)算的意義和分?jǐn)?shù)的重要前提條件，是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的基礎(chǔ)．?dāng)?shù)量關(guān)系課程期望所體現(xiàn)出的最顯著特征是關(guān)注兒童對(duì)數(shù)字的表征、比較和排序，促進(jìn)兒童對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解．

第一，關(guān)注兒童對(duì)數(shù)字的表征．在支持學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)關(guān)系方面，表征是基本的元素．在小學(xué)低年級(jí)階段，《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生表征1?000以內(nèi)的整數(shù)，使用四則運(yùn)算的符號(hào)，分?jǐn)?shù)符號(hào)也被引入．到了四年級(jí)以后，知識(shí)擴(kuò)展到了1?000?000以內(nèi)的大數(shù)，以及新的符號(hào)（小數(shù)點(diǎn)、百分號(hào)、比）．同時(shí)要求使用各種工具（操作硬幣、數(shù)軸、互相連接的正方體等）表征整數(shù)，使用具體的材料（分?jǐn)?shù)條、分?jǐn)?shù)圓和10×10方格紙）、文字和標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)符號(hào)表征分?jǐn)?shù)和小數(shù)、百分?jǐn)?shù)．

第二，關(guān)注兒童對(duì)數(shù)字的比較和排序．在小學(xué)低年級(jí)尤其在一年級(jí)，學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系理解的證據(jù)是能根據(jù)大小及多少，對(duì)數(shù)量比較和排序，認(rèn)識(shí)到數(shù)字如何與其它數(shù)字相聯(lián)系．《課程標(biāo)準(zhǔn)》在一年級(jí)提出將數(shù)字5、10作為“錨”，將0~9的數(shù)字與5和10建立聯(lián)系．這是理解整十?dāng)?shù)、整百數(shù)的重要基礎(chǔ)；也能夠幫助學(xué)生更好地理解數(shù)字的組合與分解．當(dāng)兒童能夠分解和組合數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算，他們能夠看到數(shù)字間的聯(lián)系，兒童認(rèn)識(shí)和使用數(shù)字模式的技能得到提高[6]．而對(duì)數(shù)字模式的意識(shí)是兒童早期數(shù)感發(fā)展的關(guān)鍵因素[7]．具備數(shù)字模式直觀把握的學(xué)生很容易從已知的組合中得出未知數(shù)字的答案，這種能力反過(guò)來(lái)幫助學(xué)生掌握數(shù)字的組合與分解．對(duì)四~六年級(jí)的學(xué)生而言，將數(shù)字與基準(zhǔn)數(shù)字相聯(lián)系是對(duì)數(shù)字比較和排序有價(jià)值的策略．《課程標(biāo)準(zhǔn)》四年級(jí)要求將0、、1作為基準(zhǔn)數(shù)字，比較分?jǐn)?shù)的大小．六年級(jí)要求將10%，25%，50%，75%，100%作為基準(zhǔn)數(shù)字，估計(jì)數(shù)量．

表1 數(shù)感與運(yùn)算能力的總體期望

2.2 計(jì) 數(shù)

重視培養(yǎng)兒童靈活的計(jì)數(shù)策略．

計(jì)數(shù)是發(fā)展低年級(jí)學(xué)生數(shù)感的重要途徑和策略．學(xué)生在小學(xué)低年級(jí)階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念與計(jì)數(shù)有密切聯(lián)系．通過(guò)真實(shí)的計(jì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生發(fā)展基本的概念和策略，幫助他們理解和描述數(shù)字，發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間的關(guān)系和模式（例如數(shù)字0~9之間的關(guān)系，10~19之間的關(guān)系）．計(jì)數(shù)技能是學(xué)習(xí)十進(jìn)制概念的基礎(chǔ)．當(dāng)兒童開(kāi)始計(jì)數(shù)比9大的數(shù)字時(shí)，他們的十進(jìn)位值制的概念得到發(fā)展．當(dāng)?shù)湍昙?jí)兒童確定運(yùn)算問(wèn)題的答案時(shí)，計(jì)數(shù)是他們最先采用的策略．兒童計(jì)數(shù)策略的多樣性和精確性是衡量低年級(jí)階段兒童數(shù)感發(fā)展水平的重要指標(biāo)[8]．低年級(jí)學(xué)生在計(jì)數(shù)上存在的缺陷與他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難密切相關(guān)，也是影響后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就的重要因素[9]．

《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生靈活的計(jì)數(shù)策略：一一對(duì)應(yīng)是低年級(jí)兒童計(jì)數(shù)的一個(gè)重要原則[10]．《課程標(biāo)準(zhǔn)》在一年級(jí)要求學(xué)生使用具體材料說(shuō)明數(shù)字和計(jì)數(shù)對(duì)象之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；將向前數(shù)和向后數(shù)相結(jié)合，滲透加法和減法的意識(shí)；同時(shí)擴(kuò)展學(xué)生的計(jì)數(shù)模式：除了從1開(kāi)始，一個(gè)一個(gè)地計(jì)數(shù)外，要求學(xué)生借助各種工具和策略逐漸掌握每2個(gè)、5個(gè)、10個(gè)一組，以任一數(shù)字作為起點(diǎn)進(jìn)行計(jì)數(shù)．隨著兒童逐漸獲得更加復(fù)雜的計(jì)數(shù)技能，計(jì)數(shù)的對(duì)象也從整數(shù)擴(kuò)展到了小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)．《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求一~三年級(jí)涉及到整數(shù)的計(jì)數(shù)；四、五年級(jí)涉及到分?jǐn)?shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù)；六年級(jí)對(duì)計(jì)數(shù)不做要求．

2.3 運(yùn)算意識(shí)

注重理解加減乘除運(yùn)算的性質(zhì)以及運(yùn)算間的關(guān)系．

運(yùn)算意識(shí)幫助學(xué)生理解加減乘除運(yùn)算的意義，在問(wèn)題解決情境中有意義地運(yùn)用這些運(yùn)算．《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)在理解加減乘除運(yùn)算的性質(zhì)以及運(yùn)算間的關(guān)系的基礎(chǔ)上發(fā)展兒童的運(yùn)算意識(shí)．與加、減法相關(guān)的運(yùn)算意識(shí)發(fā)展是一~三年級(jí)關(guān)注的焦點(diǎn)，低年級(jí)學(xué)生通過(guò)計(jì)數(shù)、對(duì)數(shù)字的組合與分解的策略理解加、減法的含義．《課程標(biāo)準(zhǔn)》也在二年級(jí)要求學(xué)生探索乘法和除法的概念：乘法被看作是重復(fù)的加法；除法被看作是對(duì)數(shù)量的等分．與乘、除法相關(guān)的運(yùn)算意識(shí)發(fā)展是四~六年級(jí)關(guān)注的焦點(diǎn)．理解運(yùn)算的性質(zhì)會(huì)幫助學(xué)生發(fā)展靈活的、有效的心算策略．而學(xué)生能夠靈活地使用各種運(yùn)算策略，表明他們具備較強(qiáng)的運(yùn)算意識(shí)．《課程標(biāo)準(zhǔn)》在各年級(jí)均要求學(xué)生使用各種心算策略解決運(yùn)算問(wèn)題；鼓勵(lì)學(xué)生使用學(xué)生設(shè)計(jì)、生成的算法和標(biāo)準(zhǔn)的算法，這有助于學(xué)生獲得對(duì)運(yùn)算的概念性理解．學(xué)生理解運(yùn)算間的關(guān)系能提高他們的運(yùn)算技能．學(xué)生在最初學(xué)習(xí)減法時(shí)，經(jīng)常使用加、減法互為逆運(yùn)算解決問(wèn)題．在除法運(yùn)算中也經(jīng)常運(yùn)用乘除法之間的逆運(yùn)算關(guān)系解題．此外，《課程標(biāo)準(zhǔn)》將估算作為運(yùn)算策略的一種，重視估算在發(fā)展各年級(jí)學(xué)生數(shù)感中所發(fā)揮的重要作用，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在解決運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，使用估算獲得問(wèn)題的近似解，判斷答案的合理性．

2.4 比例關(guān)系

強(qiáng)調(diào)使用整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)表征數(shù)量之間的乘法關(guān)系．

《課程標(biāo)準(zhǔn)》從四年級(jí)開(kāi)始，增加比例關(guān)系為數(shù)感的組成元素．比例涉及到兩個(gè)或更多相等的比．能理解比例關(guān)系，并根據(jù)比例關(guān)系進(jìn)行推理是兒童數(shù)學(xué)思維的重大進(jìn)展．比例關(guān)系是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的頂點(diǎn)，為理解其它重要數(shù)學(xué)概念提供必要的基礎(chǔ)和前提．例如：等值分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)．“等值分?jǐn)?shù)建立在兩個(gè)量具有確定比例關(guān)系的基礎(chǔ)上．”[11]理解比例關(guān)系會(huì)幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)之間的轉(zhuǎn)換．另一方面，比例推理是中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的基礎(chǔ)[12]．也是科學(xué)、地理等其它學(xué)科的基礎(chǔ)，在日常生活中有廣泛的應(yīng)用．

比例關(guān)系涉及到認(rèn)識(shí)兩個(gè)比之間的乘法關(guān)系．思考兩個(gè)比之間的乘法關(guān)系是比例關(guān)系的基礎(chǔ)．兒童在低年級(jí)就學(xué)習(xí)了兩個(gè)量之間加法關(guān)系的比較（我有5個(gè)桔子，你有7個(gè)桔子，你比我多2個(gè)桔子）．兒童在最初接觸比例關(guān)系時(shí)，可能進(jìn)行兩個(gè)量間的加法關(guān)系的比較．（例如認(rèn)為1∶3=3∶5，因?yàn)槊總€(gè)比的兩個(gè)數(shù)字的差都是2）因此，在乘法的情境中能區(qū)分乘法與加法被看作是比例推理的重要元素[13]．《課程標(biāo)準(zhǔn)》四年級(jí)要求使用整數(shù)描述兩個(gè)量間的乘法關(guān)系，即用整數(shù)表示兩個(gè)數(shù)量的比．五年級(jí)要求使用分?jǐn)?shù)和小數(shù)描述兩個(gè)量間的乘法關(guān)系，即用分?jǐn)?shù)、小數(shù)表示兩個(gè)數(shù)量的比．

3 對(duì)中國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教育的啟示

3.1 重視低年級(jí)兒童數(shù)感的發(fā)展

“數(shù)感發(fā)展的關(guān)鍵期是小學(xué)低年級(jí)．?dāng)?shù)感教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)在第一學(xué)段．”[14]計(jì)數(shù)是兒童學(xué)習(xí)用數(shù)表示多少的第一步．計(jì)數(shù)降低了算術(shù)問(wèn)題的難度，使它們能被兒童所接受．縱觀中國(guó)的小學(xué)低年級(jí)數(shù)學(xué)教材，對(duì)計(jì)數(shù)的關(guān)注不多．“人教版”和“蘇教版”一年級(jí)教材中的“數(shù)一數(shù)”并沒(méi)有呈現(xiàn)多種計(jì)數(shù)模式和策略．只有“北師版”一年級(jí)教材中呈現(xiàn)靈活多樣的計(jì)數(shù)策略：一個(gè)一個(gè)計(jì)數(shù)、兩個(gè)兩個(gè)計(jì)數(shù)、五個(gè)五個(gè)計(jì)數(shù)、十個(gè)十個(gè)計(jì)數(shù)，正向計(jì)數(shù)和反向計(jì)數(shù)相結(jié)合．因此建議在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中適當(dāng)增加計(jì)數(shù)的內(nèi)容，擴(kuò)展學(xué)生的計(jì)數(shù)模式，呈現(xiàn)靈活多樣的計(jì)數(shù)策略，滲透加法和減法的意識(shí)，幫助學(xué)生理解數(shù)的本質(zhì)和運(yùn)算的意義．另一方面，教育工作者目前關(guān)注的重點(diǎn)是在學(xué)校數(shù)學(xué)或課堂教學(xué)中對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，而較少關(guān)注利用學(xué)生日常生活中的非正式經(jīng)驗(yàn)發(fā)展兒童的數(shù)感．有研究表明：“兒童的數(shù)感很大程度上是在日常生活中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)交流中獲得的．”[15]因此需要將低年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)與日常生活的經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，為學(xué)生提供計(jì)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)和機(jī)會(huì)．“讓學(xué)生學(xué)會(huì)用自己的語(yǔ)言解釋教學(xué)，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題．”[16]例如：借助兒歌，故事，強(qiáng)調(diào)計(jì)數(shù)數(shù)字的順序，既包含向前數(shù)又包含向后數(shù)．在爬樓梯的同時(shí)計(jì)數(shù)，建立計(jì)數(shù)的數(shù)字和步伐之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；為學(xué)生創(chuàng)造參加游戲的機(jī)會(huì)，滲透計(jì)數(shù)策略，等等．

3.2 重視學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解

“數(shù)感也是一種運(yùn)用數(shù)字和運(yùn)算法則進(jìn)行靈活運(yùn)算的能力，數(shù)字與計(jì)算之間的聯(lián)系對(duì)學(xué)生形成數(shù)感具有重大的影響．”[17]對(duì)運(yùn)算的理解，對(duì)運(yùn)算知識(shí)、運(yùn)算性質(zhì)的把握與熟悉不僅是數(shù)感的重要組成部分，也是形成數(shù)感的基礎(chǔ)[18]．而數(shù)感的發(fā)展又會(huì)促進(jìn)運(yùn)算能力的提升[19]．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)數(shù)感的表述側(cè)重于對(duì)數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系的意識(shí)、理解、領(lǐng)悟，對(duì)運(yùn)算則僅僅強(qiáng)調(diào)感悟?qū)\(yùn)算結(jié)果的估計(jì)[20]．另一個(gè)核心概念運(yùn)算能力關(guān)注的是根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力[20]．綜上可見(jiàn)對(duì)運(yùn)算的理解關(guān)注不足．

在實(shí)際教學(xué)中，發(fā)展兒童對(duì)運(yùn)算的概念性理解并沒(méi)有受到普遍的關(guān)注．教材將運(yùn)算的算法作為一系列的步驟、程序呈現(xiàn)給學(xué)生，而很少關(guān)注運(yùn)算間的關(guān)系，很少關(guān)注兒童對(duì)運(yùn)算基礎(chǔ)概念的理解．例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在三年級(jí)上冊(cè)講授“有余數(shù)的除法”，教材首先關(guān)注的是標(biāo)準(zhǔn)的除法算式，整章的內(nèi)容并沒(méi)有將除法與乘法及減法相聯(lián)系[21]．僅僅依靠記憶運(yùn)算步驟的學(xué)生很少能使用數(shù)學(xué)推理解決問(wèn)題．事實(shí)上，花費(fèi)在促進(jìn)運(yùn)算的概念性理解上的時(shí)間并不會(huì)妨礙，甚至?xí)岣哌\(yùn)算的有效性．可以從如下方面提高學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解：第一，理解運(yùn)算間的關(guān)系．認(rèn)識(shí)到加減乘除運(yùn)算之間的相互聯(lián)系能夠幫助學(xué)生提高運(yùn)算意識(shí)，促進(jìn)對(duì)運(yùn)算的深入理解，發(fā)展靈活的解題策略．在學(xué)生學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)算法之前，他們應(yīng)該有機(jī)會(huì)探索和發(fā)展各種策略和算法．當(dāng)學(xué)生使用自己的策略解決問(wèn)題時(shí)，他們發(fā)展對(duì)運(yùn)算情境性的、概念性、程序性的理解．這幫助學(xué)生理解標(biāo)準(zhǔn)算法中程序、步驟的意義．第二，理解運(yùn)算的性質(zhì)．這會(huì)幫助學(xué)生發(fā)展靈活的、有效的心算策略．運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)該在問(wèn)題解決的情境中引入和強(qiáng)調(diào)，不應(yīng)該作為記憶的規(guī)則而被孤立地講授．教師可以使用模型（具體的材料或圖表、數(shù)軸）幫助學(xué)生將運(yùn)算的性質(zhì)可視化．例如可以將乘法分配率例如用圖1所示的方格表征．

圖1 乘法分配率的表征

3.3 進(jìn)一步完善中國(guó)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)感

數(shù)感在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》以及《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中均作為核心概念被提出，由此可見(jiàn)數(shù)感是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的核心和聚焦點(diǎn)，是最應(yīng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的重要方面．為了幫助教師將學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)落實(shí)在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，那么對(duì)學(xué)生數(shù)感的發(fā)展與特征進(jìn)行深入的研究，有清晰明確的認(rèn)識(shí)是必要的前提條件．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》并沒(méi)有界定數(shù)感的內(nèi)涵，而是采用外延描述的方式，認(rèn)為數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)方面的感悟[20]．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀》也從這3方面對(duì)數(shù)感進(jìn)行了比較詳盡的闡述．但是并沒(méi)有分學(xué)段和年級(jí)，只是較為籠統(tǒng)地闡述了小學(xué)階段這3方面的發(fā)展的特征、規(guī)律[22]．?dāng)?shù)感有一個(gè)后天的發(fā)展過(guò)程[23]．?dāng)?shù)感作為一種特殊的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，必然具有其自身發(fā)展的年齡特點(diǎn)，規(guī)律．有必要對(duì)數(shù)感進(jìn)行進(jìn)一步的深入的研究，尤其是進(jìn)行量化的實(shí)證性的研究，分析探討小學(xué)各年級(jí)或各學(xué)段的學(xué)生在數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)3個(gè)方面發(fā)展的規(guī)律、特征，各年級(jí)或?qū)W段間在這3個(gè)方面是否存在顯著性差異，是否存在發(fā)展的階段性，是否存在性別差異等．根據(jù)各年級(jí)或各學(xué)段學(xué)生數(shù)感學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，提出有針對(duì)性的教學(xué)策略，為教師的教學(xué)提供有價(jià)值的借鑒和參考．

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[21] 課程教材研究所小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心．義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材數(shù)學(xué)（三年級(jí)上冊(cè)）[M]．北京：人民教育出版社，2009．

[22] 教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì)．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

[23] 鄭毓信．《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》的“另類解讀”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（1）：1-7．

附錄：數(shù)感與運(yùn)算能力的課程期望

年級(jí)數(shù)感與運(yùn)算能力的課程期望 總體期望具體期望 一1、能夠閱讀、表征、比較和排序50以內(nèi)的整數(shù)，使用具體的材料調(diào)查、探究分?jǐn)?shù)和貨幣的總和；2、演示、說(shuō)明對(duì)“大數(shù)”的理解，通過(guò)向前數(shù)到100和從20向后數(shù)；3、使用各種策略解決涉及一位數(shù)加減法的問(wèn)題．?dāng)?shù)量關(guān)系：1、使用各種工具（互相連接的正方體、數(shù)軸、百數(shù)正方形等等）和情境表征、比較和排序50以內(nèi)的整數(shù)；2、使用豐富的情境（故事書和動(dòng)畫）閱讀和打印10以內(nèi)整數(shù)的文字表示形式；3、使用具體的材料演示和說(shuō)明數(shù)量守恒的概念（5個(gè)蘋果表征數(shù)字5，不管它們之間距離的遠(yuǎn)近）；4、將數(shù)字與“錨”5和10聯(lián)系起來(lái)（7比5多2，比10少3）；5、識(shí)別和描述各種硬幣（一分、五分、十分、二十五分、一元、二元）使用硬幣操作和圖畫，說(shuō)明它們的面值；6、通過(guò)使用硬幣操作的調(diào)查、探究，表征總額20分以內(nèi)的貨幣；7、估計(jì)集合中物體的總數(shù)，通過(guò)計(jì)數(shù)檢查；8、使用各種材料，以多種方式對(duì)20以內(nèi)的整數(shù)分解和組合；9、將整個(gè)物體分成部分，識(shí)別和描述大小相等的部分，使用分?jǐn)?shù)的名稱（二分之一、四分之一）． 計(jì)數(shù)：1、在計(jì)數(shù)時(shí)，使用具體材料演示說(shuō)明數(shù)字和物體之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；2、每1個(gè)、2個(gè)、5個(gè)、10個(gè)一組地向前計(jì)數(shù)到100，使用各種工具和策略；3、從20及20以內(nèi)的任何數(shù)字開(kāi)始，以1為間隔向后計(jì)數(shù)，使用或者不使用具體的材料和數(shù)軸；4、使用各種工具，從20開(kāi)始，每2個(gè)、5個(gè)一組向后計(jì)數(shù)；5、在豐富情境中使用序數(shù)詞31． 運(yùn)算意識(shí)：1、解決涉及到20以內(nèi)的整數(shù)加減法的多種問(wèn)題，使用具體的材料和圖畫；2、使用各種心算策略解決涉及到一位數(shù)加減法的問(wèn)題；3、使用硬幣操作和圖畫，加減總額10分以內(nèi)的貨幣． 二1、能夠閱讀、表征、比較和排序100以內(nèi)的整數(shù)，使用具體的材料表征分?jǐn)?shù)和總額在100分以內(nèi)的貨幣；2、演示、說(shuō)明對(duì)“大數(shù)”的理解，通過(guò)向前數(shù)到200和從50向后數(shù)，以各種數(shù)字作為起點(diǎn)；3、解決涉及到一位數(shù)、兩位數(shù)加減法的問(wèn)題，使用各種策略調(diào)查、探究乘法和除法．?dāng)?shù)量關(guān)系：1、使用各種工具表征、比較和排序100以內(nèi)的整數(shù)，包含總額在100分以內(nèi)的貨幣；2、使用豐富的情境（故事書和動(dòng)畫）閱讀和打印20以內(nèi)整數(shù)的文字表示形式；3、使用具體的材料、以各種方式分解和組合兩位數(shù)；4、對(duì)給定的兩位數(shù)，確定（可以使用具體的材料）與其最接近的整十?dāng)?shù)（例如47距離50比距離40更近）；5、使用具體的材料探究整體的分?jǐn)?shù)部分的數(shù)量與分?jǐn)?shù)部分大小的關(guān)系（一張紙被平均分為4份，每份面積要大于將這張紙平均分為八份的每份的面積．）5、使用具體的材料將分?jǐn)?shù)重新分組為整數(shù)和分?jǐn)?shù)（將9/4分解為2和1/4）；6、不使用標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)符號(hào)，使用具體的材料比較分?jǐn)?shù)的大?。ㄍㄟ^(guò)折紙闡述3/4大于一半，但是小于整體）；7、估計(jì)、計(jì)數(shù)、表征（使用“￠”符號(hào)）一堆硬幣的總額，硬幣的最大面值是一元． 計(jì)數(shù)：1、使用數(shù)軸和百數(shù)正方形，每1個(gè)、2個(gè)、5個(gè)、10個(gè)、25一組地向前計(jì)數(shù)到200，計(jì)數(shù)的起點(diǎn)是所間隔數(shù)字的整數(shù)倍（以15為起點(diǎn)，每5個(gè)一組地計(jì)數(shù)）；2、使用數(shù)軸和百數(shù)正方形，從50或小于50的任一數(shù)字開(kāi)始，以 1為間隔向后計(jì)數(shù)，從100和小于100的任一數(shù)字開(kāi)始，每10個(gè)一組向后計(jì)數(shù)；3、對(duì)100以內(nèi)的整數(shù)，能在數(shù)軸上確定其位置，或者在部分?jǐn)?shù)軸上確定其位置．（在34為起點(diǎn)，41為終點(diǎn)的數(shù)軸上確定37的位置）． 運(yùn)算意識(shí)：1、使用各種心算策略，解決涉及到18以內(nèi)整數(shù)加減法的問(wèn)題；2、通過(guò)使用整數(shù)加減法，描述數(shù)量之間的關(guān)系；3、通過(guò)使用具體的材料和圖畫探究，表征和解釋乘法作為相同數(shù)量的組的結(jié)合；4、通過(guò)使用具體的材料和圖畫探究，表征和解釋除法作為對(duì)數(shù)量的等分；5、解決涉及兩位數(shù)加減法的問(wèn)題，使用或不使用如下的策略：重新分組，具體的材料，學(xué)生生成的算法，標(biāo)準(zhǔn)的算法；6、使用各種策略和工具，對(duì)總額在100分以內(nèi)的硬幣進(jìn)行加減． 三1、能夠閱讀、表征、比較和排序1?000以內(nèi)的整數(shù)，使用具體的材料表征分?jǐn)?shù)和總額在10元以內(nèi)的貨幣；2、演示、說(shuō)明對(duì)“大數(shù)”的理解，通過(guò)以多種數(shù)字為間隔地向前數(shù)和向后數(shù)，以各種數(shù)字作為起點(diǎn)；3、解決涉及到一位數(shù)、多位數(shù)之間的加減法問(wèn)題，使用各種策略闡述對(duì)乘法和除法的理解．?dāng)?shù)量關(guān)系：1、使用各種工具表征、比較和排序1?000以內(nèi)的整數(shù)．2、使用豐富的情境（故事書和動(dòng)畫）閱讀和打印100以內(nèi)整數(shù)的文字表示形式；3、識(shí)別和表征數(shù)中得到一個(gè)數(shù)字的值，根據(jù)其所在的位置（324中的數(shù)字3表征300）；4、用各種方式，將三位數(shù)分解和組合為百、十、個(gè)；5、將兩位數(shù)四舍五入到與其最接近的整十?dāng)?shù)，在來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活情境的問(wèn)題中；6、使用具體的材料表征和解釋數(shù)字1，10，100，1?000之間的關(guān)系；7、將整個(gè)物體或集合中的物體分成相等的部分，使用分?jǐn)?shù)的名稱；不使用標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)符號(hào)中的數(shù)字；8、表征和描述10元以內(nèi)的硬幣和紙幣之間的關(guān)系（在兩元硬幣中包含八個(gè)二十五分）；9、估計(jì)、計(jì)數(shù)和表征（使用“$”的符號(hào)）最大面值在10元以內(nèi)的、一堆硬幣和紙幣的面值的和；10、解決來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活情境中的、與1?000以內(nèi)的整數(shù)相關(guān)的問(wèn)題． 計(jì)數(shù)：1、從各種起點(diǎn)，每1個(gè)、2個(gè)、5個(gè)、10個(gè)、100一組地向前計(jì)數(shù)到1000，每25個(gè)一組計(jì)數(shù)到1?000時(shí)，起點(diǎn)為25的整數(shù)倍，使用各種工具和策略；2、從100開(kāi)始，將2、5、10的整數(shù)倍作為計(jì)數(shù)的起點(diǎn)，每2個(gè)、5個(gè)、10個(gè)一組地向后數(shù)，從1?000或小于1?000的數(shù)字開(kāi)始，每100個(gè)一組地向后數(shù)，使用各種工具． 運(yùn)算意識(shí)：1、使用各種心算策略，解決涉及到兩位數(shù)加減法的問(wèn)題；2、使用具體的材料、學(xué)生生成的算法、標(biāo)準(zhǔn)的算法進(jìn)行三位數(shù)加減法的運(yùn)算；3、當(dāng)解決涉及到加減法問(wèn)題時(shí)，使用估算，幫助判斷解法的合理性；4、對(duì)于十元以內(nèi)的貨幣，使用各種工具加減金額，做出模仿的購(gòu)買和找零；5、將一位數(shù)的乘法、整數(shù)被一位數(shù)除與現(xiàn)實(shí)生活的情境聯(lián)系起來(lái)，使用各種策略和工具；6、使用各種心理策略，掌握7×7以內(nèi)的乘法和49?7的除法． 四1、能夠閱讀、表征、比較和排序10?000以內(nèi)的整數(shù)、十分位的小數(shù)、簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)、總額在100元以內(nèi)的貨幣；2、闡述對(duì)“大數(shù)”的理解，通過(guò)向前數(shù)和向后數(shù)，以0.1和分?jǐn)?shù)為單位；3、解決涉及一位整數(shù)和多位整數(shù)的四則運(yùn)算問(wèn)題，涉及到十分位小數(shù)的加減法問(wèn)題，使用各種策略；4、說(shuō)明和演示對(duì)于比例推理的理解，通過(guò)探究整數(shù)的單位比例．?dāng)?shù)量關(guān)系：1、表征、標(biāo)記和排序10?000以內(nèi)的整數(shù)，使用各種工具；2、對(duì)于從0.1到10?000的小數(shù)和整數(shù)，闡述對(duì)位置值的理解，使用各種工具和策略；3、使用豐富的情境（故事書和動(dòng)畫）閱讀和打印1?000以內(nèi)整數(shù)的文字表示形式；4、將四位數(shù)四舍五入到與其最接近的十位、百位、千位，在來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活情境的問(wèn)題中；5、表征、比較、排序十分位的小數(shù)，使用各種工具；6、使用具體的材料、文字和標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)符號(hào)表征分?jǐn)?shù)，解釋分母與分子的含義；7、對(duì)分子相同或分母相同的分?jǐn)?shù)比較和排序；8、將分?jǐn)?shù)與基準(zhǔn)數(shù)字0、1/2、1比較大?。?、闡述和解釋等值分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，使用具體的材料；9、閱讀和表征100元以內(nèi)的加拿大貨幣；10、解決來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活情境中的、與10?000以內(nèi)的整數(shù)相關(guān)的問(wèn)題． 計(jì)數(shù)：1、使用具體的材料和數(shù)軸，以1/2、1/3、1/4、1/10為單位向前數(shù)，超過(guò)1；2、使用具體的材料和數(shù)軸，以十分位的任一小數(shù)為起點(diǎn)，以1/10為單位向后數(shù)． 運(yùn)算意識(shí)：1、使用各種心算策略，解決兩位數(shù)的加減法；2、解決涉及四位數(shù)加減法問(wèn)題，使用學(xué)生生成的算法和標(biāo)準(zhǔn)的算法；3、十分位小數(shù)的加減法，使用具體的材料、學(xué)生生成的算法；4、對(duì)于一百元以內(nèi)的貨幣，使用各種工具加減金額，做出模仿的購(gòu)買和找零；5、使用各種心算策略，計(jì)算9×9以內(nèi)的乘法和81?9的除法；6、使用各種心算策略，解決涉及到的一位數(shù)的乘法問(wèn)題；7、使用心算策略，計(jì)算整數(shù)乘以10、100、1?000，整數(shù)被10、100除；8、計(jì)算兩位數(shù)乘以一位數(shù)，使用各種工具、學(xué)生生成的算法、標(biāo)準(zhǔn)的算法；9、計(jì)算兩位數(shù)除以一位數(shù)；10、當(dāng)解決涉及到整數(shù)的加減乘法運(yùn)算時(shí)，使用估算，判斷答案的合理性． 比例關(guān)系：1、描述涉及到的簡(jiǎn)單的整數(shù)乘法關(guān)系；2、通過(guò)探究、確定和解釋分?jǐn)?shù)與十分位小數(shù)之間的關(guān)系，使用各種工具和策略；3、闡述對(duì)涉及到的單位比例的、簡(jiǎn)單乘法關(guān)系的理解，使用具體的材料和圖畫． 五1、能夠閱讀、表征、比較和排序100?000以內(nèi)的整數(shù)、百分位的小數(shù)、真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)；2、闡述對(duì)“大數(shù)”的理解，通過(guò)向前數(shù)和向后數(shù)，以0.01為單位；3、解決涉及多位整數(shù)的乘法和除法問(wèn)題，百分位小數(shù)的加減法問(wèn)題，使用一系列的策略；4、闡述對(duì)比例推理的理解，通過(guò)探究整數(shù)的比率．?dāng)?shù)量關(guān)系：1、表征、比較和排序從0.01到100?000的小數(shù)和整數(shù)；2、對(duì)于從0.01到100?000的小數(shù)和整數(shù)，闡述對(duì)位置值的理解，使用各種工具和策略；3、使用豐富的情境（故事書和動(dòng)畫）閱讀和打印10?000以內(nèi)整數(shù)的文字表示形式；4、將小數(shù)四舍五入到十分位，在來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活情境的問(wèn)題中；5、對(duì)于同分母分?jǐn)?shù)表征、比較和排序、使用一系列工具、使用標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)符號(hào)；6、闡述和解釋等值分?jǐn)?shù)的概念，使用具體的材料；7、闡述和解釋小數(shù)的等價(jià)表示，使用具體的材料和圖畫；8、、閱讀和表征1?000元以內(nèi)的加拿大貨幣；9、解決來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活情境中的、與100?000以內(nèi)的整數(shù)相關(guān)的問(wèn)題． 計(jì)數(shù)：以任一小數(shù)為起點(diǎn)，以0.01為單位向前數(shù)，使用具體的材料和數(shù)軸． 運(yùn)算意識(shí)：1、使用心算策略，解決涉及的整數(shù)的加減乘除問(wèn)題；2、百分位小數(shù)的加減法，包含金錢總數(shù)，使用具體的材料，估算，和算法；3、兩位數(shù)乘以兩位數(shù)，使用估算，學(xué)生生成的算法和標(biāo)準(zhǔn)算法；4、三位數(shù)除以一位數(shù)，使用估算，學(xué)生生成的算法和標(biāo)準(zhǔn)算法；5、小數(shù)乘以10、100、1?000，小數(shù)除以10、100，使用心算策略；6、使用估算，當(dāng)解決設(shè)計(jì)整數(shù)的加減乘除運(yùn)算時(shí)，幫助判斷答案的合理性． 比例關(guān)系：1、描述數(shù)量之間的乘法關(guān)系，通過(guò)使用簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)和小數(shù)；2、通過(guò)使用具體材料、圖畫、計(jì)算器探究，確定和解釋分?jǐn)?shù)與它的等值小數(shù)形式；3、闡述對(duì)簡(jiǎn)單乘法關(guān)系的理解，涉及到整數(shù)比率，通過(guò)使用具體材料和圖畫進(jìn)行探究． 六1、能夠閱讀、表征、比較和排序1?000?000以內(nèi)的整數(shù)、千分位的小數(shù)、真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)；2、解決涉及整數(shù)乘除法的問(wèn)題，千分位小數(shù)的加減法問(wèn)題，使用一系列的策略；3、闡述對(duì)百分比，比和單位比率關(guān)系的理解．?dāng)?shù)量關(guān)系：1、表征、比較和排序從0.001到1?000?000的小數(shù)和整數(shù)；2、對(duì)于從0.001到1?000?000的小數(shù)和整數(shù)，闡述對(duì)位置值的理解，使用各種工具和策略；3、使用豐富的情境（故事書和動(dòng)畫）閱讀和打印100000以內(nèi)整數(shù)的文字表示形式；4、對(duì)于分母不同的分?jǐn)?shù)（包含真分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)）能夠表征、比較和排序，使用一系列的策略，使用標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)符號(hào)；5、以10%，25%，50%，75%，100%為基準(zhǔn)數(shù)字，估計(jì)數(shù)量的大?。?、解決來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活情境中的、與1?000?000以內(nèi)的整數(shù)相關(guān)的問(wèn)題；7、確定合數(shù)和質(zhì)數(shù)，解釋他們之間的關(guān)系． 運(yùn)算意識(shí)：1、使用各種心算策略解決整數(shù)的加減乘除問(wèn)題；2、解決涉及四位數(shù)與兩位數(shù)之間的乘除法，使用一系列的工具和策略；3、解決千分位小數(shù)的加減法，使用具體的材料、估算、算法和計(jì)算器；4、整數(shù)與十分位小數(shù)間的乘除法，使用具體的材料、估算、算法和計(jì)算器；5、整數(shù)乘以0.1、0.01、0.01，使用心算策略；6、小數(shù)乘以或除以10，100，1?000和10?000，使用心算策略；7、當(dāng)解決涉及整數(shù)、小數(shù)的加減法問(wèn)題時(shí)，使用估算，幫助判斷答案的合理性；8、解釋實(shí)施運(yùn)算標(biāo)準(zhǔn)順序的需要，探究進(jìn)行一系列運(yùn)算時(shí)，改變順序?qū)Y(jié)果的影響． 比例關(guān)系：1、表征現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)的比，使用具體的材料，圖畫和標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)符號(hào)；2、通過(guò)使用具體的材料、圖畫、計(jì)算器去探究，確定和解釋分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系；3、通過(guò)使用單位價(jià)格表征關(guān)系．

Review on Number Sense and Numeration in Canada Primary Mathematics Curriculum Standards——Taking Province of Ontario as an Example

ZHANG Wen-yu1, SONG Jun2

(1. College of Education and Physical Education, Bohai University, Liaoning Jinzhou 121013, China; 2. Crane Township Primary School, Liaoning Panjin 124000, China)

. In 2005, Ontario ministry of education publishedNumber sense and numeration are viewed as the foundation of other Strands. First, the big ideas of Number sense and numeration are introduced; then analyzes characteristics. These features Provide some references for research on curriculum and construction in primary mathematics

number sense and numeration; quantity relationships; counting; operational sense; proportional relationships

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

G40-059.3

A

1004–9894（2016）03–0038–06

2016–02–10

遼寧省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃項(xiàng)目——基于CBAM模式的初中數(shù)學(xué)課程改革實(shí)施研究（JG14CB010）；遼寧省社會(huì)科學(xué)規(guī)劃基金項(xiàng)目——遼寧省少數(shù)民族基礎(chǔ)教育現(xiàn)狀調(diào)查與對(duì)策研究（L12DMZ012）；遼寧省教育廳一般項(xiàng)目——基礎(chǔ)教育課程改革背景下的小學(xué)數(shù)學(xué)教材國(guó)際比較研究（W2013161）

張文宇（1980—），男，遼寧朝陽(yáng)人，副教授，教育學(xué)博士，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．