洪細苗

[摘 要] 以學(xué)生的探究活動為著準(zhǔn)點，提煉了“三角形的面積”這一課的關(guān)鍵性問題，并基于這些關(guān)鍵性問題進行教學(xué)設(shè)計，著重引導(dǎo)學(xué)生通過三角形的面積計算方法的推導(dǎo)去理解和掌握三角形的面積計算公式，并能運用三角形的面積計算公式計算相關(guān)圖形的面積，從而解決實際問題。

[關(guān)鍵詞]關(guān)鍵性問題；探究活動；三角形的面積

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）08-0031-02

【教學(xué)背景】

1.基于教材分析而產(chǎn)生的困惑

“三角形的面積”是人教版數(shù)學(xué)五年級上冊第六單元第二課時的教學(xué)內(nèi)容。本節(jié)課是在學(xué)生用數(shù)方格比較圖形的面積，認(rèn)識三角形的底和高，掌握長方形、正方形、平行四邊形的面積計算方法及推導(dǎo)平行四邊形面積公式的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的。同時，它與平行四邊形、梯形的面積聯(lián)系在一起，為學(xué)生以后學(xué)習(xí)組合圖形的面積和圓的面積計算公式做好鋪墊。本節(jié)課主要引導(dǎo)學(xué)生通過三角形面積計算方法的推導(dǎo)去理解和掌握三角形面積計算公式，并使學(xué)生能運用三角形的面積計算公式計算相關(guān)圖形的面積，從而解決實際問題。

對此，筆者有這樣的困惑：學(xué)生在學(xué)習(xí)長方形、正方形和平行四邊形的面積時，都沒有事先準(zhǔn)備兩個完全一樣的圖形的經(jīng)驗，為什么學(xué)習(xí)三角形的面積，事先要做這樣的準(zhǔn)備？這是學(xué)生自身學(xué)習(xí)的需要，還是教師教學(xué)的需要？這樣的教學(xué)是對學(xué)生真實學(xué)情的順應(yīng)，還是教材編排和教師設(shè)計意圖的強加？有沒有更好的方法來啟發(fā)學(xué)生主動構(gòu)想三角形的“另一半”呢？

2.基于困惑提煉關(guān)鍵性問題

基于上述困惑，筆者以學(xué)生的探究活動為著準(zhǔn)點，提煉了以下關(guān)鍵性問題。

問題1：如何基于方格圖，只用一個三角形來研究三角形面積的計算方法？

問題2：如何采用一個銳角三角形，通過三次不同的拼法，證明三角形面積計算公式的完備性？

為了解決這兩個關(guān)鍵性問題，筆者設(shè)計了如下的教學(xué)設(shè)計流程。

【教學(xué)設(shè)計】

1.復(fù)習(xí)引入

（1）說一說我們都學(xué)習(xí)了哪些圖形面積的公式？

（2）平行四邊形面積公式的推廣。

師：如果把這些圖形都看成是底和高，那么它們的面積可以怎么算？

（3）聯(lián)想：今天我們要學(xué)習(xí)三角形的面積，你能聯(lián)想到什么？

2.自主探究

（1）再次呈現(xiàn)長方形、正方形和平行四邊形，提問：你看到三角形的影子了嗎？

（2）計算：（把長方形、正方形和平行四邊形都分成兩個完全一樣的三角形，出示底和高）你會求三角形的面積嗎？現(xiàn)在你知道三角形的面積公式了嗎？

（3）猜想：請你猜一猜，三角形的面積可能怎么推導(dǎo)？

（4）公式推導(dǎo)：老師只給你準(zhǔn)備一個三角形，有什么辦法推導(dǎo)？

（5）自主探究：只選其中一個三角形進行研究，轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過的圖形，根據(jù)提示，同桌說說三角形的面積計算公式怎么推導(dǎo)。

（6）反饋評價：①為什么要除以2？②有沒有不一樣的推導(dǎo)方法？

（7）質(zhì)疑：如果換另外一條底和高，能不能推導(dǎo)出三角形的面積計算公式呢？

（8）提升：只能用一個三角形，能不能通過剪拼來轉(zhuǎn)化，從而推導(dǎo)出三角形的面積計算公式？

（9）結(jié)合學(xué)生匯報，通過幾何畫板讓學(xué)生感悟等積變形的推導(dǎo)方法。

（10）公式推廣：同學(xué)們，這么多種方法，你最容易想到什么辦法？下面這些圖形你能聯(lián)想到可以拼成什么圖形來推導(dǎo)嗎？在直角三角形、鈍角三角形中能不能適用呢？再讓學(xué)生運用公式計算面積。

3.練習(xí)提升

（1）拓展提升：如果要用5作為底來求三角形的面積，還缺少什么條件？請你猜測一下高大概是多少？

（2）再次感悟同一個三角形中不同的底×高除以2都能求出三角形的面積：老師告訴你，高是2.4，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（3）鞏固“等底等高的三角形面積相等”的理解：我們再來看這個三角形，（幾何畫板拉動三角形）現(xiàn)在什么變了，什么不變？你又有什么新的發(fā)現(xiàn)？

4.全課總結(jié)（略）

【課后反思】

結(jié)合關(guān)鍵性問題，筆者力求讓學(xué)生以長方形和平行四邊形的面積計算為基礎(chǔ)，以圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索，以未知轉(zhuǎn)化為已知的基本方法開展三角形面積計算方法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷“提出問題——大膽猜想——學(xué)習(xí)驗證——拓展延伸”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，從三個層次對兩個關(guān)鍵性問題進行破解。

第一層次：二度思維鋪墊。

鋪墊一：上過這節(jié)課的教師都會有這樣感覺：學(xué)生們在“從未知圖形到已知圖形轉(zhuǎn)化”的探究后，反饋交流時經(jīng)常會“寬”“高”不分，導(dǎo)致思路混亂、闡述不清，容易對結(jié)論的得出產(chǎn)生很大的干擾。而其實長方形、正方形都是一種特殊的平行四邊形，因此在課始我們先給學(xué)生第一層思維鋪墊，在這里把長方形的長、寬和正方形的邊長統(tǒng)一成平行四邊形的底和高。而且為了讓學(xué)生能更有效地反饋自己的轉(zhuǎn)化過程，筆者還在“實驗操作單”上給學(xué)生提供有利于他們匯報操作過程的模版（如下圖）。

鋪墊二：平行四邊形的面積推導(dǎo)是對三角形面積推導(dǎo)的一種負(fù)遷移。面對平行四邊形中的“割補”轉(zhuǎn)化的負(fù)遷移，筆者設(shè)計了“從長方形、正方形和平行四邊形的身上找到三角形的影子”這一探究活動，讓學(xué)生們從平行四邊形中找到三角形，建立平行四邊形與三角形的聯(lián)系?；谶@一活動實現(xiàn)從平行四邊形到三角形的轉(zhuǎn)化，同時也避免了“等積”轉(zhuǎn)化這一思維定式，為接下來的三角形面積計算公式推導(dǎo)中的“倍增”轉(zhuǎn)化設(shè)下思維鋪墊。

也就是說，通過這一系列的思維鋪墊，在破解關(guān)鍵性問題1“如何基于方格圖，只用一個三角形來研究面積的計算方法”時，我們是成功了一小步，讓全班大多數(shù)學(xué)生都能有效地進行探究，包括在思維上比較弱勢，比較后進的那小部分學(xué)生，也能有效地參與到課堂探究中，不再只做課堂的旁觀者。

第二層次：公式推導(dǎo)的深入挖掘。

“三角形面積計算公式”自主探究中最難的一個環(huán)節(jié)，就是用“割補”的方法運用“等積”轉(zhuǎn)化來推導(dǎo)三角形的面積計算公式。我們在課堂實踐中大約10位學(xué)生挑戰(zhàn)了這種轉(zhuǎn)化方法，我們就主要通過以下兩點預(yù)設(shè)讓這些學(xué)生能成功地突破本堂課的學(xué)習(xí)難點。

（1）為學(xué)生提供了格子圖，降低了“割補”的難度。

（2）通過前面的鋪墊，學(xué)生已經(jīng)明確三角形的面積計算公式為S=ah÷2，這一面積計算公式為學(xué)生的思考提供了方向。

第二層次的“挖”，不僅突破了本堂課的學(xué)習(xí)難點，同時也增強了學(xué)生的探究興趣，提高學(xué)生的推理能力，促進學(xué)生對問題深層思考，形成良好的思維習(xí)慣。有了這樣的思維習(xí)慣，我們就能在以后的學(xué)習(xí)道路上“邂逅”智慧。

當(dāng)然，為了讓這種探究活動不再是個別學(xué)生的“獨角戲”，筆者還用幾何畫板將這一過程清晰地展示在學(xué)生面前。在剛才的課堂中可以聽到很多學(xué)生在看到這一演示過程時，都發(fā)出了驚嘆聲。這一聲聲驚嘆，不就是一種“頓悟”的證明嗎？！

第三層次： 公式完備性證明。

只用一個銳角三角形就得出三角形面積計算公式，顯然有以點概面之嫌。如何從銳角三角形這個“點”出發(fā)，到所有的三角形這個“面”，從而證明三角形面積計算公式的完備性？通過以下兩個方面此問題可以得以解決。

在探究的第一層次中，也就是通過找完全相同的三角形來實現(xiàn)從三角形到平行四邊形的“倍增”轉(zhuǎn)化中，我們不停留在一組底和高，而是讓學(xué)生感知不同的三組底和高都能得出三角形面積計算的公式，從而第一次證明了三角形面積計算公式的完備性。而第二次就是在練習(xí)中實現(xiàn)從銳角三角形到鈍角三角形再到直角三角形。練習(xí)中，第一個計算銳角三角形的面積是對S=ah÷2的一種鞏固練習(xí)，而在第二次計算鈍角三角形的面積時，筆者借助課件給學(xué)生演示了轉(zhuǎn)化成平行四邊形的過程，正是從銳角三角形到鈍角三角形的一種推廣，一種從點到面的過程，而直角三角形中除了這相同的推廣外，還設(shè)計一組底和高來求面積，而另一組只知“底”不知“高”。而這求高的過程，正是一種提升。從鞏固到推廣再到提升，學(xué)生與美麗的智慧正“邂逅”于此。

（責(zé)編 黃春香）