高中數(shù)列求和的有效方法初探

董興勇

【摘要】 數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).生活中具有較大的應(yīng)用價(jià)值.數(shù)列求和是數(shù)列的重要組成部分.通過(guò)對(duì)數(shù)列求和知識(shí)的學(xué)習(xí)，不但可以提高學(xué)生的分析、歸納能力和邏輯推理能力，還能很好地鍛煉發(fā)散性思維.

【關(guān)鍵詞】 高中；數(shù)列；求和；有效方法

數(shù)列求和在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位.除了等差數(shù)列和等比數(shù)列可以直接用公式求和外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用.教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握方法，形成規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，從而掌握通性通法，構(gòu)建知識(shí)框架，提高學(xué)習(xí)能力.學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)列知識(shí)的探究和歸納理解其中蘊(yùn)含的思想和方法，更好地應(yīng)用函數(shù)思想、方程思想，并且靈活地理解基本概念和公式，在應(yīng)用中能夠達(dá)到得心應(yīng)手、舉一反三的程度.通過(guò)對(duì)方法的探究，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，有針對(duì)性地分析和思考問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題，達(dá)到對(duì)知識(shí)的掌握.下面介紹四種數(shù)列求和的基本方法和技巧.

一、公式求和法，掌握基本求和方法

公式求和法是解決數(shù)列求和最為基本的方法，是其他求和方法的基礎(chǔ).在進(jìn)行數(shù)列求和的教學(xué)過(guò)程中，首先，教師需要給學(xué)生介紹的就是公式求和法.讓學(xué)生能運(yùn)用等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，教師還要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探究推導(dǎo)公式，通過(guò)合作交流深刻理解公式，從而可以在運(yùn)用中游刃有余.公式法是一種非常直觀的方法，學(xué)生只需要把公式掌握好，在題目中找到相應(yīng)的量進(jìn)行套用即可，是一種簡(jiǎn)單易行的方法.

典例賞析 已知等比數(shù)列{an}的所有項(xiàng)均為正數(shù)，首項(xiàng)a1=1，且a4，3a3，a5成等差數(shù)列.求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

分析 由數(shù)列{an}是等比數(shù)列可得a4=q3，a3=q2，a5=q4，根據(jù)a4，3a3，a5成等差數(shù)列可以求出q，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.

解 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，

由條件可知a4，3a3，a5成等差數(shù)列，∴6q2=q3+q4.

解得q=-3或q=2，

∵q>0，∴q=2，∴Sn= 1-2n 1-2 =2n-1.

在審題的過(guò)程中，學(xué)生要準(zhǔn)確把握首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差、公比、第n項(xiàng)和前n項(xiàng)和等信息，還要注意是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，這樣才可以靈活地通過(guò)已知的信息最終求出首項(xiàng)和公差（或公比），從而完成公式求和的解題過(guò)程.

二、分組求和法，分別解答各個(gè)擊破

分組求和法是解決數(shù)列求和的常用方法.此類(lèi)題型的顯著特點(diǎn)是：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列和等比數(shù)列組成，則求和時(shí)可以用分組求和法，把具有相同性質(zhì)的數(shù)列分別求和后相加減.這種方法使學(xué)生可以通過(guò)各個(gè)擊破的方式來(lái)解決問(wèn)題，降低解題難度，從而逐步有效地解決問(wèn)題.

典例賞析 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n+1，若bn=2 an+ 1 2an ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

分析 根據(jù)已知條件先求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=2 an+ 1 2an =2 n+1+ 1 2n+1 =2n+ 1 2n +2，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，此數(shù)列可分為三個(gè)數(shù)列{2n}， 1 2n ，{2}，因此，可以采用先分別求出這三個(gè)滿足條件的和，再合并即可解決.

在解題的過(guò)程中，要學(xué)會(huì)找到具有共性的各個(gè)數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)每一個(gè)數(shù)列來(lái)一一進(jìn)行計(jì)算，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的解決.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型有兩類(lèi)：（1）若an=bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，求{an}的前n項(xiàng)和；（2）通項(xiàng)公式為an= bn，n∈奇數(shù)，cn，n∈偶數(shù) 的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和.

三、錯(cuò)位相減法，靈活應(yīng)用解決問(wèn)題

錯(cuò)位相減法是解決數(shù)列求和的一種重要方法.必須熟練掌握，高中教材中等比數(shù)列的前n和公式推導(dǎo)用的就是這種方法.它主要適用于一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，在解決這類(lèi)數(shù)列求和問(wèn)題的時(shí)候就可以用錯(cuò)位相減法.即數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，就采用錯(cuò)位相減法，這種方法的關(guān)鍵是錯(cuò)位后找到對(duì)應(yīng)項(xiàng)，然后，進(jìn)行求和處理即可.

學(xué)生在解題時(shí)通過(guò)認(rèn)真閱讀，仔細(xì)思考，可以看出此題在求和時(shí)適合采用的方法就是錯(cuò)位相減法.解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生需要注意前n項(xiàng)和兩邊同時(shí)乘等比數(shù)列{bn}的公比，然后，“錯(cuò)位”作差求解.利用錯(cuò)位相減法求和還要注意，首先，要善于識(shí)別題目類(lèi)型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；其次，在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn-qSn”的表達(dá)式.

四、裂項(xiàng)相消法，分析歸納總結(jié)規(guī)律

裂項(xiàng)相消法是解決數(shù)列求和的一種行之有效的方法.在求和過(guò)程中，學(xué)生需要把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，在消去了一些不必要的項(xiàng)后，簡(jiǎn)化了計(jì)算，從而可以快速求和.使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，一定要注意消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，需要注意未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn).

典例賞析 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2-n.數(shù)列{bn}滿足bn= 1 a2n-1·a2n+1 ，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

通過(guò)對(duì)題目的閱讀和思考，學(xué)生要有一定的判斷能力，能夠看出這一類(lèi)題是否適合采用裂項(xiàng)相消法求和.把數(shù)列的每一項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)，使得相加后項(xiàng)與項(xiàng)之間能夠抵消，但在抵消的過(guò)程中，有的是依次相消，有的是間隔相消.利用裂項(xiàng)相消法要注意，列項(xiàng)相消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng).將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等.如，若{an}是等差數(shù)列，則 1 anan+1 = 1 d 1 an - 1 an+1 ， 1 anan+2 = 1 2d 1 an - 1 an+2 .

上面介紹了幾種數(shù)列求和的常用方法，其實(shí)，數(shù)列求和的方法還有很多，如倒序相加法、遞推轉(zhuǎn)化法、并項(xiàng)求和法、數(shù)學(xué)歸納法等.數(shù)列求和問(wèn)題題型多樣，技巧性也較強(qiáng)，以致數(shù)列求和問(wèn)題成為高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，在各級(jí)各類(lèi)考試中都會(huì)涉及對(duì)數(shù)列求和的考察，因此，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要善于總結(jié)規(guī)律.

總之，在數(shù)列求和的學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生找到數(shù)列求和的突破口，掌握好基本題型和解題的基本思想方法，進(jìn)而在解題過(guò)程中可以靈活運(yùn)用這些解題方法.學(xué)生掌握了數(shù)列求和的基本方法后還要不斷地實(shí)踐，通過(guò)強(qiáng)化訓(xùn)練來(lái)鞏固，最終的達(dá)到快速、靈活、輕松解決數(shù)列求和.通過(guò)數(shù)列求和知識(shí)的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，學(xué)生的邏輯思維和推理判斷能力會(huì)進(jìn)一步得到提高，為學(xué)生提供了一個(gè)更加廣闊的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)空間.