利用“輔助圓”巧解一類動(dòng)態(tài)平衡問題

彭立君

摘 要：三力動(dòng)態(tài)平衡問題中有一類利用“輔助圓”判斷力大小變化的題型，在各類資料中少有涉及；而且此類問題不用“輔助圓”判斷，往往解說不清晰，文章就此類問題提出解決的思路方法。

關(guān)鍵詞：動(dòng)態(tài)平衡；輔助圓；力的動(dòng)態(tài)變化

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2016）12-0046-2

三力動(dòng)態(tài)平衡分析是中學(xué)物理中常見的問題，一般采用力合成后的矢量三角形來分析，常用到相似三角形或者點(diǎn)線間的距離關(guān)系來判斷力大小的變化。其中，有一類問題可利用“輔助圓”來清晰判斷力的動(dòng)態(tài)變化，此法在解題中常常被忽視。下面舉例來說明：

例1 如圖1所示，圓弧形貨架上擺著4個(gè)完全相同的光滑小球，O為圓心。則對(duì)圓弧面的壓力最小的是（ ）

A.a球 B.b球

C.c球 D.d球

書后參考答案：A選項(xiàng)。

解析 小球?qū)A弧面的壓力大小等于球的重力沿斜面向下的分力mgsinθ，θ為斜面與豎直面的夾角。顯然a球?qū)A弧面的壓力最小。

選項(xiàng)A是正確的答案，但真如解析所說：“小球?qū)A弧面的壓力大小等于球的重力沿斜面向下的分力mgsinθ”嗎？把圖中小球放大后，分析受力如圖2所示。其中，F(xiàn)A1和FA2對(duì)應(yīng)擋板在A點(diǎn)時(shí)圓弧面和擋板對(duì)球的支持力，從圖中可以看出，F(xiàn)A1和FA2并不是互相垂直的。顯然，參考答案中的解析是錯(cuò)誤的。有什么辦法解決此類問題呢？現(xiàn)取擋板在圖中A、B兩點(diǎn)時(shí)分析受力，并把FA1和FA2、FB1和FB2各自獨(dú)立合成后再來分析。

如圖2所示，F(xiàn)B1和FB2對(duì)應(yīng)擋板在B點(diǎn)時(shí)圓弧面和擋板對(duì)球的支持力。在圖中∠FA2O'FA1與∠FB2O'FB1是相等的，即圖中α、β角是相等的，故四點(diǎn)F、O'、FA1、FB1共圓。去掉圖中其他線條，作出四點(diǎn)所在圓如圖3所示。注意擋板最低能夠擺放到豎直位置，即擋板對(duì)球的支持力F2不能轉(zhuǎn)到水平位置。由圖3可知，當(dāng)擋板逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)O'在圓周沿FA1向FB1方向移動(dòng)，其中圓弧對(duì)球的支持力不能指向四點(diǎn)確定的圓的直徑方向，故圓弧對(duì)球的支持力不斷增大，擋板對(duì)球的支持力不斷減小。

練習(xí)：如圖4所示，置于地面的矩形框架中用兩細(xì)繩拴住質(zhì)量為m的小球，繩B水平。設(shè)繩A、B對(duì)球的拉力大小分別為F1、F2，它們的合力大小為F?，F(xiàn)將框架在豎直平面內(nèi)繞左下端緩慢旋轉(zhuǎn)90 °，在此過程中（ ）

A.F1先增大后減小 B.F2先增大后減小

C.F先增大后減小 D.F先減小后增大

提示：轉(zhuǎn)動(dòng)過程中兩線夾角不變，形成類似例題1中的四點(diǎn)共圓情形。

例2 如圖5所示，直桿BC的一端用鉸鏈固定于豎直墻壁，另一端固定一個(gè)小滑輪C，細(xì)繩下端掛一重物，細(xì)繩的AC段水平。不計(jì)直桿、滑輪及細(xì)繩的質(zhì)量，忽略所有摩擦。若將細(xì)繩的端點(diǎn)A稍向下移至A′點(diǎn)，使之重新平衡，則此時(shí)滑輪C的位置（ ）

A.在AA′之間 B.與A′點(diǎn)等高

C.在A′點(diǎn)之下 D.在A點(diǎn)之上

題后參考答案：D選項(xiàng)。

解析 由于桿一直平衡，兩根細(xì)繩對(duì)桿的拉力的合力沿桿的方向向下；又由于同一根輕質(zhì)繩子中的張力處處相等，而且兩根細(xì)繩的拉力大小相等且等于物體的重力G，根據(jù)平行四邊形定則，合力一定在角平分線上。若將細(xì)繩的端點(diǎn)A稍向下移至A′點(diǎn)，若桿不動(dòng)，則∠A′CB<∠BCG，則不能平衡。若要桿再次平衡，兩繩的合力一定還要在角平分線上，所以BC桿應(yīng)向上轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，此時(shí)C在A點(diǎn)之上。

顯然，參考答案中的解析不能做到清晰明了。如果引進(jìn)“輔助圓”，則解答會(huì)變得一目了然。C點(diǎn)總在以B為圓心、BC為半徑的圓上，如圖6所示。其中，BC線總是∠ACG的角平分線。根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，我們可以作出各點(diǎn)位置關(guān)系如圖7所示，P和P'關(guān)于BC所在直徑對(duì)稱，直觀可見，C的位置將在A點(diǎn)之上。

練習(xí)：如圖8所示，絕緣細(xì)線下面懸掛一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的導(dǎo)線，導(dǎo)線置于方向豎直向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。當(dāng)在導(dǎo)線中通以垂直紙面向里的恒定電流I時(shí)，絕緣細(xì)線偏離豎直方向θ角而靜止?，F(xiàn)將磁場(chǎng)方向由圖示方向沿逆時(shí)針方向緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)保持磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小不變，則在磁場(chǎng)旋轉(zhuǎn)90 °的過程中，下列說法正確的是（ ）

A.導(dǎo)線受到的安培力F逐漸變大

B.絕緣細(xì)線的拉力FT逐漸變大

C.絕緣細(xì)線與豎直方向的夾角θ先增大后減小

D.導(dǎo)線受到的安培力F與絕緣細(xì)線的拉力FT的合力大小不變，方向隨磁場(chǎng)的方向而改變

（提示：安培力大小不變，安培力矢量端點(diǎn)構(gòu)成圓。）

由此可見，利用作“輔助圓”的方法來求解此類動(dòng)態(tài)平衡問題，解答將變得清晰明了，一目了然，不失為一種解決此類問題的簡(jiǎn)捷方法?！拜o助圓”分析是解決動(dòng)態(tài)平衡問題的方法的一個(gè)有效補(bǔ)充。

（欄目編輯 陳 潔）