孫慶宏

數(shù)學(xué)教學(xué)觀是數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知過(guò)程的一種認(rèn)識(shí)，它不僅涉及數(shù)學(xué)的性質(zhì)與特征，更涉及獲得知識(shí)的認(rèn)知過(guò)程，或者說(shuō)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的規(guī)律。它除了思考教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的科學(xué)性以外，必須確定對(duì)教學(xué)形式與方法的認(rèn)識(shí)，同樣要以科學(xué)的方法確定傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的條件與實(shí)質(zhì)。數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中的所作所為，取決于他們的基本觀念以及對(duì)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教學(xué)的基本看法、信念與態(tài)度，數(shù)學(xué)教學(xué)觀會(huì)影響數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與效果，是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的靈魂。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要目的是“獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展”；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容是“現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)”；內(nèi)容的呈現(xiàn)方式是“采用不同的表達(dá)方式，以滿(mǎn)足多樣化的學(xué)習(xí)需求”；有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式是“主動(dòng)·探究·合作”；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的優(yōu)劣主要表現(xiàn)為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解和能否積極參與活動(dòng)，是否獲得了積極的情感體驗(yàn)，能否善于反思，即建構(gòu)主義理論下的數(shù)學(xué)教學(xué)觀。

一、對(duì)建構(gòu)主義數(shù)學(xué)教學(xué)觀的認(rèn)識(shí)

一方面，建構(gòu)主義認(rèn)為：學(xué)習(xí)不應(yīng)被看成是對(duì)教師所授知識(shí)的被動(dòng)接受，而是學(xué)習(xí)者以自身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)活動(dòng)；學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)背景，對(duì)外部信息進(jìn)行主動(dòng)的選擇、加工和處理；學(xué)習(xí)不是簡(jiǎn)單的知識(shí)累積，更重要的是包含新舊知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的沖突以及由此而引發(fā)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組；學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)主要是在教師的直接指導(dǎo)下完成的。為此我們強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的積極性、建構(gòu)性、累積性、目標(biāo)指引性、診斷性與反思性、探究性、情境性、社會(huì)性以及問(wèn)題定向的學(xué)習(xí)、基于案例的學(xué)習(xí)、內(nèi)在驅(qū)動(dòng)的學(xué)習(xí)，等等。建構(gòu)主義理論充分肯定了學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的主體地位。數(shù)學(xué)教學(xué)不再是一種“授予—吸收”的過(guò)程，而是在一定社會(huì)環(huán)境中學(xué)生作為主體的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程。另一方面，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：“鼓勵(lì)學(xué)生自主探索與合作交流。有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程不能單純地依賴(lài)模仿與記憶，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而使學(xué)生形成自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和有效的學(xué)習(xí)策略?！币虼宋覀円蚱苽鹘y(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)觀的束縛，以建構(gòu)主義理論為基礎(chǔ)，建立探究性數(shù)學(xué)教學(xué)觀，培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。

1.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣。通過(guò)創(chuàng)設(shè)適宜的活動(dòng)情境，喚起學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生追求問(wèn)題解決的積極性，造成認(rèn)知沖突，以形成學(xué)生欲證不得、欲罷不能的思維態(tài)勢(shì)。例如，在教學(xué)“二項(xiàng)定理”之前，教師提出這樣一個(gè)問(wèn)題：今天是星期一，再過(guò)1515天是星期幾？顯然，利用簡(jiǎn)單的計(jì)算無(wú)法完成該問(wèn)題。在這種情境下，教師告訴學(xué)生：如果我們學(xué)會(huì)了二項(xiàng)式定理，那么很快就能得出結(jié)果。在這種狀態(tài)下，課堂氣氛和諧活躍，師生共同探究二項(xiàng)式定理的規(guī)律性及其應(yīng)用，取得了良好的教學(xué)效果。

2.讓學(xué)生動(dòng)手做，在探究中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。建構(gòu)主義理論以學(xué)生的自主活動(dòng)為基礎(chǔ)，以智力參與為前提，又以個(gè)人體驗(yàn)為終結(jié)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“自主活動(dòng)”強(qiáng)調(diào)要在“做數(shù)學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)”?；顒?dòng)是個(gè)人體驗(yàn)的源泉，是語(yǔ)言表征、情節(jié)表征、動(dòng)作表征的源泉，所以對(duì)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，活動(dòng)是第一位的。例如，在教學(xué)“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”時(shí)，教師準(zhǔn)備好實(shí)驗(yàn)器材，學(xué)生分組動(dòng)手畫(huà)出橢圓。實(shí)驗(yàn)探究：保持繩長(zhǎng)不變，改變兩個(gè)圖釘之間的距離，畫(huà)出的橢圓有什么變化？學(xué)生思考：根據(jù)上面的探究實(shí)踐活動(dòng)，橢圓是滿(mǎn)足什么條件的點(diǎn)的軌跡？教師引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓定義，這樣學(xué)生對(duì)橢圓的概念才能掌握得深刻。在這種學(xué)習(xí)情境中，學(xué)生不只是掌握一些基本規(guī)律，還在動(dòng)手操作中體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法，逐漸形成探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)和探索未知世界的積極態(tài)度。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該做的事就是讓學(xué)生通過(guò)自己的參與，通過(guò)“做數(shù)學(xué)”來(lái)體驗(yàn)數(shù)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式去思考、去探索。

3.學(xué)生要學(xué)會(huì)收集資料、篩選資料，以便開(kāi)展探究性數(shù)學(xué)課題。開(kāi)展探究性數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的重要方式之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不應(yīng)成為“居高臨下”的指導(dǎo)者，而應(yīng)成為一個(gè)“平等”的參與者。在教師指導(dǎo)下，學(xué)生從學(xué)習(xí)生活和社會(huì)生活中選擇和確定探究性數(shù)學(xué)課題，主動(dòng)地獲取知識(shí)，應(yīng)用知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。這些都意味著學(xué)生要學(xué)會(huì)有選擇地獲取有價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)，其中一個(gè)重要的途徑就是利用網(wǎng)絡(luò)技術(shù)收集資料、篩選資料，獲取有價(jià)值的信息。教師要培養(yǎng)學(xué)生具有適應(yīng)信息時(shí)代需要的信息素養(yǎng)，既要發(fā)展學(xué)生利用信息技術(shù)的意識(shí)和能力，又要發(fā)展學(xué)生對(duì)浩如煙海的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行反思和辨別的能力。如在教學(xué)“利用數(shù)列計(jì)算利息”時(shí)，筆者就先讓學(xué)生在生活中去調(diào)查銀行利息的實(shí)際情況。拉近數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生現(xiàn)實(shí)之間的距離，有利于學(xué)生采集數(shù)學(xué)信息，有利于激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的興趣，有利于學(xué)生提取和利用生活經(jīng)驗(yàn)，從而有效地發(fā)現(xiàn)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。

二、建構(gòu)主義數(shù)學(xué)教學(xué)觀的實(shí)踐與探索

“數(shù)學(xué)是研究人類(lèi)思維方式的科學(xué)?！币虼?，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目的就是通過(guò)教授數(shù)學(xué)知識(shí)，把知識(shí)的學(xué)習(xí)和能力的培養(yǎng)結(jié)合起來(lái)，通過(guò)知識(shí)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的能力， 在能力提高的基礎(chǔ)上，不斷發(fā)展和完善學(xué)生的綜合素質(zhì)。

1.知識(shí)應(yīng)該以“系統(tǒng)中的知識(shí)”的面貌出現(xiàn)在學(xué)生面前。在教學(xué)中，筆者著眼于知識(shí)之間的聯(lián)系和規(guī)律，使學(xué)生養(yǎng)成從系統(tǒng)的高度去把握知識(shí)、認(rèn)識(shí)世界和進(jìn)行思考。站在系統(tǒng)的高度把數(shù)學(xué)教學(xué)分了三層意思：（1）每個(gè)數(shù)學(xué)概念、定理、公式等知識(shí)的教學(xué)，都是在見(jiàn)樹(shù)木更要見(jiàn)森林的狀況下進(jìn)行的。（2）在教學(xué)過(guò)程中，對(duì)任何細(xì)節(jié)都要鼓勵(lì)學(xué)生追根溯源，凡事都去問(wèn)為什么，尋找它與其他事物之間的聯(lián)系。（3）在知識(shí)系統(tǒng)中進(jìn)行教學(xué)。筆者認(rèn)為這種做法所起到的作用是：“使學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間盤(pán)根錯(cuò)節(jié)又渾然一體，而到后來(lái)，知識(shí)好像在手心里，了如指掌，不再是一堆雜亂無(wú)章的瓦礫、一片望而生畏的戈壁灘。”

2.著眼于數(shù)學(xué)思想的滲透，更著重哲理觀點(diǎn)的升華。人類(lèi)歷史上偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家同時(shí)也是思想家、哲學(xué)家。如牛頓、高斯、歐拉、萊布尼茨等，他們都是站在思想的高度、哲理的高度進(jìn)行觀察與思考的。把這些數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家的思想和哲理觀點(diǎn)編成教材來(lái)教學(xué)生，學(xué)生無(wú)法接受或只是機(jī)械地接受，無(wú)助于他們以此為武器進(jìn)行思考和應(yīng)用，當(dāng)然增長(zhǎng)不了才干。而在數(shù)學(xué)教學(xué)中點(diǎn)點(diǎn)滴滴地長(zhǎng)期滲透，則會(huì)使學(xué)生在耳濡目染的過(guò)程中得到熏陶。在課本中有不少數(shù)學(xué)家的小故事，很多教師不講這部分內(nèi)容，甚至不要求學(xué)生看。這樣就會(huì)浪費(fèi)很好的數(shù)學(xué)教育資源，因?yàn)檫@些故事和我們的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容緊密相關(guān)。筆者每次不僅要花很多時(shí)間講授這部分內(nèi)容，而且還查找大量的資料來(lái)補(bǔ)充。事實(shí)證明，這樣更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

3.使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，形成學(xué)生“超前思維，向老師挑戰(zhàn)”的課堂氣氛。教學(xué)時(shí)，例題寫(xiě)出來(lái)了后，學(xué)生先思考、分析，再讓學(xué)生到講臺(tái)上講解；教學(xué)數(shù)學(xué)定理、公式時(shí)，在寫(xiě)出條件后，就鼓勵(lì)學(xué)生想出它們的結(jié)論；再進(jìn)一步，學(xué)生主動(dòng)構(gòu)造數(shù)學(xué)定理、公式，甚至提出應(yīng)該給誰(shuí)定義和如何定義；對(duì)于教師課堂上的講解內(nèi)容，學(xué)生敢于搶在老師前面猜想它的下一句是什么……這樣做鍛煉了學(xué)生的思維能力。同時(shí)，學(xué)生親自參與，歷經(jīng)艱難過(guò)程，熟知其中的“溝溝坎坎”，必將印象深刻，記憶久遠(yuǎn)。學(xué)生向老師挑戰(zhàn)，如果思考失誤了，將從反面加深對(duì)正確認(rèn)識(shí)的理解。另外，這種給學(xué)生在自己同伴面前展示自己才華的機(jī)會(huì)，將很好地促進(jìn)他們積極追求進(jìn)步。

4.一題多解，多解歸一。學(xué)數(shù)學(xué)需要做題，別的課程也如此，但怎樣才能發(fā)揮做題更大的作用？筆者認(rèn)為，題不在多而在精。在這里，題目的精不單是指題目本身無(wú)錯(cuò)誤，而且是題目的解題思路應(yīng)充滿(mǎn)數(shù)學(xué)思想。更重要的，是一題多解（達(dá)到熟悉）、多解歸一（尋求共性）。

一題多解將使學(xué)生身臨其境，加深理解；多解歸一，是尋求不同解法的共同本質(zhì)，乃至不同知識(shí)類(lèi)別及思考方式的共性，上升到思想方法、哲理觀點(diǎn)的高度，從而不斷地抽象出具有共性的解題思考方法。有很多學(xué)生問(wèn)筆者：老師，上課我都聽(tīng)懂了，為什么還是不會(huì)做題？筆者回答：“你是聽(tīng)懂了，但你并沒(méi)有看透。”為了這種“把題看透、做透”的目標(biāo)能夠?qū)崿F(xiàn)，教師必須精心設(shè)計(jì)教案。筆者如果要給學(xué)生出一道題，自己要先做至少20道題，從中選出最精彩、最典型、最能啟發(fā)學(xué)生思維的題目。

5.指導(dǎo)學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)。對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，筆者給學(xué)生提出了三個(gè)字的要求：“懂、會(huì)、對(duì)”；每字亦有三個(gè)層次的要求，可粗略地表述為知其然也知其所以然。

懂：要掌握課堂上學(xué)習(xí)的具體知識(shí)；要不斷深入理解知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程，使用某個(gè)方法解決問(wèn)題時(shí)要了解這個(gè)方法的適用范圍與局限性；要注意不斷關(guān)注知識(shí)方法之間的聯(lián)系與差別，將所學(xué)的知識(shí)方法體系化。

會(huì)：要會(huì)將課堂上學(xué)習(xí)的知識(shí)方法應(yīng)用到類(lèi)似情景中去，要會(huì)抓住解決問(wèn)題方法的本質(zhì)，會(huì)將所學(xué)的方法應(yīng)用到新的情景中去；會(huì)通過(guò)比較歸納，將知識(shí)與方法體系化為自己認(rèn)知體系的一部分，逐步形成解決問(wèn)題的策略體系。

對(duì)：要能比較熟練地用所學(xué)的知識(shí)方法準(zhǔn)確地解決問(wèn)題；要特別重視解決問(wèn)題時(shí)推理或計(jì)算所依據(jù)的算理、算法，關(guān)注結(jié)果的合理性，不斷提高解決問(wèn)題的自我調(diào)控的元認(rèn)知能力；要能根據(jù)學(xué)科與學(xué)習(xí)心理的特點(diǎn)，逐漸通過(guò)積累歸納，形成有效的自我檢查的方法體系，并不斷提高應(yīng)用這一體系的能力。

學(xué)生在努力達(dá)到這樣的學(xué)習(xí)要求時(shí)，必須自主有效地完成很多學(xué)習(xí)的“軟”任務(wù)，進(jìn)而不斷提高自己的學(xué)習(xí)能力與綜合素質(zhì)；還應(yīng)該看到，不是所有學(xué)生在學(xué)習(xí)的各個(gè)階段都能盡善盡美地達(dá)到這三個(gè)層次的要求的，學(xué)生必須根據(jù)自己的學(xué)業(yè)水平、精力和將來(lái)的發(fā)展需求，自我安排、自我控制學(xué)習(xí)進(jìn)度、廣度與深度。

“懂、會(huì)、對(duì)”的學(xué)習(xí)要求，是一個(gè)開(kāi)放的學(xué)習(xí)方法體系，也是一個(gè)可以不斷優(yōu)化的學(xué)習(xí)方法體系。教師在指導(dǎo)學(xué)生形成、使用這一體系時(shí)，也在不斷深化對(duì)數(shù)學(xué)觀念方法體系的認(rèn)識(shí)，不斷提高對(duì)學(xué)習(xí)規(guī)律的認(rèn)識(shí)。

6.教給學(xué)生科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。俗話(huà)說(shuō)，授人以魚(yú)，不如授之以漁。筆者帶過(guò)多屆高三畢業(yè)班，在每屆3年的數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者都要努力做到：（1）近一半的例題、定理、公式都是引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手完成的。（2）從數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)出發(fā)，在知識(shí)上指導(dǎo)學(xué)生注意追根溯源，尋找知識(shí)之間的聯(lián)系和規(guī)律，在比較中學(xué)習(xí)新知識(shí)，站在哲理的高度思考問(wèn)題，注重聯(lián)想。（3）提倡和指導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展問(wèn)題研究，練習(xí)寫(xiě)論文、寫(xiě)總結(jié)。（4）不斷回顧總結(jié)，學(xué)生完成作業(yè)后，引導(dǎo)學(xué)生回顧、總結(jié)、反思，只有掩卷反思才會(huì)有所發(fā)現(xiàn)和優(yōu)化。（5）凡事需問(wèn)“所以然”。知其然更知其所以然，凡事都要問(wèn)一個(gè)為什么。鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索大膽創(chuàng)新，各抒己見(jiàn)，展開(kāi)爭(zhēng)論。

筆者認(rèn)為，教師給學(xué)生講題，如果只把題目的解答過(guò)程一步一步講清楚，哪怕再細(xì)致明白，也講不出這些解法步驟是怎么想出來(lái)的，對(duì)提高學(xué)生的解題能力效果不大，甚至?xí)鹣麡O作用。教學(xué)中，教師要講清楚自己當(dāng)時(shí)的思考過(guò)程和想法，在思考中學(xué)會(huì)反思，學(xué)會(huì)提出問(wèn)題、解決問(wèn)題。知識(shí)本身并不重要，通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生追問(wèn)數(shù)學(xué)上的為什么，養(yǎng)成科學(xué)的思維習(xí)慣才是最重要的。知識(shí)都是相互聯(lián)系的，課堂上教師常會(huì)重復(fù)以前的知識(shí)，這時(shí)候?qū)W生應(yīng)努力找到新舊知識(shí)的聯(lián)系，這樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就變得簡(jiǎn)單而有趣了。