中國人民大學(xué)附屬中學(xué)分校 徐 可

淺析錯(cuò)位相減在數(shù)列中的應(yīng)用

中國人民大學(xué)附屬中學(xué)分校 徐 可

在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，數(shù)列知識(shí)占據(jù)很重要的位置，而數(shù)列知識(shí)中數(shù)列的求和又是重點(diǎn)內(nèi)容，尤其是“錯(cuò)位相減”這種重要方法的運(yùn)用。在學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)的過程中，我們通常僅僅關(guān)注了掌握和運(yùn)用求和公式，卻忽視了在推導(dǎo)求和公式的過程中涉及的“錯(cuò)位相減”這種重要的方法，導(dǎo)致在解答此類數(shù)列求和的問題時(shí)無能為力。此外，在每年的數(shù)學(xué)高考卷中，很多省的試題中都考查了用錯(cuò)位相減法處理數(shù)列求和問題，其重要性毋庸置疑。基于此，本文將首先說明錯(cuò)位相減這種方法，然后舉例其在數(shù)列求和中的應(yīng)用。

錯(cuò)位相減；數(shù)列；求和

一、錯(cuò)位相減方法說明

通常，我們習(xí)慣性地稱求解等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的方法為“錯(cuò)位相減法”。實(shí)際上，高中教材里出現(xiàn)的求和問題僅僅是某一類數(shù)列求和問題中的特例，下面我們將其推廣為更加普適的求和問題，即“一個(gè)非零等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的新數(shù)列的求和”。

【定理】現(xiàn)已知數(shù)列｛an｝、｛bn｝分別表示等差和等比數(shù)列，數(shù)列的首項(xiàng)分別是a、b，等差數(shù)列的公差是d，等比數(shù)列的公比是q（q≠1）。新數(shù)列cn=an·bn，那么該數(shù)列的前n項(xiàng)和。

【評(píng)析】通過觀察以上證明過程，我們可以看到，所謂“錯(cuò)位”是為了“對(duì)位”，即將公比的冪方相同的項(xiàng)一一對(duì)齊；而對(duì)好位是方便整體“并項(xiàng)”，并完項(xiàng)才能通過等比數(shù)列求和公式進(jìn)行求和。

此外，需要注意的是，以上錯(cuò)位相減中我們采用的是在求和式子的兩邊都乘等比數(shù)列的公比，即兩邊均乘q。然而錯(cuò)位相減在數(shù)列中的運(yùn)用不僅僅是這一種形式，同學(xué)們需要多見識(shí)題型，熟悉掌握每一種形式，并注意歸納總結(jié)。下面舉例說明另一種“錯(cuò)位相減”的形式：在已知數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn=f（n）的情況下，求解通項(xiàng)公式an。這類題的解題步驟如下：（1）錯(cuò)項(xiàng)，所謂“錯(cuò)項(xiàng)”，是指在Sn=f（n）的基礎(chǔ)上寫出Sn-1=f（n-1）；（2）相減，將（1）所得關(guān)系式同原關(guān)系式對(duì)應(yīng)相減，即：；（3）求通項(xiàng)，根據(jù)Sn- Sn-1=an可以得到：。這種形式的“錯(cuò)位相減”最后需要驗(yàn)證a1是不是滿足an=f（n）-f（n-1）（n≥2），若滿足，那么通項(xiàng)就能簡化為an=f（n）-f（n-1）（n=1，2，3，…）。同時(shí)，此種形式下的“錯(cuò)位相減”能夠廣泛運(yùn)用到有關(guān)Sn同an的混合關(guān)系式以及an與an+1的復(fù)雜遞推關(guān)系式當(dāng)中，能夠逐步將數(shù)列問題的類型進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

了解了“錯(cuò)位相減”是怎么回事之后，接下來本文將舉例說明幾種常見的其在數(shù)列中的運(yùn)用。這并不是全部，但希望給同學(xué)們啟發(fā)，以后自己遇到類似題目不會(huì)做的時(shí)候，能夠記得試一試“錯(cuò)位相減”。

二、錯(cuò)位相減在數(shù)列中的運(yùn)用舉例

1．實(shí)現(xiàn)混合關(guān)系式Sn=f（an）轉(zhuǎn)化為遞推公式an+1=f（an）

這類題指的是題目中出現(xiàn)表示Sn和an關(guān)系的式子，這時(shí)候我們可以利用“錯(cuò)位相減”，首先將Sn和an均退一項(xiàng)，得到Sn-1和an-1的關(guān)系式，再將兩個(gè)關(guān)系式進(jìn)行對(duì)應(yīng)相減。

例1 已知數(shù)列｛an｝滿足：an＞0，并且有，試證明：數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列。

【評(píng)析】在本題中正是利用錯(cuò)位相減這種方法，將混合關(guān)系式Sn=f（an），即化成通項(xiàng)之間的遞推式：-an=4，從而得知數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列。

2．實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的通項(xiàng)關(guān)系轉(zhuǎn)換

當(dāng)我們?cè)谧鲱}中碰到比較復(fù)雜的通項(xiàng)關(guān)系時(shí)常常不知所措，其實(shí)我們只要在結(jié)合具體題型特點(diǎn)的情況下，充分發(fā)揮“錯(cuò)位相減”這種方法，將問題的類型實(shí)施轉(zhuǎn)換就可以輕松解決。下面先看個(gè)簡單例題感受一下，再舉例一道高考題。

例2 已知數(shù)列｛an｝滿足以下條件：，試證明：數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列。

【答案】證明：由已知條件可以知道：

也就是：。（備注：這里為第一次使用“錯(cuò)位相減法”）

【評(píng)析】在本題中運(yùn)用了兩次“錯(cuò)位相減”。首次的“錯(cuò)位相減”是為了把復(fù)雜的通項(xiàng)進(jìn)行簡化，顯然經(jīng)過一次“錯(cuò)位相減”后得到的仍是較為復(fù)雜的兩連項(xiàng)的遞推關(guān)系：nan=a1+（n-1）an-1；于是我們進(jìn)行第二次“錯(cuò)位相減”，這樣就得到等差數(shù)列的遞推式（不完整的）。盡管此題中結(jié)果有點(diǎn)“巧合”，但就算不是如此“幸運(yùn)”，我們對(duì)接下來如何去想也早已心知肚明。

例3 （2009年全國卷I）在數(shù)列｛an｝中，a1=1，，試求：

（2）求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn。

【評(píng)析】在這道2009年全國I卷的考題中，考查的是利用構(gòu)造新數(shù)列和“錯(cuò)位相減法”求解數(shù)列前n項(xiàng)和。在以往的考題中，壓軸題通常是以數(shù)列結(jié)合不等式考查放縮法問題，引導(dǎo)考生和一線教師重視數(shù)學(xué)教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法以及基本技能，并重視教材中所涉及的重要方法的運(yùn)用。然而這道題目可以看到出題老師有著降低難度以及力求變化的決心，這道題中解題關(guān)鍵在于熟練掌握解決數(shù)列問題的一些常見的但卻很重要的方法，例如迭加法、錯(cuò)位相減法等等，所以同學(xué)們應(yīng)該重視起“錯(cuò)位相減法”的運(yùn)用。

3．實(shí)現(xiàn)Sn與an的高次關(guān)系的轉(zhuǎn)換

有時(shí)候題目中的已知條件是Sn和an之間的高次關(guān)系式，同學(xué)們面對(duì)這種問題也不要不知所措，其實(shí)對(duì)于任何高次問題，基本原則便是“降次”，只是視具體情況不同而有不同的降次方法。在數(shù)列中，遇到Sn和an這種高次關(guān)系，我們通常是使用“錯(cuò)位相減法”進(jìn)行降次?？赡堋板e(cuò)位相減”需要用到多次，但是無論怎樣，我們的目的就是將高次不斷降低，直到明晰化遞推關(guān)系。

例4 現(xiàn)有一數(shù)列｛an｝，其前n項(xiàng)和Sn滿足：n屬于任意正自然數(shù)），試求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

綜上所述，an+1-an=1(n∈N＊），故數(shù)列｛an｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即an=n。

【評(píng)析】可以看到，本題中也使用了兩次錯(cuò)位相減，目的就是不斷“降次”。這不禁讓我們?cè)僖淮胃惺艿健板e(cuò)位相減法”的精妙。

綜上所述，所謂“錯(cuò)位相減”便是將已知關(guān)系式進(jìn)行“錯(cuò)項(xiàng)再聯(lián)合”，這種方法不僅僅展現(xiàn)出其充分挖掘已知條件的魅力，又體現(xiàn)出其整體運(yùn)算的巧妙所在?！板e(cuò)位相減”有時(shí)候不止用一次，它可能使用兩次或多次，視具體題目而定，這一次或多次“錯(cuò)位相減法”的運(yùn)用便將問題由復(fù)雜轉(zhuǎn)換成簡單，由開始做題時(shí)的“一團(tuán)亂麻”變成答案“唾手可得”。因此“錯(cuò)位相減”是解決數(shù)列求和問題非常實(shí)用的一種方法，希望同學(xué)們細(xì)細(xì)體會(huì)，掌握這種方法的精髓，爭取在數(shù)列求和問題中“戰(zhàn)無不勝”。

[1]李曉燕．?dāng)?shù)列中錯(cuò)位相減求和法之應(yīng)用舉例[J]．神州旬刊，2013（14）：191-191．

[2]陳勝華．?dāng)?shù)列錯(cuò)位相減法求和新探[J]．新課程學(xué)習(xí)·中旬，2013（5）．

[3]譚杭軍．關(guān)于數(shù)列中錯(cuò)位相減法的進(jìn)一步思考[J]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（7）：129-130．