二重積分的計(jì)算與應(yīng)用

黃冶文

【摘要】隨著數(shù)學(xué)分析的理論和方法不斷完善，數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用愈來愈廣泛，二重積分作為數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要組成部分，也就發(fā)揮著越來越重要的作用價(jià)值.本文從二重積分相關(guān)的定義和定理、計(jì)算技巧、應(yīng)用這三個(gè)方面來總結(jié).對(duì)于二重積分的計(jì)算，其方法主要是通過在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中把二重積分化為累次積分，又因?yàn)槎胤e分的計(jì)算與積分區(qū)域以及被積函數(shù)有關(guān)聯(lián)，那就能根據(jù)區(qū)域的對(duì)稱性和函數(shù)的奇偶性來化簡其計(jì)算.本文還探討了如何應(yīng)用二重積分的性質(zhì)來解決與積分相關(guān)的問題，以及二重積分在幾何、力學(xué)、物理等方面的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】二重積分；極坐標(biāo)；積分區(qū)域；對(duì)稱性；平面

一、引言

數(shù)學(xué)分析的發(fā)展起源于微積分，然后推廣到了函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性等各種特性.我們可以將這些特性應(yīng)用于對(duì)物理世界的探究，以及自然界特征的探索.微積分理論從它起源之日起就展現(xiàn)了它龐大的應(yīng)用活力，因而，在數(shù)學(xué)分析中，應(yīng)加強(qiáng)微積分與相鄰學(xué)科之間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用背景，充實(shí)理論的應(yīng)用性內(nèi)容，特別是二重積分.我們知道二重積分是定積分的推廣，因此，計(jì)算二重積分的基本方法就是把它轉(zhuǎn)化成二次定積分加以計(jì)算.

二、二重積分的概念

（一）二重積分的定義

設(shè)一個(gè)定義域是在可求面積并且有界的閉區(qū)域D上的函數(shù)f（x，y），J為一個(gè)明確的數(shù)，如果對(duì)ε>0，總某個(gè)δ>0，使得對(duì)于D的分割T，再?。é蝘，ηi），當(dāng)細(xì)度‖T‖<δ時(shí)，屬于T中所有的積分和為

例2求I=D12（4-x-y）dσ，D由直線y=x與拋物線y=x2圍成.

解先畫D的草圖（圖3）.經(jīng)觀察，D既可看成x型區(qū)域，也可看成y型區(qū)域.假如看作x型區(qū)域，就可以畫一條穿過區(qū)域D且平行于y軸的直線，則穿入邊為y=x2，穿出邊為y=x.然而，D的最左邊的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著x=0，最右邊是x=1.從而，I可化為下述二次積分計(jì)算：

（二）二重積分的變量變換

1.二重積分的變量變換公式

引理設(shè)T：x=x（u，v），y=y（u，v）是一個(gè)變換，它把平面uOv上按段光滑封閉曲線圍成的閉區(qū)域Δ，一對(duì)一地映為xOy平面中的閉區(qū)域D，x（u，v），y（u，v）在Δ內(nèi)皆具一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，它們有函數(shù)行列式

J=（x，y）（u，v）≠0，（u，v）∈Δ，

則區(qū)域D的面積

μ（D）=Δ|J（u，v）|dudv.（3.5）

定理4設(shè)f（x，y）在有界閉區(qū)域D上是可積的，平面uOv上按段光滑封閉曲線所包圍的閉區(qū)域Δ被變換T：x=x（u，v），y=y（u，v），一對(duì)一地映為平面xOy上的閉區(qū)域D，x（u，v），y（u，v）在Δ內(nèi)皆具一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，它們的函數(shù)行列式

I的絕對(duì)值有顯然的幾何意義：即|I|是uOv上以Δu和Δv為邊的小矩形通過映射到xOy上的曲邊四邊形的面積的一個(gè)縮放比極限，該極限是當(dāng)Δu2+Δv2→0時(shí)的.還有，I的符號(hào)也有意義.假定取負(fù)方向是上述矩形和四邊形的邊界閉曲線的順時(shí)針，正方向是逆時(shí)針，那么I>0時(shí)，小矩形和曲邊四邊形的邊界方向一樣，而I<0時(shí)，邊界方向相反，也就是從正向變?yōu)樨?fù)向或從負(fù)向變?yōu)檎騕2].

例4根據(jù)函數(shù)組u=y2x，v=xy

把正方形S{a≤x≤a+h，b≤y≤b+h}（a>0，b>0）變換成區(qū)域S′.求S′與S的面積比.當(dāng)h→0時(shí)，此比值的極限等于什么？

2.用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

若被積函數(shù)的形式為f（x2+y2），fyx或fxy，或者積分區(qū)域在極坐標(biāo)下表示的一些二重積分會(huì)更容易計(jì)算.這些一般來說都是很明確的，當(dāng)積分區(qū)域形狀是心臟線、玫瑰線、螺旋狀，或者更一般的情況，對(duì)于任何曲線，如果它的等式在極坐標(biāo)系下表示比在直角坐標(biāo)系下表示更為簡單，考慮的變量替換是極坐標(biāo)變換，也就是在極坐標(biāo)系中計(jì)算二重積分[3].

積分區(qū)域或被積函數(shù)就能采用極坐標(biāo)變換為V=4∫π20dθ∫Rcosθ0R2-r2rdr

=43R3∫π20（1-sin3θ）dθ

=43R3π2-23.

例10重積分Dx2x2+y2dσ，曲線y=1x，直線y=3，x=3圍成平面閉區(qū)域D.

解因?yàn)榉e分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對(duì)稱，得

Dx2x2+y2dσ=Dy2x2+y2dσ，

故Dx2x2+y2dσ=12Dx2x2+y2dσ+Dy2x2+y2dσ

=12Ddσ=4-ln3.

四、總結(jié)

通過以上對(duì)二重積分的計(jì)算方法的歸納總結(jié)，能夠發(fā)現(xiàn)在這些計(jì)算之中有相當(dāng)多的技巧和規(guī)律.二重積分的計(jì)算以定積分的計(jì)算為基礎(chǔ)，它的關(guān)鍵是根據(jù)二重積分的性質(zhì)、幾何意義，以及被積函數(shù)的特征，把不同類型的題目分類以便找到相關(guān)的解題思路.我們能夠利用極坐標(biāo)變換、區(qū)域的對(duì)稱性來達(dá)到化簡積分區(qū)域或者被積函數(shù)的效果，也可以把區(qū)域的對(duì)稱性與函數(shù)的奇偶性結(jié)合在一起應(yīng)用到二重積分的計(jì)算中.利用二重積分的性質(zhì)解決問題也是一個(gè)不可忽略的技巧，在證明定積分不等式、確定積分值符號(hào)、估算積分值中顯得尤為重要.同時(shí)，二重積分的應(yīng)用范圍也十分廣泛，可以用來解決幾何、物理、力學(xué)等方面的問題，而且在物理學(xué)、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、幾何學(xué)等學(xué)科的發(fā)展中起到了重大作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]Courant R.Introduction to Calculus and Analysis II/1[M].北京：世界圖書出版公司北京公司，2007.

[2]謝惠民，沐定夷.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集學(xué)習(xí)指引[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3]Howard Anton，Irl Brivens，Stephen Davis.微積分[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4]趙煥光，林長勝.數(shù)學(xué)分析[M].成都：四川大學(xué)出版社，2006.

[5]徐小湛.對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用[D].成都：四川大學(xué)，2001：24-27.