分析數(shù)形結合思想在高中數(shù)學解題中的應用

王博

【摘 要】對高中數(shù)學知識體系進行分析可知，函數(shù)部分內容既是學習中的重點，也是學生學習過程中的“攔路虎”。函數(shù)知識較為復雜、多變，在學習過程中，學生只有掌握正確的解讀思路和方法才能有效解決不同形式的函數(shù)問題。數(shù)形結合思想作為一種將函數(shù)知識與幾何知識緊密結合起來的教學思想被學生廣泛的應用到高中數(shù)學解題中。本文圍繞數(shù)形結合思想應用于高中數(shù)學解題中的有效方式進行分析，以期為其他同學高效運用數(shù)形結合思想成功解題提供參考和幫助。

【關鍵詞】數(shù)形結合思想 高中 數(shù)學 解題

【中圖分類號】G634.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）06-0113-02

無論課程怎樣改革、變化，函數(shù)知識與幾何相結合的內容一直都是高考試卷重點考察的內容。對于作為高中生的我們來說，對這部分知識的掌握情況直接影響高考數(shù)學成績。所以，在解題過程中應用數(shù)形結合思想具有非常重要的意義。因此，在高中數(shù)學課堂學習過程中，應當注意加強對數(shù)形結合思想的培養(yǎng)，為其核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定堅實的基礎。

一、在高中數(shù)學解題中運用數(shù)形結合思想的概述

數(shù)形結合方法是一種能夠讓復雜的問題簡單化、讓抽象的問題具體化的解題方法，其思想是一種非常重要的數(shù)學思想。學生若想提升自己應用數(shù)形結合思想解題的能力，就需要在解題中先做到聯(lián)系數(shù)形結合思想，逐步理解數(shù)形結合思想、運用數(shù)形結合思想，直到掌握數(shù)形結合思想。

高中數(shù)學的理論知識主要可以分成三個部分：其一，“數(shù)”方面的知識，包括實數(shù)、代數(shù)式、方程、方程組、不等式、不等式組、函數(shù)等內容；其二，“形”方面的知識，包括平面幾何、立體幾何等內容；其三，“數(shù)形結合”方面的知識，如解析幾何等內容。

在高中數(shù)學解題過程中，最為常見的三種方式是以“數(shù)”化“形”、以“形”變“數(shù)”、“形”與“數(shù)”的互變。

（一）以“數(shù)”化“形”

“數(shù)”和“形”存在著對應關系，一些數(shù)量較為抽象，我們難以充分把握，而“形”較為形象、直觀，可以有效的調動形象思維，在高中解題中發(fā)揮出重要作用。所以，我們在解題過程中可以將“數(shù)”對應的“形”找出來，借助圖形來解決“數(shù)”的問題。我們可以從給出問題中識別出滿足問題目標的某種熟識的“模式”，即“數(shù)”與“形”的特定關系或特定結構。這類將數(shù)的問題轉化成圖的問題，并借助對圖的分析、推理最后獲得正確結果的方法就是圖形分析法。圖形分析法的應用通常有三種方式：運用平面幾何知識、運用立體幾何知識、運用解析幾何知識實現(xiàn)以“數(shù)”化“形”（圖1）。利用以“數(shù)”化“形”來解決數(shù)學問題的基本思路是，首先，明確題目中給出的條件和最終希望得到的結果，從題目給出的已知條件或結論出發(fā)，通過觀察分析，明確其與以往所學的基本公式、定理或圖形表達式相似或不相似，然后，根據(jù)以往所學知識繪制出與題目相適合的圖形，最后，借助所繪制圖形的性質、幾何意義等，結合題目最終希望得到的結果來解題。

（二）以“形”變“數(shù)”

盡管“形”較為形象、直觀，但其在定量方面仍需要借助“數(shù)”來運算，尤其是針對復雜、難懂的“形”而言，既需要將“形”數(shù)字化，也需要仔細觀察“形”的幾何特性，從而獲得題中隱藏的條件，再借助“形”的特性或幾何意義，將“形”轉化為“數(shù)”的形式，開始運算。利用以“形”變“數(shù)”來解決數(shù)學問題的基本思路是，首先，明確題目給出的條件和最終希望得到的結果，通過觀察分析所給的條件和最終希望得到的結果的特點、性質，認識到所給條件或最終結果在“形”中的幾何意義，然后，利用所學知識將題目中給出的圖形用代數(shù)的形式表達出來，結合已知條件與最終結論的聯(lián)系，充分利用相關的代數(shù)公式或定理等解題。

（三）“形”與“數(shù)”的互變

圖形與代數(shù)的互變具體是指在一些數(shù)學問題中，只依賴以“數(shù)”變“形”或以“形”變“數(shù)”已經(jīng)難以有效的解決問題，這時，就需要通過將“形”與“數(shù)”進行相互變換來解決問題，學生不僅需要考慮到從直觀的圖形轉化為嚴密的代數(shù)，而且還需要考慮到從嚴密的代數(shù)轉化為直觀的圖形。解決這種問題常常需要兼顧題目給出的已知條件和最終獲得的結論，然后通過認真分析明確題目中“形”與“數(shù)”的相互轉化。基本思路是，見“形”想“數(shù)”、看“數(shù)”思“形”，即將以“數(shù)”化“形”和以“形”變“數(shù)”有機結合起來，靈活的使用。

二、在高中數(shù)學解題中運用數(shù)形結合思想的有效策略

（一）數(shù)形結合思想在解題方面的應用

數(shù)形結合思想包括“以形輔數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個部分，數(shù)形結合思想在高中數(shù)學解題中的應用大致可以分為兩種形式：其一，利用“形”的生動形和直觀性來表示“數(shù)”之間的聯(lián)系，例如，借助函數(shù)的圖像直觀的反映出函數(shù)的性質；其二，利用“數(shù)”的精確性和規(guī)范嚴密性展示“形”的某些屬性，例如，利用曲線的方程清晰的展現(xiàn)出曲線的幾何性質。在解決數(shù)學問題的過程中，學生掌握數(shù)形結合法能夠利用幾何圖形對函數(shù)參數(shù)問題的解題思路進行建構，對于一些簡單的問題，通過觀察幾何圖形就能夠獲得正確的答案。以函數(shù)參數(shù)問題為例，針對函數(shù) ，對其幾何圖形進行觀察發(fā)現(xiàn)有四處與 軸相交，在求解其 值時，利用數(shù)形結合法能夠快速、準確的求出 值。通過仔細觀察函數(shù) 的圖形發(fā)現(xiàn)，其是基于二次函數(shù)經(jīng)過翻折、豎直平移得到的，所以在求解的過程中只需要對函數(shù)進行相應的轉化，轉化成 的形式，然后在直角坐標系中分別繪制函數(shù) 和 的圖形，將 的圖形進行平移，觀察 圖形與 平移后的圖形，在明確二者之間交點個數(shù)的情況下，根據(jù)參數(shù)取值范圍需要同時滿足交點連線位置的原則，確定參數(shù)的取值范圍。數(shù)形結合思想實質上是實現(xiàn)抽象數(shù)學語言與具象圖像的有機結合，推動代數(shù)問題與幾何問題的相互轉化，讓代數(shù)問題幾何化，又使幾何問題代數(shù)化。又如，在解決函數(shù)值域問題時，針對“求函數(shù) 的值域”這道題，教師可以先指導學生根據(jù)題目給出的已知條件畫出對應的圖像，然后觀察圖像，將其轉化為求斜率范圍的問題（圖2），可以在圖像上設動點 ，定點 ，通過計算PA的斜率能夠更為輕松的解決問題，得出的結果為 。因此，在利用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，應當注意以下幾點：其一，應當清晰的了解一些數(shù)學概念、運算的幾何意義以及圖象的代數(shù)特征等，不僅需要分析數(shù)學題目中條件和結論的幾何意義，也需要分析其代數(shù)意義；其二，在參數(shù)的設置和利用上應當保持合理性，以數(shù)推形，以形思數(shù)，實現(xiàn)數(shù)形的有效轉化；其三，保證參數(shù)取值范圍的正確性。

（二）數(shù)形結合思想在簡化解題思路方面的應用

高中開設數(shù)學課程不只是為了讓學生掌握一定的數(shù)學理論知識，而是希望學生能夠通過數(shù)學知識的學習提高自身數(shù)學思維能力、問題分析能力以及創(chuàng)新能力等。然而，我們中的大多數(shù)并沒有明確學習數(shù)學的重要意義，僅僅只是將其當作一項任務來完成，這與學習高中數(shù)學的本意嚴重不符[2]。在學習高中數(shù)學知識的過程中，學生常常需要運用大量復雜的公示進行數(shù)學理論推理，或者做出證明步驟。在這樣機械的解題中，很容易產(chǎn)生厭煩的感覺。但是事實上，公式只是解題的一種方法，是一種解決問題的工具。在高中數(shù)學學習過程中，學生應當明確數(shù)學課程學習的本質，借助數(shù)形結合思想理清自己的思維結構和解題思路，進而對思維結構進行創(chuàng)新和優(yōu)化，使解題思路得到充分簡化最終達到能夠輕松解決數(shù)學問題的目的。

結束語：

綜上所述，數(shù)學課程是高中學習過程中較為重要的一部分，其內容的邏輯性和實踐性比較強，若是學生在高中數(shù)學學習過程中未掌握其中的規(guī)律，就會覺得數(shù)學學習難度大，逐漸喪失學習興趣，最后變成學困生。為了有針對性的改善函數(shù)問題解決難的現(xiàn)狀，學生應當善于運用數(shù)形結合思想，掌握利用數(shù)形結合法解決數(shù)學問題的最佳方式，為更快、更準的解決數(shù)學問題奠定堅實的基礎。

參考文獻：

[1]何玉蘭.數(shù)形結合思想在高中數(shù)學解題中的應用[J].考試周刊，2015（32）：進制50-51.

[2]盧江嘯.數(shù)形結合思想在高中數(shù)學解題中的運用[J].求知導刊，2015（13）：140 -140.