以函數(shù)思想為主線的綜合應(yīng)用研究

摘 要：本文以函數(shù)的思想為主線，結(jié)合方程思想、分類討論思想這兩種重要數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用研究，使學(xué)生從本質(zhì)上理解函數(shù)，知道方程、分類討論方法在解決函數(shù)問題當(dāng)中的重要性。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)；方程思想；分類討論思想；應(yīng)用

中圖分類號：0174

一、背景提出

高中階段的數(shù)學(xué)教育，是在初中數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)上對學(xué)生進(jìn)行的進(jìn)一步教育，使學(xué)生不僅在知識理解、解題技能上有了提高，也使學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法有了更深層的理解。因而，在平時的學(xué)習(xí)中，我們除了知識、能力等最基本素養(yǎng)的培養(yǎng)外，也應(yīng)重視對思想方法素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升。

高中階段的學(xué)習(xí)，不僅僅注重學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，更注重學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)及內(nèi)涵的理解和運(yùn)用。在新課改中，這種對數(shù)學(xué)本質(zhì)及內(nèi)涵的理解與應(yīng)用以數(shù)學(xué)思想方法的形式呈現(xiàn)出來，近年來對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法綜合應(yīng)用能力的考查已越來越成為高考命題的核心部分。而函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性概念之一，也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容及數(shù)學(xué)教學(xué)的主線。本文以函數(shù)的思想為主線，結(jié)合方程思想、分類討論思想這兩種重要數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用研究，使學(xué)生從本質(zhì)上理解函數(shù)，知道數(shù)學(xué)思想方法的重要性，明白數(shù)學(xué)思想方法在解題中有密不可分的聯(lián)系，使學(xué)生達(dá)到思維系統(tǒng)連貫，邏輯脈絡(luò)清晰嚴(yán)謹(jǐn)，以形成數(shù)學(xué)基礎(chǔ)素養(yǎng)。

二、函數(shù)及函數(shù)思想概述

函數(shù)概念的歷史發(fā)展是一個漫長的過程，從公園前2500年開始。最早提出函數(shù)（function）概念的，是1692年德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨。后又經(jīng)歷了貝努利、歐拉等人的改譯。在1837 年狄利克雷（（Dirichlet，德，18051859）給出了深層次的函數(shù)概念：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的 x 值，y 都有一個或多個確定的值，那么 y 叫做 x 的函數(shù)”[1].這一概念被認(rèn)為是經(jīng)典的函數(shù)概念。1930 年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為：若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素 y 與之對應(yīng)，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為 y=f（x），元素x稱為自變元，元素 y 稱為因變元，繼而現(xiàn)代函數(shù)概念形成[2].用集合對應(yīng)的觀點(diǎn)定義函數(shù)，這一定義一直延續(xù)至今。函數(shù)思想是在函數(shù)概念的發(fā)展過程中順應(yīng)產(chǎn)生的，函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是從已知中提煉數(shù)學(xué)語言，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再用函數(shù)的關(guān)系解決問題，也是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識”。

三、函數(shù)思想的應(yīng)用研究

反思：從本題可以看出在高中函數(shù)解題中常將函數(shù)與方程結(jié)合起來應(yīng)用，二者有密不可分的關(guān)系，結(jié)合起來的數(shù)學(xué)方法叫函數(shù)與方程思想方法，本題選取了高中里一個重要的數(shù)學(xué)題型，同時我們也應(yīng)該注意，高中函數(shù)可以結(jié)合在多知識點(diǎn)中考查，其考查本質(zhì)在于學(xué)生看到函數(shù)存在等式關(guān)系時就應(yīng)該自然聯(lián)想到函數(shù)與方程思想，我們總在強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過程中不應(yīng)該思維固化，但遇到函數(shù)等式問題我們應(yīng)該立刻反映出方程的解題思想，進(jìn)而再根據(jù)具體問題，選取具體方法。

（二）函數(shù)思想結(jié)合分類討論思想的具體運(yùn)用研究

例 討論f（x）=x+αx+1nx的單調(diào)性.

分析：本題主要考查含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)問題中的一個重要題型，題目看似簡單，但區(qū)間的分類確是難點(diǎn)所在，要想掌握好函數(shù)單調(diào)性問題，就要充分理解并掌握分類討論思想，本題的解題切入點(diǎn)是求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而對導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分類討論，要求學(xué)生有條理的分類，同時我們也應(yīng)該知道求函數(shù)單調(diào)性的重點(diǎn)是要找到函數(shù)的零點(diǎn)，再對零點(diǎn)的左右區(qū)間進(jìn)行分類討論，綜合所有的解得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

反思：含參數(shù)的函數(shù)求解單調(diào)性是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，參數(shù)復(fù)雜多變，要求學(xué)生有條理的進(jìn)行分類才能解決這類問題。在江蘇高考數(shù)學(xué)卷壓軸題中，含參函數(shù)的分類討論是難點(diǎn)，也是拉開學(xué)生分?jǐn)?shù)差距的一種題型，糾其原因是學(xué)生在進(jìn)行分類討論時，不能有條理的分類，所以要想做到準(zhǔn)確分類，首先應(yīng)該教學(xué)生明確對什么進(jìn)行分類，分類標(biāo)準(zhǔn)是什么，進(jìn)而再結(jié)合具體問題逐級求解。在平時學(xué)習(xí)的過程中學(xué)生應(yīng)該總結(jié)不同題型的分類標(biāo)準(zhǔn)，在教學(xué)時教師也要注意數(shù)學(xué)思想方法的歸類教學(xué)，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)，突出難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生自己進(jìn)行歸納總結(jié)。

四、結(jié)語

通過以函數(shù)思想為主線結(jié)合兩種重要數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)例研究使我們了解到，函數(shù)知識在高中數(shù)學(xué)中占有重要的地位，貫穿在整個高中數(shù)學(xué)知識教學(xué)、學(xué)習(xí)的全過程中，是在初中函數(shù)知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上的進(jìn)一步的拓展與延伸。同時我們也清楚各知識之間不是相互獨(dú)立的，而是緊密聯(lián)系在一起的。在解題時不可孤立知識看問題，充分利用已知與未知之間的聯(lián)系，多角度的考慮問題，達(dá)到認(rèn)真、嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)致的地步。教師在教學(xué)時要對學(xué)生以前所學(xué)知識有系統(tǒng)的把握，對整個高中數(shù)學(xué)知識有深入理解，這樣在教學(xué)時可以完整、精確的講述數(shù)學(xué)知識，這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)知識時可以減少繁雜的過程，使學(xué)生學(xué)習(xí)到系統(tǒng)完整、條理清晰、思維連貫的數(shù)學(xué)知識，同時在教學(xué)過程中多滲透基本的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)、歸納、提煉常用的方法，達(dá)到快速解題，使自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]尤維明.不斷前進(jìn)的函數(shù)發(fā)展史[J].初中生世界（八年級），2016，（2）：7475.

[2]蔡上鶴.高中數(shù)學(xué)新教材第二章教學(xué)問答[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2001，（1）：16.

作者簡介：田研（1993），女，漢族，吉林梅河口人，南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院在讀碩士研究生，研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)） 。