華明月

摘要：概率和統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科，隨機(jī)現(xiàn)象在生活中隨處可見。將概率統(tǒng)計(jì)知識列為中學(xué)數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容有實(shí)用性和必要性。但由于概率統(tǒng)計(jì)本身存在大量不確定性概念，對學(xué)生的學(xué)習(xí)與理解造成了困難，導(dǎo)致學(xué)生在處理概率統(tǒng)計(jì)問題時(shí)十分容易出現(xiàn)問題。本文就學(xué)生學(xué)習(xí)、教師教學(xué)中遇到的問題加以分類，并進(jìn)行分析，希望可以對學(xué)生學(xué)法、教師教法提供幫助。

關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計(jì)；中學(xué)教學(xué)；典型錯(cuò)誤

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）11-0091

隨機(jī)現(xiàn)象在日常生活中隨處可見，概率和統(tǒng)計(jì)就是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科。它為人們認(rèn)識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法。正是由于概率統(tǒng)計(jì)的這種廣泛應(yīng)用性，美、英、法等發(fā)達(dá)國家，在基礎(chǔ)教育階段就非常注重學(xué)生概率統(tǒng)計(jì)知識的獲得和概率統(tǒng)計(jì)觀念的培養(yǎng)。2001年，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》頒布，我國正式啟動新一輪基礎(chǔ)教育課程改革。隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)逐步得到重視，特別是義務(wù)教育階段，新課程在三個(gè)學(xué)段中都把“統(tǒng)計(jì)與概率”列為重要的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，突出了其重要性，起到很好的導(dǎo)向作用。而概率統(tǒng)計(jì)知識對學(xué)生的數(shù)據(jù)處理等方面能力的培養(yǎng)也具有很重要的作用。

但概率統(tǒng)計(jì)知識看似簡單，實(shí)質(zhì)上是不少學(xué)生的軟肋。有研究發(fā)現(xiàn)，我國學(xué)生在概率概念認(rèn)識方面主要存在14組錯(cuò)誤：1. 主觀判斷；2. 舉例說明可能與不可能；3. 可能便是必然；4. 機(jī)會不能量化及預(yù)測；5. 等可能性；6. 預(yù)言結(jié)果法；7. 每次機(jī)會與頻率無關(guān)；8. 用數(shù)據(jù)匹配和文字匹配來解釋機(jī)會值；9. 一再重復(fù)并無益；10. 順勢與逆勢；11. 用自己的方法比較機(jī)會值；12. 將有著不同順序的結(jié)果視為一樣的；13. 誤用或者不當(dāng)?shù)赝茝V結(jié)論；14. 用自己的方法計(jì)算機(jī)會。

通過前面的簡單敘述，可以看出不論是碩士、博士或是一線教師都把中學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)，以及如何避免學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤，當(dāng)成重點(diǎn)研究。有之前教育工作者的研究成果，筆者決定重新整理概率易錯(cuò)類型，首先明確概率概念，進(jìn)而分析典型錯(cuò)誤。力圖做到讓學(xué)生“知其然，知其所以然”，把明確概率統(tǒng)計(jì)概念放在首位。下面的論述均以中學(xué)數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)知識為背景，從基礎(chǔ)知識分析、典型錯(cuò)題、錯(cuò)題正解等三個(gè)方面對筆者分類的幾種典型錯(cuò)誤進(jìn)行具體分析。

概率與統(tǒng)計(jì)是人們了解不確定性數(shù)學(xué)現(xiàn)象的重要工具。在現(xiàn)實(shí)社會生產(chǎn)、生活中，存在著大量不確定性的數(shù)學(xué)問題，其中蘊(yùn)含著確定性的結(jié)論，對于指導(dǎo)人們從事社會生產(chǎn)、生活具有十分重要的意義。因此，概率與統(tǒng)計(jì)以近半個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)入高中課本。但也正是概率統(tǒng)計(jì)知識的“不確定性”，使學(xué)生在理解運(yùn)用知識點(diǎn)時(shí)遇到很多問題。通過筆者的分析，認(rèn)為以上李俊在《中小學(xué)概率教與學(xué)》中指出的14種的錯(cuò)誤可以加以合并，重新分類為以下七種：“非等可能”與“等可能”混同；“互斥”與“獨(dú)立”混同；“互斥”與“對立”混同；“條件概率P（B|A）”與“積事件的概率P（AB）”混同；“有序”與“無序”混同；“可辯認(rèn)”與“不可辨認(rèn)”混同。

由于概率統(tǒng)計(jì)知識中存在大量的抽象和不確定，并且在中學(xué)的知識體系中，該部分的知識相對獨(dú)立。盡管學(xué)生在義務(wù)教育階段以及辯證法學(xué)習(xí)過程中已經(jīng)接觸了一些偶然性與必然性的知識，但學(xué)生對偶然性與必然性的了解還比較膚淺，僅僅停留在定性甚至是感性認(rèn)識的水平之上。而概率是揭示偶然世界規(guī)律性的科學(xué)，它所研究的隨機(jī)現(xiàn)象是偶然的，但又有一定的規(guī)律性，偶然中蘊(yùn)涵著必然；它總是通過對事件外顯數(shù)據(jù)的研究，達(dá)到對事件本質(zhì)的把握；學(xué)生通過高中概率的學(xué)習(xí)可以從定量和理性的層次上更深入地認(rèn)識偶然性與必然性的本質(zhì)。處理這類問題時(shí)基本不能套用之前的思維模式，如何跳出定式，對教師教法是個(gè)很大的挑戰(zhàn)。為了打破這種僵局，教師應(yīng)該利用多種途徑縮短認(rèn)知差距。

一、確立隨機(jī)思想，提高課堂效率

統(tǒng)計(jì)與概率中存在著大量的試驗(yàn)，需要學(xué)生通過親自參與來學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容，掌握數(shù)據(jù)處理的方法。這些活動將會極大地促進(jìn)教師與學(xué)生地位的根本改變。教師將由傳統(tǒng)的知識傳授者向活動的參與者、引導(dǎo)者、合作者轉(zhuǎn)變；由傳統(tǒng)的教學(xué)支配者、控制者向?qū)W生學(xué)習(xí)的組織者、促進(jìn)者和指導(dǎo)者轉(zhuǎn)變；由傳統(tǒng)的靜態(tài)知識占有者向動態(tài)的研究者轉(zhuǎn)變。學(xué)生將由被動接受知識的容器轉(zhuǎn)變?yōu)榛顒訉W(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)者、主持者、參與者。教師應(yīng)該意識到，在解題過程中套用模式來解概率統(tǒng)計(jì)題往往是不能奏效的，甚至?xí)?dǎo)致思想僵化，原因是概率統(tǒng)計(jì)的隨機(jī)性使得模式具有多樣性和不重復(fù)性。機(jī)械地模仿只能解決常規(guī)問題，無益于解決活的問題，更無益于創(chuàng)造性能力的提高。首先，教師應(yīng)經(jīng)常向?qū)W生介紹包含隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)例。比如百年一遇的洪澇災(zāi)害、每年數(shù)以萬計(jì)的交通事故、氣候的瞬息萬變、股票價(jià)格的波動起伏等現(xiàn)象。其次，在介紹一些重要結(jié)論時(shí)，要不斷提醒大家注意體會其中的隨機(jī)性。比如，拋擲硬幣正面和反面向上的概率都是0.5，但可能一個(gè)班的所有學(xué)生拋100次正面向上的概率都不是0.5，這就是結(jié)果的波動性。這樣生活中的生動的例子，可以幫助學(xué)生較快進(jìn)入隨機(jī)的世界，讓學(xué)生對概率統(tǒng)計(jì)有新的理性的認(rèn)識。

二、把握學(xué)科特點(diǎn)，加強(qiáng)概念教學(xué)

教學(xué)的理論和實(shí)踐告訴我們，要搞好一門課的教學(xué)，首先應(yīng)充分認(rèn)識這門課程的特點(diǎn)和規(guī)律。眾所周知，概率與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容有著明顯的不同，正是這種不同，使學(xué)生初學(xué)時(shí)不能很快適應(yīng)。在概率教學(xué)中，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)觀念；了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義，隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性；弄清隨機(jī)變量的取值規(guī)律是用概率和分布刻畫的；會用隨機(jī)觀點(diǎn)處理隨機(jī)現(xiàn)象；知道統(tǒng)計(jì)結(jié)果是概率地呈現(xiàn)的，可能有誤差；讓學(xué)生感受到確定性和隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維方法的本質(zhì)區(qū)別。

概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的主要目標(biāo)應(yīng)該是對基本的概率統(tǒng)計(jì)知識的掌握，發(fā)展思維能力，而不應(yīng)該拘泥于一味地計(jì)算和追求結(jié)果。在教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生盡可能運(yùn)用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)來處理數(shù)據(jù)，進(jìn)行模擬活動，更好地體會統(tǒng)計(jì)思想和概率的意義，如可以模擬擲硬幣的試驗(yàn)等。

三、注重實(shí)踐活動，經(jīng)歷探究過程

概率是一門實(shí)踐性很強(qiáng)的學(xué)科。概率來自于實(shí)踐，又服務(wù)于實(shí)踐?，F(xiàn)在，概率已廣泛地運(yùn)用于生產(chǎn)、生活和社會等各個(gè)領(lǐng)域。因此，在課堂教學(xué)過程中，不僅要讓學(xué)生掌握統(tǒng)計(jì)與概率的理論知識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。不論是講授新概念還是新方法，我們都要從現(xiàn)實(shí)背景出發(fā)來講清它們在解決實(shí)際問題時(shí)的應(yīng)用。如在介紹古典概型和幾何概型時(shí)，可以介紹“晚會禮物問題”“生日問題”“值的估計(jì)問題”等。

雖然教材中未提及研究性課題，但由于概率與現(xiàn)實(shí)生活存在著非常密切的聯(lián)系，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生開展與概率相關(guān)的課題研究，如學(xué)校周圍交通堵塞情況的調(diào)查、對自己所喜歡的體育比賽的研究、從概率角度看賭博與摸彩的異同點(diǎn)等，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)獨(dú)立思考與合作交流相結(jié)合的探究情景。作為學(xué)生學(xué)習(xí)活動的引導(dǎo)者和幫助者，教師應(yīng)盡可能采用“質(zhì)疑——猜測——交流——驗(yàn)證”的教學(xué)模式，讓學(xué)生主動地發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，深化用概率解決實(shí)際問題的意識，并以此來培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神。

本文探究了中學(xué)數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)中的典型錯(cuò)誤，一方面希望可以對教師教學(xué)有所幫助，另一方面希望可以拓展開來，對整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)都有所思考。

（作者單位：內(nèi)蒙古包頭市一機(jī)一中 014000）