例談化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用

陳斌

所謂化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，就是指在分析處理問題時(shí)，把那些待解決或難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，從而求得原問題解答的一種思維方法。它是數(shù)學(xué)思維方法中的一個重要組成部分。

1944年波利亞發(fā)表的《怎樣解題表》，這是數(shù)學(xué)史上對化歸思想給出具有代表意義的作品，這部作品中體現(xiàn)了運(yùn)用化歸思想解決具體數(shù)學(xué)問題的優(yōu)越性。波利亞認(rèn)為解決數(shù)學(xué)問題的具體思維過程分為四個階段：弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。這四個階段的思想實(shí)質(zhì)是：理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思。他在表中引出一系列的問題，通過對問題的分析和解決過程，啟發(fā)尋找解決問題的途徑。弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧這種思維過程的核心在于不斷地變換問題，連續(xù)地簡化問題，把解決數(shù)學(xué)問題看成是對問題化歸的過程，最終化歸到已掌握的知識或熟悉的問題上，從而使問題得以解決。

下面就數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到的問題舉幾個化歸與轉(zhuǎn)化的例子。

例1.已知（x-2）+nf（2-3x）=■（m2≠n2），求f（x）的解析式。

簡解：若設(shè)輔助函數(shù)u=3x-2，則x=■，就可以將已知的等式轉(zhuǎn)化為mf（u）+nf（-u）=u …（1）

再將（1）式中的u代換為-u，得mf（-u）+nf（u）=-u …（2）

由（1）（2）聯(lián)立的關(guān)于f（u）和f（-u）的二元一次方程組，容易解出f（u）=■=■ 故f（x）=■。

注：這是一個函數(shù)方程問題，一般要轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程組的問題來解決。

例2.若關(guān)于x的方程x2-mx+2=0在區(qū)間[1，2]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

簡解：分離參數(shù)m，m=x+■ x∈[1，2]，因?yàn)閥=x+■在[1，■]單調(diào)遞減，在[■，2]上單調(diào)遞增，所以x∈[■，3]。

注：分離參數(shù)后問題轉(zhuǎn)化成了求函數(shù)的值域。

例3.求函數(shù)y=ln（x2-2x+3）的值域。

簡解：設(shè)t=x2-2x+3，則y=lnt，因?yàn)閠=（x-1）2+2，所以，t≥2，又y=lnt在[2，+∞）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)單位值域是[ln2，+∞）。

注：通過換元法把問題轉(zhuǎn)化成兩個基本初等函數(shù)的單調(diào)性和值域問題。

例4.比較0.70.5和0.70.6的大小。

簡解：因?yàn)閥=0.7x在R上是減函數(shù)，又0.5<0.6，

∴0.70.5>0.70.6

注：構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，把兩個靜態(tài)的數(shù)轉(zhuǎn)化為動態(tài)函數(shù)的兩個值，用函數(shù)的單調(diào)性來比較大小。

例5.已知函數(shù)f（x）=x2-1+x2+kx。

（1）若k=2，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；

（2）若關(guān)于x的方程f（x）=0在（0，2）上有2個不同的解x1，x2求k的取值范圍，并證明■+■<4。

簡解：（1）f（x）=2x2+2x-1，x<-1或x>12x+1，-1≤x≤1

若x<-1或x>1，令2x2+2x-1=0，得x=■或x=■（舍去）

若-1≤x≤1，令2x+1=0，得x=-■，

綜上，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為■或-■。

（2）f（x）=2x2+kx-1，1

因?yàn)榉匠?x2+kx-1=0在（1，2）上至多有1個實(shí)根，方程kx+1=0，在（0，1]上至多有一個實(shí)根，結(jié)合已知，可得方程f（x）=0在（0，2）上的兩個解x1，x2中的1個在（0，1]，1個在（1，2）。不妨設(shè)x1∈（0，1]，x2∈（1，2），

法一：設(shè)g（x）=2x2+kx-1

數(shù)形結(jié)合可分析出k<0g（1）<0，解得-■0

x1=-■，x2=■

■+■=■，-■

令t=-k，t∈（1，■），■+■=■在t∈（1，■）上遞增，

當(dāng)t=■時(shí)，■+■=4。因?yàn)閠∈（1，■），所以■+■<4。

法二：由f（x）=0，可知k=-■，0

作出h（x）=-■，0

可得-■

注：（1）函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成解方程的問題。

（2）本問是已知方程的實(shí)根分布求參數(shù)的范圍，法一：轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合列出不等式組求解，不等式用函數(shù)的單調(diào)性證明；法二簡潔，歸功于轉(zhuǎn)化方向，即分離參數(shù)，通過新函數(shù)的圖象性質(zhì)來解決。

化歸思想方法是數(shù)學(xué)的一種重要思想方法，在運(yùn)用化歸思想方法解決問題并非一成不變的模式，它具有靈活性和多樣性的特點(diǎn)，需要結(jié)合問題本身的已知充分發(fā)散思維，去探求能夠有效解決問題的途徑和方法，所以學(xué)習(xí)并能熟練運(yùn)用劃歸思想，有意識地對問題進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，從而靈活地去解決相關(guān)問題，有助于學(xué)生提高對待變化問題的應(yīng)變能力，從而提高解決問題的能力，最終達(dá)到提高數(shù)學(xué)能力的目的。