陳斌
所謂化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,就是指在分析處理問題時(shí),把那些待解決或難解決的問題,通過某種轉(zhuǎn)化過程,歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題,從而求得原問題解答的一種思維方法。它是數(shù)學(xué)思維方法中的一個重要組成部分。
1944年波利亞發(fā)表的《怎樣解題表》,這是數(shù)學(xué)史上對化歸思想給出具有代表意義的作品,這部作品中體現(xiàn)了運(yùn)用化歸思想解決具體數(shù)學(xué)問題的優(yōu)越性。波利亞認(rèn)為解決數(shù)學(xué)問題的具體思維過程分為四個階段:弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。這四個階段的思想實(shí)質(zhì)是:理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思。他在表中引出一系列的問題,通過對問題的分析和解決過程,啟發(fā)尋找解決問題的途徑。弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧這種思維過程的核心在于不斷地變換問題,連續(xù)地簡化問題,把解決數(shù)學(xué)問題看成是對問題化歸的過程,最終化歸到已掌握的知識或熟悉的問題上,從而使問題得以解決。
下面就數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到的問題舉幾個化歸與轉(zhuǎn)化的例子。
例1.已知(x-2)+nf(2-3x)=■(m2≠n2),求f(x)的解析式。
簡解:若設(shè)輔助函數(shù)u=3x-2,則x=■,就可以將已知的等式轉(zhuǎn)化為mf(u)+nf(-u)=u …(1)
再將(1)式中的u代換為-u,得mf(-u)+nf(u)=-u …(2)
由(1)(2)聯(lián)立的關(guān)于f(u)和f(-u)的二元一次方程組,容易解出f(u)=■=■ 故f(x)=■。
注:這是一個函數(shù)方程問題,一般要轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程組的問題來解決。
例2.若關(guān)于x的方程x2-mx+2=0在區(qū)間[1,2]上有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
簡解:分離參數(shù)m,m=x+■ x∈[1,2],因?yàn)閥=x+■在[1,■]單調(diào)遞減,在[■,2]上單調(diào)遞增,所以x∈[■,3]。
注:分離參數(shù)后問題轉(zhuǎn)化成了求函數(shù)的值域。
例3.求函數(shù)y=ln(x2-2x+3)的值域。
簡解:設(shè)t=x2-2x+3,則y=lnt,因?yàn)閠=(x-1)2+2,所以,t≥2,又y=lnt在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)單位值域是[ln2,+∞)。
注:通過換元法把問題轉(zhuǎn)化成兩個基本初等函數(shù)的單調(diào)性和值域問題。
例4.比較0.70.5和0.70.6的大小。
簡解:因?yàn)閥=0.7x在R上是減函數(shù),又0.5<0.6,
∴0.70.5>0.70.6
注:構(gòu)造指數(shù)函數(shù),把兩個靜態(tài)的數(shù)轉(zhuǎn)化為動態(tài)函數(shù)的兩個值,用函數(shù)的單調(diào)性來比較大小。
例5.已知函數(shù)f(x)=x2-1+x2+kx。
(1)若k=2,求函數(shù)f(x)的零點(diǎn);
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=0在(0,2)上有2個不同的解x1,x2求k的取值范圍,并證明■+■<4。
簡解:(1)f(x)=2x2+2x-1,x<-1或x>12x+1,-1≤x≤1
若x<-1或x>1,令2x2+2x-1=0,得x=■或x=■(舍去)
若-1≤x≤1,令2x+1=0,得x=-■,
綜上,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為■或-■。
(2)f(x)=2x2+kx-1,1 因?yàn)榉匠?x2+kx-1=0在(1,2)上至多有1個實(shí)根,方程kx+1=0,在(0,1]上至多有一個實(shí)根,結(jié)合已知,可得方程f(x)=0在(0,2)上的兩個解x1,x2中的1個在(0,1],1個在(1,2)。不妨設(shè)x1∈(0,1],x2∈(1,2), 法一:設(shè)g(x)=2x2+kx-1 數(shù)形結(jié)合可分析出k<0g(1)<0,解得-■ x1=-■,x2=■ ■+■=■,-■ 令t=-k,t∈(1,■),■+■=■在t∈(1,■)上遞增, 當(dāng)t=■時(shí),■+■=4。因?yàn)閠∈(1,■),所以■+■<4。 法二:由f(x)=0,可知k=-■,0 作出h(x)=-■,0 可得-■ 注:(1)函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成解方程的問題。 (2)本問是已知方程的實(shí)根分布求參數(shù)的范圍,法一:轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題,數(shù)形結(jié)合列出不等式組求解,不等式用函數(shù)的單調(diào)性證明;法二簡潔,歸功于轉(zhuǎn)化方向,即分離參數(shù),通過新函數(shù)的圖象性質(zhì)來解決。 化歸思想方法是數(shù)學(xué)的一種重要思想方法,在運(yùn)用化歸思想方法解決問題并非一成不變的模式,它具有靈活性和多樣性的特點(diǎn),需要結(jié)合問題本身的已知充分發(fā)散思維,去探求能夠有效解決問題的途徑和方法,所以學(xué)習(xí)并能熟練運(yùn)用劃歸思想,有意識地對問題進(jìn)行數(shù)學(xué)變換,從而靈活地去解決相關(guān)問題,有助于學(xué)生提高對待變化問題的應(yīng)變能力,從而提高解決問題的能力,最終達(dá)到提高數(shù)學(xué)能力的目的。