廣東臺(tái)山市臺(tái)師高級(jí)中學(xué) 陳艷紅
設(shè)計(jì)教師:臺(tái)山市臺(tái)師高級(jí)中學(xué)陳艷紅
教學(xué)年級(jí):高三
授課時(shí)間:40 分鐘
三角函數(shù)的最值問題是三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用,是和三角函數(shù)求值問題并重的題型,是高考必考內(nèi)容.
解這類題,不僅用到三角函數(shù)的各種知識(shí),而且涉及到求最值的諸多方法,因而成為高考命題的熱點(diǎn).
1.掌握三角函數(shù)最值的常見求法,能運(yùn)用三角函數(shù)最值解決一些實(shí)際問題.
2.培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式、綜合解題的能力。
3.培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理的能力。
1.利用基本不等式求最值。
2.利用配方法求最值。
3.利用輔助角公式及有關(guān)函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)進(jìn)行求最值。
通過一些基本的正弦函數(shù)的有界性,先解決一些基本的問題,然后進(jìn)行深化,過渡到較為復(fù)雜綜合型的問題,主要培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想,由較繁的題目轉(zhuǎn)化為熟悉的問題進(jìn)行解決。
在學(xué)法指導(dǎo)上,通過學(xué)生對(duì)于前面知識(shí)的回憶、結(jié)合,進(jìn)行引導(dǎo)解題,學(xué)生在解題過程中不斷思考,教師在解題中進(jìn)行整理思路,力求學(xué)生在運(yùn)用解題上掌握基本方法。
本節(jié)課的教學(xué)流程是先由簡(jiǎn)答題引入,學(xué)生利用公式適當(dāng)簡(jiǎn)化進(jìn)行回答,然后提出主要題型,學(xué)生進(jìn)行思考解題,教師在解題的同時(shí)進(jìn)行題型的拓寬、深化,達(dá)到解題的遷移,同時(shí)掌握典例的解法,最后進(jìn)行歸納,強(qiáng)調(diào)最值的基本解法。
求三角函數(shù)的最值,主要利用正、余弦函數(shù)的有界性,一般通過三角變換化為下列基本類型處理:
①引入輔助角化為型,再利用正、余弦函數(shù)的有界性來求出其最值.
②,化為二次函數(shù)在上的最值求之.
③根據(jù)正弦函數(shù)的有界性,即可分析法求最值,還可“不等式”法或“數(shù)形結(jié)合”
①配方法;②化為一個(gè)角的三角函數(shù);③數(shù)形結(jié)合法;④換元法;⑤基本不等式法。
例題1:當(dāng)時(shí),求的最值.
例題2:已知
求f(x)的最大值.
例題3:求的最值.
已知
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的最值
練習(xí)2:設(shè)函數(shù)f(x)=其中向量
(1)求f(x)的取值范圍
(2)若f(x)=1-求x;
練習(xí)3:當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值和最小值。
練習(xí)4:求函數(shù)
f(x)=sinxcosx +sinx+cosx的最小值。
練習(xí)5:設(shè)a>0,對(duì)于函數(shù)下列結(jié)論正確的是( )
A、有最大值而無最小值
B、有最小值而無最大值
C、有最大值且有最小值
D、既無最大值也無最小值
三角函數(shù)的最值問題,其本質(zhì)上是對(duì)含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求最值,因此求函數(shù)的最值方法都能適用,當(dāng)然還有其特殊的方法。
三角函數(shù)的最值都是在限定區(qū)間取得的,因此要特別注意題設(shè)中所給出的區(qū)間。求三角函數(shù)最值時(shí),一般要進(jìn)行一些代數(shù)變換和三角變換,要注意函數(shù)有意義的條件,弦函數(shù)的有界性及變換的等價(jià)性。
《走向高考》P78考例9的變式;P79“基礎(chǔ)強(qiáng)化題” 第8題。
在本節(jié)課教學(xué)中,可向?qū)W生滲透求三角函數(shù)的最值問題其實(shí)就是有關(guān)復(fù)合函數(shù)最值的問題,讓學(xué)生站在較高的角度來理解這個(gè)問題,以便于更好的學(xué)習(xí)和理解。