吉曉利

【摘要】創(chuàng)新思維是一種不依常規(guī)，力圖多角度、多層次、多方位思考問題，尋求答案或解決問題途徑的求異思維.而求異便是創(chuàng)新的基礎(chǔ).要創(chuàng)新需要先求異，數(shù)學(xué)求異往往需要發(fā)散性的去思考，盡可能多地尋找解決問題的辦法.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展自己的求異思維，多思考、多練習(xí)，創(chuàng)造適用于自己解決問題的方式，來達到與實踐相結(jié)合的教學(xué)目的.引導(dǎo)學(xué)生先求異再創(chuàng)新，突破數(shù)學(xué)常規(guī)思維，是今天數(shù)學(xué)教育工作者的重要任務(wù)之一.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；求異思維；創(chuàng)新思維；發(fā)散；思考

當(dāng)今社會的飛速發(fā)展，為知識型人才帶來了無可比擬的發(fā)展平臺.然而，發(fā)展越快，優(yōu)勝劣汰的現(xiàn)象就更加明顯，這個時候，創(chuàng)造出新的東西并應(yīng)用它會是你脫穎而出最快捷的途徑.同理，在學(xué)習(xí)的過程中，創(chuàng)造往往會讓人收獲意想不到的效果.要創(chuàng)新，則必須要尋找出不一樣的東西，要在現(xiàn)已有的東西中去求異，來加深我們對事物的認知與理解.

一、創(chuàng)新必須先求異

求異，顧名思義就是尋找不同的知識或事物，是發(fā)展創(chuàng)新的基礎(chǔ).求異思維又叫作發(fā)散思維，不同于常規(guī)思維的是，它打破了我們使用同一方法來解決類似問題的思維定式，向不同的方向，運用各種可能的設(shè)想來解決問題，得到一種新的、快捷的解題方法.也可以說，求異思維是創(chuàng)新思維的核心.

例1已知a，b，c，d均為正數(shù)，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：ac+bd≤1.

分析由已知可以直接采用代數(shù)法來解答，過程相對來說比較復(fù)雜.因為a，b，c，d都是正數(shù)，且a2+b2=1，c2+a2=1，可以運用三角函數(shù)去解，然后，采用余弦定理得出結(jié)論.

證法一把已知兩式相加，得

a2+b2+c2+d2=2，①

由a2+c2≥2ac，b2+d2≥2bd，兩式相加，得

a2+b2+c2+d2≥2（ac+bd），②

比較①和②得，ac+bd≤1.

命題得證.

命題得證.

二、求異創(chuàng)新四部曲

要創(chuàng)新必須先求異，求異不僅僅使我們表面所說的一種不一樣的思維方式，它需要建立在一定的理論基礎(chǔ)之上，并且要準確、可信.求異創(chuàng)新思維的形成不是一朝一夕的事情，需要在教學(xué)的同時，通過打破常規(guī)的思維方式，一步一步引導(dǎo)學(xué)生“多解”“多變”“多疑問”“多反思”[1]，在學(xué)習(xí)的過程中去了解，去掌握，去創(chuàng)新.

（一）多解

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們知道，一道題并不是只有一種解法.我們在遇到問題時，首先，想到的是與問題條件相一致的系統(tǒng)的解題思路，然而，這卻不一定是最快捷、最準確的方法.“多解”就是讓我們對于一個問題盡可能多地提出設(shè)想，從習(xí)慣性的思維方式中走出來.

分析由已知可以將分母通分去掉然后進行解答，認真觀察，也有很多其他的解法，可以利用換元法將已知的元素替換掉，或者引用參數(shù)量，這樣可以更加快捷地得到解題的答案，還可以運用坐標解析等等.

證法一將已知條件去分母

（二）多變

我們都知道，一道數(shù)學(xué)題不僅有不同的解法，并且問題的本身還是可以千變?nèi)f化的.我們經(jīng)常會遇到這種情況，看似相似的問題，但卻有不同的解題方法和思路，思考的出發(fā)點也不盡相同，而一個問題也同時，有多種問法，解法卻是相同的，打破了學(xué)生想著簡單模仿就可以解決問題的幻想.例如，改變條件，交換結(jié)論與條件等等，還可以由條件猜結(jié)論，由結(jié)論猜需要已知的條件，這些都需要我們從不同的方向去認識數(shù)學(xué)問題.求異創(chuàng)新，會使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加趣味盎然.

1.同一問題的不同問法

分析：上述六個問題看起來大不相同，但是如果我們仔細觀察，會發(fā)現(xiàn)這幾個問題思考的出發(fā)點和解答方法卻異曲同工，只是換了不同的問法而已.

2.相似問題的不同解法

分析由已知，我們不能直接采用均值不等式的方法，但是可以通過介入新的參數(shù)，再利用均值不等式解出答案.

解答設(shè)參數(shù)λ滿足0<λ<2，

3.猜條件，猜問題

在解決數(shù)學(xué)問題時，我們會發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)解答題總會出現(xiàn)兩個或者兩個以上的問題，需要我們從已知的條件中去尋求答案.為了讓學(xué)生更加得心應(yīng)手地解決此類問題，發(fā)現(xiàn)問題與條件、問題與問題之間的關(guān)聯(lián)，我們應(yīng)該在日常教學(xué)中對學(xué)生的解題思維加以多方面的引導(dǎo)和訓(xùn)練.例如，給出已知條件，根據(jù)條件去猜測可能會問到的問題；或者給出一個結(jié)論，要得出這一結(jié)論又需要什么條件等等.

例5直線y=ax+b交坐標軸于A、B兩點，以線段AB為邊作正方形，過點A，D，C的拋物線與直線另一個交點為E.根據(jù)以上條件，我們可以發(fā)現(xiàn)這道題的問題有哪些？

分析我們可以由上述已知條件來猜這道題可能會給出的問題：

（1）求C，D的坐標；

（2）拋物線的解析式；

（3）正方形沿著直線運動，若給出速度，求正方形落在x軸另一邊的面積S與滑行時間t的函數(shù)關(guān)系式.

例6需要已知什么條件，來證明在四棱錐S-ABCD中，M是側(cè)棱SC的中點（如圖1）？

分析由題給的結(jié)論，若我們要證明該結(jié)論，則需要已知的條件有：

（1）底面ABCD為矩形，且SD⊥底面ABCD；

（2）AD=a，DC=SD=b；

（3）∠ABM=60°，M在側(cè)棱SC上.

（三）多疑問

數(shù)學(xué)試卷的解答題有一個明顯的特征，就是一題多問，不論是數(shù)列，函數(shù)還是代數(shù)問題，往往不會只有一個或者兩個問題，總會有那么一兩道如同附加小題的存在，讓我們束手無策，甚至?xí)捎诳荚嚂r間問題而放棄解答.數(shù)學(xué)問題中，題目所給出的已知條件會帶有不一樣的問題和結(jié)論，這就需要強大的綜合知識，系統(tǒng)性地來解決，更要在日常學(xué)習(xí)中對于所學(xué)到的知識反復(fù)了解，求異和創(chuàng)新，會有意想不到的收獲.

例6在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于點M，交PC于點N.

（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；

（2）求直線CD與平面ACM所成的角的大小；

（3）求點N到平面ACM的距離.

解答由題意可作圖，如圖2.

（1）由題可知，AC是所作球面的直徑，則AM⊥MC.

又因為PA⊥底面ABCD，

則PA⊥CD，又CD⊥AD，

所以CD⊥平面PAD.

則CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD.

（2）如圖所示，建立直角坐標系，

則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；

設(shè)平面ACM的一個法向量n=（x，y，z），

由n⊥AC，n⊥AM，可得2x+4y=0，2y+2z=0.

令z=1，則n=（2，-1，1）.

（3）由條件可得，AN⊥NC，

一道習(xí)題在相同條件下可以提出很多問題，就上述問題而言，我們還可以試求球體在四棱錐平面PCD切割的圓的表達式或者面積等問題.當(dāng)然，求異創(chuàng)新并不是局限于此，我們還可以將思維擴散到其他方面，如，三角函數(shù)，代數(shù)求值問題等等，使我們對數(shù)學(xué)知識的探索更深一層.

（四）多反思

“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，從古至今，多少人用實際行動來證明了學(xué)習(xí)與思考之間的關(guān)系.作為一門學(xué)科，數(shù)學(xué)是所有教學(xué)者和學(xué)習(xí)者的一大難題，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與思考之間聯(lián)系之緊密，在學(xué)習(xí)的過程中我們都有著深刻的體會.在解決數(shù)學(xué)問題的時候，我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)，運用常規(guī)的思維方式有時候不僅解決不了問題，反而會走入一個死胡同，這就需要我們在日常學(xué)習(xí)過程中多反思，在求異創(chuàng)新的基礎(chǔ)上加強我們的解題能力.

例7設(shè)a，b都是自然數(shù)，當(dāng)a2+b2除以a+b時，商為q，余數(shù)為r，試求出所有數(shù)對（a，b），使q2+r=1 977.

思考這是一道難度相對較大的代數(shù)問題，我們看到問題的時候，總會考慮首先將商和余數(shù)如何代入原公式，然后解答.這時，我們會發(fā)現(xiàn)，已經(jīng)沒有辦法進行下一步解答.那么，如何解決這道習(xí)題，我們就應(yīng)該考慮從不同條件、不同方向入手.

解由q2+r=1 977可以得到隱含條件

r≥0，q>0，r，q∈Z，

∴q2≤1 977，q≤44.

又當(dāng)q≤43時，有r≥128，

a2+b2=q（a+b）+r≤44（a+b），

而（a+b）2≤2（a2+b2）≤88（a+b）a+b≤88與r≥128矛盾，

所以q=44，r=41.

將q=44，r=41代入條件①有

a2+b2=44（a+b）+41，

即（a-22）2+（b-22）2=1 009.

于是原題就轉(zhuǎn)化為求二元不定方程在自然數(shù)集內(nèi)的特解問題，用驗算法找出

a=50，b=7或a=50，b=37.

故滿足問題的數(shù)對只有（50，7）或（50，37）.

蘇霍姆林斯基曾說：“一個人到學(xué)校，不僅是獲得一份知識的行囊，而主要是獲得聰明.因此，我們的主要的努力就不應(yīng)用在記憶上，而應(yīng)用在思考上.所以真正的學(xué)校應(yīng)是一個思考的王國，必須讓學(xué)生生活在思考的世界里.”在教與學(xué)的過程中，我們不僅僅要去學(xué)習(xí)，更加要求思考，不僅要讓學(xué)生知道該怎樣做，更要讓學(xué)生知道為什么這樣做，甚至于學(xué)生的突發(fā)奇想，發(fā)現(xiàn)其他的、合理的做法，我們都應(yīng)該加以鼓勵和引導(dǎo).

三、數(shù)學(xué)與求異創(chuàng)新

我們知道，數(shù)學(xué)解題中的求異創(chuàng)新往往會帶來出其不意的收獲，數(shù)學(xué)與求異創(chuàng)新息息相關(guān).可以說，數(shù)學(xué)離不開求異創(chuàng)新.一般來說，數(shù)學(xué)上的新概念、新設(shè)計、 新模型、 新方法等都是創(chuàng)造性思維的結(jié)果[2].先求異再創(chuàng)新已經(jīng)成為突破數(shù)學(xué)常規(guī)思維的一個方向和方法.事實上，一個新的數(shù)學(xué)成果，在形成之前的思維方式都是求異思維的結(jié)果.

吉爾福特說：“正是在擴散性思維中，我們看到了創(chuàng)造性思維最明顯的標志.”擴散性思維又等同于求異思維的能力.它具有找到符合問題要求的多種答案的能力.作為教學(xué)者，我們要求將求異思維通過與現(xiàn)實相連并且以豐富的知識和創(chuàng)新的邏輯形式傳授給學(xué)生，以這種非嚴格科學(xué)意義上的數(shù)學(xué)教育，讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)的作用，才能使學(xué)生將求異創(chuàng)新思維更好地應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中.

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