胡長城 陳鐵松

(長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校 吉林 長春 130021)

關(guān)于手指轉(zhuǎn)筆模型的分析

胡長城 陳鐵松

(長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校 吉林 長春 130021)

針對(duì)一道關(guān)于轉(zhuǎn)筆模型的物理競賽試題，從不同的角度給出題目的解法，使讀者對(duì)模型的認(rèn)識(shí)更加透徹，并進(jìn)一步掌握質(zhì)心坐標(biāo)系的應(yīng)用.

轉(zhuǎn)筆模型 參考系 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律

1 題目

在你思考問題時(shí)有用手指轉(zhuǎn)筆的習(xí)慣嗎？請你用下述剛體簡化模型，進(jìn)行分析計(jì)算.

手指轉(zhuǎn)筆的剛體簡化模型：如圖1所示，設(shè)手指為半徑為R的圓柱，筆看成質(zhì)量為m且質(zhì)量分布均勻的細(xì)直桿，其回轉(zhuǎn)半徑為ρ(對(duì)質(zhì)心C轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為mρ2). 設(shè)手指保持不動(dòng)，開始時(shí)筆在距質(zhì)心C距離為ρ的A處與手指相切，初角速度為ω0.設(shè)ρ>πR，且筆始終在垂直于手指的同一平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，忽略筆重力的影響.

求：筆(以下把筆簡稱為桿)繞手指無滑動(dòng)轉(zhuǎn)一周中，手指(以下把手指簡稱為圓柱)作用于桿的正壓力和摩擦力的大小(表示為AC長度x的函數(shù)).

圖1 手指轉(zhuǎn)筆的剛體簡化模型

2 角速度的求解

在桿旋轉(zhuǎn)的過程中，桿在某時(shí)刻的角速度是一個(gè)關(guān)鍵的物理量，先把角速度這個(gè)關(guān)鍵的物理量表示成x的函數(shù). 桿在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒

其中I0是桿在初始位置時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

I0=mρ2+mρ2=2mρ2

I是桿轉(zhuǎn)到AC長度為x時(shí)候的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

I=mρ2+mx2

解得

3 正壓力的求解

方法1：通過運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系求出質(zhì)心的切向加速度，進(jìn)一步利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律求解

解題思路：利用運(yùn)動(dòng)學(xué)的關(guān)系求出桿質(zhì)心速度，進(jìn)一步求導(dǎo)得到桿質(zhì)心的切向加速度. 利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律求解圓柱對(duì)桿的支持力.

設(shè)某時(shí)刻桿繞圓柱旋轉(zhuǎn)的角速度為ω，A點(diǎn)是桿的速度瞬心，則桿質(zhì)心的速度大小vC=ωx,將質(zhì)心速度大小(即速率)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得質(zhì)心的切向加速度

如圖2所示，由桿做純滾動(dòng)的條件x=ρ-Rθ，兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

而

得

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律得

圖2 方法1分析圖

方法2：利用加速度的牽連關(guān)系求出桿質(zhì)心的加速度，進(jìn)一步利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律求解

解題思路：通過加速度的牽連關(guān)系找出在地面系中桿上A點(diǎn)的加速度，進(jìn)一步表示出桿質(zhì)心的切向加速度，利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律求解支持力.

設(shè)桿上與圓柱的接觸點(diǎn)為點(diǎn)A，圓柱上與桿的接觸點(diǎn)為點(diǎn)A′. 假設(shè)有一靜止桿，圓柱在其上面純滾動(dòng)，則圓柱上與桿接觸點(diǎn)和桿上與圓柱接觸點(diǎn)的相對(duì)加速度為ω2R，其中ω為圓柱體滾動(dòng)的角速度，R為圓柱體的半徑. 此題中選擇與桿靜止參考系(此參考系既平動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng))，則A與A′相對(duì)加速度亦為ω2R.將A與A′兩點(diǎn)加速度由桿靜止參考系變換至地面系中，變換式為

a=a牽+a′+ω×(ω×r)+β×r+2ω×v′

由于A與A′矢徑r，相對(duì)桿靜止參考系的速度v′均相同，故在地面系下的相對(duì)加速度不變，則aA=ω2R，方向由O指向A.如圖3所示，以A點(diǎn)為基點(diǎn)(參考系)來表示桿質(zhì)心C的加速度

圖3 方法2分析圖

由于A點(diǎn)為桿上與桿固連的點(diǎn)，故A點(diǎn)與C點(diǎn)之間無相對(duì)速度，故

根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律

注意：aA=ω2R也可通過以下方式求得到.設(shè)無窮小時(shí)間dt里，桿轉(zhuǎn)過dθ角，則桿上原A點(diǎn)與現(xiàn)在A點(diǎn)的距離為dl=Rdθ，則

dvA=ωdl=ωRdθ

方法3：利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解

解題思路：在質(zhì)心系中考察體系相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化時(shí)，質(zhì)心是與桿固連的點(diǎn)，由于質(zhì)心系是平動(dòng)系，慣性力的大小與剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成正比，方向與質(zhì)心的加速度方向相反. 這樣，慣性力和重力一樣，慣性力對(duì)質(zhì)心的總力矩為零，即不論質(zhì)心系是慣性系還是非慣性系，在質(zhì)心系中，角動(dòng)量定理仍然適用，不需要附加慣性力的影響.

選取桿的質(zhì)心為轉(zhuǎn)動(dòng)參考點(diǎn)，應(yīng)用角動(dòng)量定理得

4 摩擦力的求解

方法1：以一個(gè)繞圓柱做圓周運(yùn)動(dòng)的幾何點(diǎn)為參考系

解題思路：以一個(gè)既不是桿上的點(diǎn)也不是圓柱上的點(diǎn)，而是一個(gè)在圓柱表面繞其做圓周運(yùn)動(dòng)的幾何點(diǎn)A″為參考系. 求出相關(guān)加速度，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律求解.

A″點(diǎn)的切向加速度

在A″系下，質(zhì)心C沿桿方向的法向加速度

則在地面系下

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得

方法2：以桿上的A點(diǎn)為參考系

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律得

5 結(jié)束語

通過以上分析可知，采用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律求解桿受到的正壓力時(shí)，需要在慣性系中表示質(zhì)心的切向加速度.方法1中為求解切向加速度需要對(duì)質(zhì)心速率進(jìn)行求導(dǎo)；方法2中以桿與圓柱接觸的A為基點(diǎn)，采用加速度牽連關(guān)系表述桿質(zhì)心C的切向加速度，上述兩種方法求解需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算和在不同參考系下進(jìn)行加速度變換，容易出現(xiàn)運(yùn)算上的錯(cuò)誤.方法3中直接選擇桿的質(zhì)心為轉(zhuǎn)動(dòng)參考點(diǎn)，這樣避免了慣性力帶來的影響，直接求出桿質(zhì)心C的切向加速度，這種方法簡單. 采用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律求解桿受到的摩擦力時(shí)，以一個(gè)繞圓柱做圓周運(yùn)動(dòng)的幾何點(diǎn)A″點(diǎn)為參考系和以桿上的A點(diǎn)為參考系有本質(zhì)的區(qū)別，A″點(diǎn)是一個(gè)做圓周運(yùn)動(dòng)的幾何點(diǎn)，不受桿的動(dòng)力學(xué)關(guān)系束縛，桿繞圓柱純滾動(dòng)保證了地面系中A點(diǎn)沿桿方向的加速度為零.

1 舒幼生.力學(xué).北京：北京大學(xué)出版社，2005.52～65

2 趙凱華，羅蔚茵.力學(xué).北京：高等教育出版社，2003.167～178

2016-12-27)