張培杰 林建忠

(浙江大學航空航天學院流體工程研究所，杭州310027)

非牛頓流體固粒懸浮流的若干問題1)

張培杰 林建忠2)

(浙江大學航空航天學院流體工程研究所，杭州310027)

非牛頓流體固粒懸浮流具有廣泛的應用背景，其特殊的流動屬性使其成為一些新興技術領域的核心突破點.同時，該流動又比較復雜，即便是在低固粒濃度的情況下，非牛頓流體特性也會對整個系統(tǒng)的微結構產生重要的影響，從而進一步影響固粒的運動.本文給出了非牛頓流體方程、固粒運動方程和非牛頓流體固粒懸浮流的特征參數(shù)，分析了這些參數(shù)的作用；闡述了單個固粒在管道中的徑向移動、多固粒的相互作用和聚集、多固粒形成的鏈狀結構以及非圓球固粒運動等方面的研究成果、結果分析以及尚未解決的問題，并對以上問題進行了總結和展望，給出了需要深入研究的具體問題和內容，旨在為進一步的研究提供參考和依據(jù).

非牛頓流體，固粒，懸浮流，綜述

引言

牛頓流體固粒懸浮流已得到了廣泛的研究[13]，自然界和實際應用中，除了水、空氣、甘油等少數(shù)牛頓流體外，絕大部分是非牛頓流體.非牛頓流體是一種具有內部結構的復雜流體，其基本特征是應力和應變率之間不滿足牛頓內摩擦定律，流體黏度依賴于剪切率，有些具有彈性或塑性，流體介質具有記憶效應即流體介質的力學屬性與介質的歷史狀態(tài)有關.非牛頓流體固粒懸浮流具有廣泛的應用背景，且這種流動因其特殊的屬性而成為一些新興技術領域的核心突破點，例如石油工業(yè)中鉆井時常用泥漿和聚合物構成的非牛頓流體來輸運巖石碎末；由清水、砂和添加劑構成的壓裂液通過液壓使巖石產生裂紋而產出石油或天然氣；又如火箭推進系統(tǒng)中的凝膠燃料，該燃料具有高燃燒能量、穩(wěn)定耐貯存的顯著優(yōu)勢.

非牛頓流體固粒懸浮流的動力學特性非常復雜，即便是在低固粒濃度的情況下，非牛頓流體特性諸如剪切變稀、拉伸變稠、第一和第二法向應力的存在都會對整個系統(tǒng)的微結構產生重要影響.固粒在流體中的分布不均勻會使懸浮流的流變特性發(fā)生劇烈的變化.然而，非牛頓流體內部結構的復雜性，也可被用來使固粒按照預期的且在牛頓流體中無法奏效的方式運動，例如在微流控技術中，讓固粒在裝置的某些指定區(qū)域內運動，從而達到計數(shù)、診斷和分離等目的；又如通過對固粒運動和分布的控制，可以優(yōu)化產品的生產過程.因此，了解和掌握非牛頓流體固粒懸浮流的動力學特性具有重要的學術價值和實際意義.

對非牛頓流體固粒懸浮流的系統(tǒng)研究起源于20世紀70年代，初始階段主要是對簡單流場進行實驗研究，旨在揭示在相似的條件下與牛頓流體相比而呈現(xiàn)出的復雜特性.隨著實驗儀器與技術的發(fā)展，人們開始關注高濃度固粒情形和復雜流場.此外，隨著計算機技術以及數(shù)值計算方法的發(fā)展，數(shù)值模擬逐漸成為對非牛頓流體固粒懸浮流研究的重要手段.由于對非牛頓流體固粒懸浮流研究的內容涉及流體性質、固粒性質和流場特性，覆蓋的范圍較寬，因此以下只對單個固粒在管道中的徑向移動、多固粒的相互作用和集聚、多固粒形成鏈狀結構以及非圓球固粒的運動進行闡述.

1 基本方程和特征參數(shù)

1.1 非牛頓流體方程

假設流體不可壓縮，非牛頓流體方程的連續(xù)性方程和動量方程為

式中，u是速度，ρf是流體密度，σ是總應力張量.不同于牛頓流體，非牛頓流體的復雜性體現(xiàn)在σ的多樣性和復雜性，對于黏彈性流體，σ可表示為

式中，p是壓力，I是單位張量，ηS是黏性系數(shù)，τ是黏彈性應力，D是應變率張量

對不同的流體要采用不同的本構關系來表示黏彈性應力τ，例如

表示Upper-Convected Maxwell流體(方程(3)中的ηS為零)和Oldroyd-B流體，其中,λ是流體的松弛時間，ηp是非牛頓流體對黏度的貢獻，為

1.2 固粒運動方程

在非牛頓流體中運動的固粒其平動滿足牛頓第二定律，轉動滿足Euler方程[4]

式中，mi和Ii分別是第i個固粒的質量和轉動慣量，Ui和ωi分別是第i個固粒的平動速度和角速度，F(xiàn)ext,i和Text,i分別是作用在第i個固粒的外力和外力矩，x是在邊界?Pi(t)上某個點的位置矢量，Xi是固粒的質心坐標，n是在邊界?Pi(t)處的單位法向矢量，dS是局部表面積.不同于牛頓流體情形，非牛頓流體總應力張量σ的復雜性使得方程(7)和方程(8)的求解比較困難.

基于單向耦合模式，聯(lián)立式 (1)～式 (4)和式(7)～式(8)以及相應的本構方程，基于一定的邊界條件和初始條件，便可以求解得到非牛頓流體的速度、壓力、應力以及固粒的平動速度和角速度，進而得到固粒的軌跡和分布.

1.3 特征參數(shù)

對于非牛頓流體固粒懸浮流，除了常用的雷諾數(shù)外，還有另外一些重要的特征參數(shù).Deborah數(shù)表示流體的松弛時間和流場的特征時間之比；黏度比表示流體黏度與總的零剪切黏度之比；密度比是固粒的密度與流體的密度之比；重力數(shù)是作用在固粒的沉降力與黏性力之比；Weissenberg數(shù)是第一法向應力差和剪切應力之比.

2 單個固粒在管道中的徑向移動

單個固粒在管道中的徑向移動的早期研究主要關注固粒在非牛頓流中運動時的阻力系數(shù)，研究發(fā)現(xiàn)固粒運動帶動流體剪切運動，導致流體的黏度變化從而改變了阻力系數(shù)[5].固粒在管道中的徑向移動是固粒在流體中運動的典型問題，具有明確的應用背景，例如在固粒分離微流控技術中，通過添加聚合物使流體具有黏彈性，進而影響固粒的運動特性來提高固粒的分離效率.對于牛頓流體，流體的慣性會使固粒沿徑向遷移到管道中心和壁面之間的某個位置，不同大小的固粒具有不同的遷移速度和徑向平衡位置.近年來利用該特性發(fā)展了“慣性聚焦”固粒分離微流控技術[6].然而，對于亞微米和納米尺度的固粒，極小的固粒雷諾數(shù)導致固粒的遷移速度非常小而分離效果不明顯.為此，通過在流體中添加聚合物，利用流體的黏彈性來加速固粒向管道中心的遷移，從而改進分離效果[79].因此，固粒在管流中的徑向移動一直是研究的熱點.

在“慣性聚焦”分離技術中，矩形管道比較普遍(圖1).Yang等[8]的實驗結果表明，當流體慣性可忽略時，固粒在黏彈性流體中會遷移到管的中心和4個角落;當流體慣性影響弱時，固粒均向中心遷移.Lim等[10]由實驗發(fā)現(xiàn)，固粒在弱彈性流體中，即使流體慣性很強，固粒也向管道中心遷移，而流體的剪切變稀特性驅使固粒偏離中心線[11].Villone等[12]研究了可忽略流體慣性時黏彈性和二次流對固粒遷移的影響,發(fā)現(xiàn)PTT黏彈性流體的固粒會向中心線和附近壁面遷移，并猜測遷移到壁面后的固粒會進一步向角落遷移，遷移方向取決于初始位置和流體彈性大小.Li等[13]研究黏彈性和慣性對固粒遷移的影響發(fā)現(xiàn),流體彈性驅使固粒向中心遷移，而流體慣性驅使固粒向壁面遷移.

以上研究結果給出了一些圓球形固粒在管流中徑向移動的結論，但仍有一些問題尚未弄清楚，例如,固粒停留在管道角落的平衡點消失時所對應的臨界雷諾數(shù)值大小以及管道截面的長寬比對固粒平衡點位置產生的影響.理論上預測,雷諾數(shù)較高時，固粒在黏彈性流體中會存在角落平衡點，但實驗研究沒有發(fā)現(xiàn)這樣的平衡點[10]，此時固粒在黏彈性流體中的平衡位置需要進一步確定.

圖1 固粒在矩形管道中的遷移Fig.1 Migration of solid particle in the rectangular tube

3 多固粒的相互作用和聚集

多個固粒在非牛頓流體中的相互作用和聚集對實際應用有直接影響，例如石油工業(yè)中的鉆井液和水力壓裂液操作時都需要輸運固粒，掌握固粒在輸運中的聚集特性有助于優(yōu)化設計，提高石油開采效率.固粒的聚集還會影響固粒分布的均勻性和減阻傳熱效果等.實驗發(fā)現(xiàn)，在黏彈性剪切變稀流體中，當間距小于臨界距離時豎直放置的兩個球形固粒會相互靠近；當間距大于臨界距離時，則會相互排斥.該排斥可能和負尾流(即沉降固粒尾流場中速度向上)有關[14].在無彈性強剪切變稀流體中，兩個相距較遠的球形固粒也會聚集(圖2)[15]，前一固粒通過時產生的低黏度通道被認為是后一固粒加速的原因.水平放置的兩個球形固粒在黏彈性剪切變稀流體中會相互靠近，兩者轉到豎直方向后穩(wěn)定沉降[16]；在無彈性剪切變稀流體中的固粒也被觀察到會徑向靠近，但轉到豎直位置后將分開[17].實驗還發(fā)現(xiàn)，多個球形固粒在黏彈性剪切變稀流體[18]和無彈性剪切變稀流體[19]中會形成沉降方向上的固粒串.

圖2 固粒的聚集[15]Fig.2 Aggregation of solid particle[15]

以上僅是實驗研究結果，但在理論和數(shù)值模擬方面的研究還存在一些問題.例如，基于黏彈性本構方程的數(shù)值模擬能夠重現(xiàn)固粒的聚集和成串現(xiàn)象[20]，基于觸變性剪切變稀模型的數(shù)值模擬也能重現(xiàn)兩固粒在相距很遠時的縱向集聚[21]，而流體彈性和剪切變稀同時存在時固粒的聚集模式尚不清楚.實驗結果顯示，固粒在近似無彈性的剪切變稀流體中存在聚集的現(xiàn)象[19]，但在無剪切變稀的黏彈性Boger流體中卻不會聚集[17]，這些結果目前還無法從數(shù)值模擬中得到，這是由于盡管數(shù)值模擬中的本構模型符合剪切流中所測量的流變特性，但未必能確切描述聚合物在復雜流場下微結構的變化.

4 多固粒形成的鏈狀結構

多個固粒在非牛頓流體中形成鏈狀結構是非牛頓多相流中重要的現(xiàn)象之一.所謂鏈狀結構,即若干固粒沿流向形成穩(wěn)定的隊列結構，就像鏈條一樣，固粒間距很小且作整體運動(圖3).固粒形成鏈狀結構后將顯著改變流動的宏觀特性，例如熱傳導性顯著提高[22]，也能被用來對亞微米和納米量級的固粒進行更有效的收集、分類與分離[2325].

Michele等[26]首次由實驗發(fā)現(xiàn)，黏彈性流體中的固粒在剪切作用下會出現(xiàn)鏈狀結構，Giesekus[27]認為，固粒間潤滑流動減弱了流體的運動速度及剪切率，法向應力差在固粒周圍形成差異，從而導致固粒相互靠近并形成鏈狀結構.

圖3 鏈狀結構形成Fig.3 Formation of chain structure

Feng等[29]則認為,彈性引起的法向應力差改變了固粒附近的壓力分布，從而導致鏈狀結構的形成.Won等[30]由實驗發(fā)現(xiàn)，在Boger流體中的固粒雖然會沿流向聚集但不會形成鏈狀結構，而在剪切變稀黏彈性流體中，則存在鏈狀結構，且該結構的特征與Weissenber數(shù)有關.Pasquino等[3134]由實驗發(fā)現(xiàn)，剪切率、固粒濃度、平板間距和固粒尺度是影響鏈狀結構形成速率及鏈條長度的主要因素.Nie和Lin[35]由數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)了剪切流中三固粒在冪律流體中的成鏈過程.Van Loon等[36]由實驗發(fā)現(xiàn)，在純剪切變稀流體中也有微弱的鏈狀結構，據(jù)此推斷剪切變稀是形成鏈狀結構的必要條件，而流體的彈性僅起到促進作用，并非必要條件，他們的這一推斷至今沒有理論解釋.Hwang等[37]由數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，在剪切變稀黏彈性流體中存在著與Weissenber數(shù)有關的鏈狀結構，這一結論后來被實驗所證實[34].他們在Oldroyd-B流體中也模擬到較弱的鏈狀結構，并據(jù)此推斷流體的彈性是形成鏈狀結構的必要條件，而剪切變稀雖有助于形成鏈狀結構，但其決定性的作用還不明確.這一結論與Jaensson等[38]的數(shù)值模擬結果一致，但與實驗結果[30,34,36]和數(shù)值模擬結果[34]不一致，其原因目前沒有合理的解釋.

由上可見，固粒在非牛頓流體中形成鏈狀結構的機理尚不清楚，是流體的彈性還是剪切變稀起主要作用還存在爭議.目前尚未建立鏈狀結構的長度、位置以及取向等特征與流場特性和固粒屬性的定量關系.此外，以往的數(shù)值模擬大多局限于二維情形且忽略了流體和固粒的慣性，因而無法與實驗結果進行比較.在對非牛頓流體中固粒形成鏈狀結構的直接數(shù)值模擬中，需引進流體的本構方程，該方程是非線性偏微分方程，求解復雜且耗時，目前還沒有兼顧精度、效率和穩(wěn)定性的數(shù)值模擬方法.

5 非圓球固粒的運動

以往的研究大多數(shù)集中在圓球固粒上，然而，許多自然現(xiàn)象和實際應用中的固粒是非圓球固粒.非圓球固粒在形狀上為非各向同性，固粒的取向和轉動與其平動高度耦合，這使得問題變得非常復雜.非圓球固粒在牛頓流體中的運動已有不少研究結果[3941]，但在非牛頓流體中運動的研究則較少.Iso等[4243]由實驗發(fā)現(xiàn)，剪切流中流體的弱彈性使圓柱形固粒的取向轉向渦量軸，而強彈性則使固粒轉到流動--剪切平面.Gunes等[44]由實驗發(fā)現(xiàn)，剪切流中的橢球固粒當長軸取向為渦量軸方向時，固粒則不會集聚，而當長軸轉到流動--剪切平面內時，固粒則會聚集，且聚集結構與球形固粒的結構不同.橢球形固粒與流向呈約30?的角度,組合成固粒柱.Bartram等[45]的研究表明，非圓球固粒在黏彈性流體中的旋轉周期比圓球固粒長，且在較低的剪切率下將偏離Je ff ery軌道.Johnson等[46]發(fā)現(xiàn)，對于Boger流體，由于存在非牛頓流體法向應力，橢球形的紅血球細胞將偏離牛頓流體時的運動軌道.當作用在細胞上的彈性力強于布朗運動的隨機力時，細胞的主軸將偏離流動方向而轉到旋渦的軸向；而當隨機力強于彈性力時，細胞主軸則更有可能指向流動方向.Gunes等[47]研究了黏彈性流體中由流動導致的橢球形固粒的取向變化.研究發(fā)現(xiàn)，當剪切率增大時，固粒的取向由隨機轉向Je ff ery軌道；當Peclet數(shù)和Weissenberg數(shù)增加時，固粒的旋轉周期變長，此時固粒的軌道逐漸呈現(xiàn)滾動狀態(tài)，導致固粒的取向往旋渦的軸向集中，這一過程的持續(xù)時間與流場的剪切率成反比；當流體的彈性更大時，固粒又將重新指向流動方向，而在Boger流體中沒有發(fā)現(xiàn)以上現(xiàn)象.Leal[48]研究了軸對稱柱狀顆粒通過一靜止二階黏彈性流體的運動以及在簡單剪切流場中的轉動.研究發(fā)現(xiàn)，在一級近似下，具有任意指向的前后對稱的固粒,其平動速率與在相當?shù)呐ｎD流體中的情形相同，但是前后不對稱的固粒則沒有這樣的結果.Harlen和Koch[49]分析了在高Deborah數(shù)情況下圓柱狀固粒在稀聚合物溶液中的運動特性.研究發(fā)現(xiàn)，當Deborah數(shù)足夠高時，在固粒速度擾動和平均剪切流動的共同作用下，會導致聚合物拉伸效應顯著加強；非牛頓流體的應力對固粒的角速度產生擾動，使得固粒偏離Je ff ery軌道而將主軸指向旋渦的軸向.與黏彈性二階流體不同的是，這一效應不依賴于第二法向應力差.Phan-Thien等[5051]在小Deborah情形下，通過扁球體固粒在Oldroyd-B剪切流中的運動，研究了流體的黏彈性效應.結果發(fā)現(xiàn)，黏彈性應力將使固粒的旋轉變緩，當應力增大時，固粒將偏離Je ff ery軌道.D’Avino等[52]研究了橢球固粒在黏彈性流體自由剪切流場中的運動，研究發(fā)現(xiàn)，在低Deborah數(shù)時，固粒由盤旋軌道轉變成繞旋渦軸的滾動軌道，而在高Deborah數(shù)時，固粒的主軸則指向流動方向.

盡管非圓球固粒在非牛頓流體中的運動已有一些研究結果，但仍然有一些問題未得到研究或澄清.例如：圓柱狀固粒在非牛頓流體管流中徑向移動的研究還未見報道；橢球固粒為何與圓球固粒的聚集結構不同、圓柱形固粒在非牛頓流體運動中相互作用的機理與結果尚不清楚；非圓球固粒在隨時間演化的非牛頓流場中的運動特性以及Stokes數(shù)、Deborah數(shù)、固粒與流體的密度比等參數(shù)對于流場以及固粒的運動與分布影響尚不清楚.

6 總結和展望

以上對單個固粒在管道中的徑向移動、多固粒的相互作用和聚集、多固粒形成的鏈狀結構以及非圓球固粒運動等方面的研究成果進行了闡述與分析.可見，以往在這幾個方面雖取得了一定的研究成果，但仍有一些問題沒有得到解決.

對于單個固粒在管道中的徑向移動，可以開展的研究包括：①圓球和橢球形固粒在矩形管道內的徑向遷移；②不同雷諾數(shù)下，固粒停留在矩形管道角落的平衡點存在與消失的特征；③流變特性、雷諾數(shù)、矩形管道截面長寬比等因素對固粒徑向遷移特性和平衡點位置的影響；④探討較高雷諾數(shù)下固粒在黏彈性流體中是否有平衡點及其平衡點的位置.

在多固粒的相互作用和聚集方面，可以開展的研究包括：①多個圓球形固粒在黏彈性Couette流中的運動規(guī)律和聚集結構；②在兩豎直圓筒間側向剪切流中，多個圓球形固粒在純剪切變稀、黏彈性剪切變稀、無剪切變稀黏彈性流體中的運動規(guī)律和聚集結構；③流體彈性和剪切變稀對固粒聚集所起的作用以及兩者同時存在時固粒的聚集模式；④多個橢球形固粒、圓柱形固粒在黏彈性Couette流中的運動規(guī)律和聚集結構以及流變特性和顆粒長徑比對聚集的影響.

在多固粒形成的鏈狀結構方面，可以開展的研究包括：①將用于牛頓流體的格子Boltzmann虛擬區(qū)域方法與非牛頓流體本構方程結合，探索用于非牛頓流體的格子Boltzmann虛擬區(qū)域方法；②研究Couette流中多固粒在純剪切變稀、黏彈性剪切變稀、無剪切變稀黏彈性流體中形成鏈狀結構的機理；③了解Couette流中流變特性、慣性、顆粒濃度、管道與固粒尺度比等因素對鏈狀結構的長度、位置以及取向的影響；④給出三維情況下考慮流體和固粒的慣性時，鏈狀結構形成的條件.

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REVIEW OF SOME RESEARCHES ON SUSPENSION OF SOLID PARTICLE IN NON-NEWTONIAN FLUID1)

Zhang Peijie Lin Jianzhong2)
(Institute of Fluid Engineering，School of Aeronautics and Astronautics，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China)

Suspension of solid particle in non-Newtonian flui has a wide range of applications,and its special fl w properties make it the core breakthrough point in some new technology fields Meanwhile,the fl w is more complex.Even in the case of low particle concentration,the characteristics of non-Newtonian flui have an important influenc on the microstructure of the whole system,which further a ff ects the movement of solid particles.In this paper,the non-Newtonian flui equation,particle motion equation and characteristic parameter of suspension of solid particle in non-Newtonian flui are given,and the e ff ect of these parameters is analyzed.The research findings result analysis and open questions of some topics including the radial motion of single solid particle in a pipe,the interaction and aggregation of multi-particles,the chain structure formed by multi-particles,and motion of non-spherical particles are related.Finally,the topics mentioned above are summarized and prospected,and the concrete problems and contents that need to be studied deeply are given,which is aimed at providing references and basis for further research.

non-Newtonian fluid solid particle,suspension,review

O359，O373

：A

10.6052/0459-1879-17-038

2017–02–13 收稿，2017–04–06 錄用,2017–04–06 網絡版發(fā)表.

1)國家自然科學基金重點資助項目(11632016).

2)林建忠，教授，主要研究方向：多相流、微納流動、湍流、流體機械.E-mail：jzlin@sfp.zju.edu.cn

張培杰,林建忠.非牛頓流體固粒懸浮流的若干問題.力學學報,2017,49(3)：543-549

Zhang Peijie,Lin Jianzhong.Review of some researches on suspension of solid particle in non-Newtonian fluid Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(3)：543-549