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      引導(dǎo)探究分析,提高學(xué)習(xí)能力

      2017-07-03 14:40林良勇
      中學(xué)理科園地 2017年3期
      關(guān)鍵詞:圓錐曲線探究性教學(xué)

      林良勇

      摘 要:在課程改革背景下,從課本的一道例題出發(fā),對(duì)探究性教學(xué)理念在實(shí)踐中的應(yīng)用的教學(xué)嘗試.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究,通過類比圓上任意一點(diǎn)與任意一條直徑兩個(gè)端點(diǎn)的斜率之積為定值(點(diǎn)不在直徑上)的這個(gè)性質(zhì),進(jìn)一步探究分析得到橢圓、雙曲線也有該性質(zhì),通過分析比較發(fā)現(xiàn)拋物線并沒有這一性質(zhì).最后舉例分析探究中所得的性質(zhì)在實(shí)踐中的應(yīng)用.

      關(guān)鍵詞:探究性教學(xué);圓錐曲線;斜率之積;類比歸納

      引言

      在教學(xué)活動(dòng)中,倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式,是高中新課程重要理念之一,而教師的探究性教學(xué)是該理念在課堂上的有效表現(xiàn)形式.探究教學(xué)應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,突出學(xué)生的主體參與,讓學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)、參與探究知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程,從而激活思維,挖掘?qū)W生的潛力,有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

      本文以課本的一道例題為例,引導(dǎo)學(xué)生通過類比分析、探究,總結(jié)規(guī)律,激發(fā)學(xué)生的思維,并就探究性教學(xué)這個(gè)課題作了一點(diǎn)嘗試,供參考.

      1 案例呈現(xiàn)

      1.1 創(chuàng)設(shè)問題情景

      師:請(qǐng)大家看看這道例題:

      例1:數(shù)學(xué)選修2-1(湖南教育出版社)課本76頁

      已知兩定點(diǎn)A(-4,0),B(4,0),動(dòng)點(diǎn)P使直線PA,PB的斜率的乘積為-,求證:動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為+=1(y≠0) [1 ].

      1.2 組織學(xué)生活動(dòng)

      設(shè)P(x,y),由題設(shè)可得:·=-,整理得:+=1(y≠0),其軌跡是橢圓(不包含頂點(diǎn)A,B).

      做完例題,引導(dǎo)學(xué)生去觀察、比較,深入挖掘,可能就會(huì)發(fā)現(xiàn)此例題隱含著圓錐曲線的一個(gè)重要性質(zhì),從而讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.

      2 引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)

      師:觀察±4、-與軌跡方程中的a、b之間的關(guān)系,你能給出結(jié)論與已知條件(定點(diǎn)坐標(biāo)、斜率之積)之間的關(guān)系嗎?

      生:可以,橢圓方程+=1中,a2=16=42,b2=,-=-= -.

      師:能否根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn),將該具體問題一般化,形成結(jié)論?

      生:能,可以一般化為:

      在平面上與兩定點(diǎn)A(-a,0),B(a,0)的斜率之積為定值-(a>b)的點(diǎn)的軌跡為橢圓,且方程為+=1(y≠0).

      師:很棒!你能否給出證明?

      生:可以,設(shè)P(x,y),由題設(shè)可得:·=-,整理得:+=1(y≠0),其軌跡是橢圓(不包含頂點(diǎn)A、B).

      師:該結(jié)論的必要性也成立嗎?請(qǐng)給出證明.

      生:成立!設(shè)P(x,y),由于點(diǎn)P在橢圓+=1上,則有y2=,所以kPA·kPB =·=-.

      可概括為:

      性質(zhì)1:橢圓上的任意一點(diǎn)P與長(zhǎng)軸的兩頂點(diǎn)A(-a,0),B(a,0)的斜率之積為定值- .

      3 引導(dǎo)學(xué)生類比歸納

      師(啟發(fā)):由于圓可以看成特殊的橢圓,那么在圓中是否也有類似的性質(zhì)?

      生(舉手):圓上的點(diǎn)對(duì)圓的任意一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)(該點(diǎn)不在直徑上)的張角都為90°,此時(shí)斜率之積為-1.

      學(xué)生歸納為:

      性質(zhì)2:圓x2+y2=r2上的任意一點(diǎn)P與圓的任意一條直徑AB(P不在AB上)的兩個(gè)端點(diǎn)連線,若線PA,PB的斜率存在,則它們的斜率之積為定值-1.

      師(啟發(fā)):圓可以看成特殊的橢圓,圓上的點(diǎn)對(duì)圓的任意一條直徑(點(diǎn)不在直徑上)的張角都是90°,即斜率之積為-1.類比圓的這個(gè)特殊性,橢圓中是否也有這個(gè)性質(zhì)?

      經(jīng)過思考、分析、類比.

      生:將性質(zhì)1中的A,B改為短軸頂點(diǎn)時(shí)也是成立的!

      生(補(bǔ)充):其實(shí)A,B只要是關(guān)于橢圓中心即原點(diǎn)對(duì)稱就可以的。

      師(驚喜):能否給出證明?

      生:用點(diǎn)差法證明,設(shè)P(x,y),A(x0,y0),B(-x0,-y0),則kPA·kPB =·=,又因?yàn)辄c(diǎn)P,A在橢圓上,則有+=1,+=1,兩式相減整理得:=-,所以直線PA與PB的斜率之積為定值-.

      師生共同歸納總結(jié),性質(zhì)1可改進(jìn)為:

      性質(zhì)3:點(diǎn)P為橢圓+=1上的任意一點(diǎn),AB為過橢圓中心的任意一條弦,若PA,PB的斜率存在,那么斜率之積為定值,且為-.

      師:非常好,得到橢圓的一個(gè)重要性質(zhì),那么類比橢圓的這個(gè)性質(zhì),能否將它進(jìn)一步推廣到雙曲線?

      生齊聲:可以.

      學(xué)生分小組活動(dòng),經(jīng)過類比、探究、分析,歸納總結(jié)為性質(zhì)4.

      性質(zhì)4:點(diǎn)P為雙曲線-=1上的任意一點(diǎn),AB為過雙曲線中心的任意一條弦,若PA,PB的斜率存在,那么斜率之積為定值,且為.

      該性質(zhì)的證明過程與橢圓性質(zhì)的證明方法類似(略).

      有些小組的學(xué)生自發(fā)提問:能否進(jìn)一步將該性質(zhì)推廣到拋物線上?

      學(xué)生陷入思考,共同探究分析確定:拋物線上沒有該性質(zhì).原因是:圓、橢圓及雙曲線都是中心對(duì)稱圖形,而拋物線不是,故沒有.

      4 靈活應(yīng)用,突破難點(diǎn)

      在解選擇題、填空題時(shí),運(yùn)用此結(jié)論可以快速求解,達(dá)到小題快做、簡(jiǎn)單做的目的,同時(shí)在解決解答題時(shí),該結(jié)論作為中間結(jié)論,用來突破難點(diǎn)、障礙點(diǎn),也是非常有效的!

      例2: 如圖1,若雙曲線x2-y2=a2(a>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn),若直線PA,PB的傾斜角分別為α,β,且β=mα(m>1),那么α 的值是( )

      A. B. C. D.

      解法一:根據(jù)常規(guī)方法求解,可設(shè)P(x0,y0),則有tanα =,tanβ=,又因?yàn)閤02-y02=a2,則有tanα·tanβ==1,又因?yàn)棣粒隆剩?,),所以α+β=,則有α=, 選D.

      解法二:根據(jù)探究的結(jié)論馬上有:kPA·kPB ===1,即tanα·tanβ=1,又因?yàn)棣?,β∈?,),所以α+β=,則有α=,選D.

      評(píng)析:常規(guī)解法以點(diǎn)P(x0,y0)為參變量,可求出tanα·tanβ=1,但若能利用雙曲線中的這個(gè)重要性質(zhì)kPA·kPB =,則答案輕松可得.

      例3:如圖2,已知點(diǎn)P為橢圓+=1上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn) A,B的任意一點(diǎn),直線PA,PB分別交直線x=4于M,N兩點(diǎn),以MN兩點(diǎn)為直徑做圓C.

      (1)求圓C直徑的最小值;

      (2)圓C是否恒過兩個(gè)定點(diǎn)?若是,求其坐標(biāo),否則說明理由.

      分析一:常規(guī)解法中需設(shè)點(diǎn)P(s,t),求直線PA方程=直線PB方程=,再分別聯(lián)立直線x=4,可得點(diǎn)M(4,t),N(4,t),又因?yàn)镻(s,t)在橢圓上,則有t2=3-,所以MN2==,設(shè)λ=,則(12+λ)s2-96s+192-4λ=0,因?yàn)樵摲匠逃薪饧?Δ≥0,則λ2-36λ≥0,所以λ≥36或λ≤0(舍去),所以MN的最小值為6.

      (2)略.

      分析二:設(shè)M(4,m),N(4,n),不妨設(shè)m>0,n<0,

      ∵kPA·kPB =-=-,∴kMA·kNB =·=-,則mn=-9,∴MN=m-n=m+(-n)≥2=6,當(dāng)且僅當(dāng)m=3,n=-3時(shí),等號(hào)成立.

      (2)略.

      評(píng)析:該題考察學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的能力,綜合性較強(qiáng),屬于難題.如果能注意到上述探究的結(jié)論,即kPA·kPB =-=-,再靈活應(yīng)用化歸轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想將PA,PB的斜率轉(zhuǎn)化為MA,NB的斜率,就可以繞開中間參變量P的坐標(biāo),解題就顯得輕松快捷,這就是這個(gè)結(jié)論在解這類難題時(shí)突破難點(diǎn)、障礙點(diǎn)的一大亮點(diǎn)!

      應(yīng)用橢圓的這個(gè)重要結(jié)論可以快速解決下面這道題的第3問,讀者不妨試試.

      例4:(2012年江蘇高考)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,M,N分別是橢圓+=1的頂點(diǎn),過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P,A兩點(diǎn),其中P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C,連接并延長(zhǎng)AC,交橢圓于點(diǎn)B,設(shè)直線PA的斜率為k.

      (1)、(2)略;

      (3)對(duì)任意k>0,求證:PA⊥PB.

      5 反思

      在探究性教學(xué)中,教師應(yīng)該起著“穿針引線”的作用,適時(shí)的啟發(fā)、引導(dǎo),積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,突出學(xué)生的主體參與,讓學(xué)生經(jīng)歷、 體驗(yàn)、探究知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程,讓學(xué)生感受到新知識(shí)從頭腦里自然的流淌出來,從而更好的培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)提出問題、思考問題和解決問題的能力.學(xué)生在經(jīng)歷一節(jié)課的探究活動(dòng)后,收獲很大,應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生課后去主動(dòng)尋找類似例題,來鞏固、體會(huì)、加深相關(guān)的解題思路與策略,以達(dá)到舉一反三,觸類旁通的效果.一節(jié)課的時(shí)間有限,后續(xù)應(yīng)該對(duì)這類例題進(jìn)行變式拓展,變式拓展是提升解題能力的有效途徑,又可以讓學(xué)生領(lǐng)悟新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,提高應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力.

      參考文獻(xiàn):

      [1]張景中.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué) 選修2-1(理科)[M].長(zhǎng)沙:湖南教育出版社,2016.

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