林良勇

摘 要：在課程改革背景下，從課本的一道例題出發(fā)，對(duì)探究性教學(xué)理念在實(shí)踐中的應(yīng)用的教學(xué)嘗試.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，通過類比圓上任意一點(diǎn)與任意一條直徑兩個(gè)端點(diǎn)的斜率之積為定值（點(diǎn)不在直徑上）的這個(gè)性質(zhì)，進(jìn)一步探究分析得到橢圓、雙曲線也有該性質(zhì)，通過分析比較發(fā)現(xiàn)拋物線并沒有這一性質(zhì).最后舉例分析探究中所得的性質(zhì)在實(shí)踐中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：探究性教學(xué)；圓錐曲線；斜率之積；類比歸納

引言

在教學(xué)活動(dòng)中，倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，是高中新課程重要理念之一，而教師的探究性教學(xué)是該理念在課堂上的有效表現(xiàn)形式.探究教學(xué)應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，突出學(xué)生的主體參與，讓學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)、參與探究知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，從而激活思維，挖掘?qū)W生的潛力，有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

本文以課本的一道例題為例，引導(dǎo)學(xué)生通過類比分析、探究，總結(jié)規(guī)律，激發(fā)學(xué)生的思維，并就探究性教學(xué)這個(gè)課題作了一點(diǎn)嘗試，供參考.

1 案例呈現(xiàn)

1.1 創(chuàng)設(shè)問題情景

師：請(qǐng)大家看看這道例題：

例1：數(shù)學(xué)選修2-1（湖南教育出版社）課本76頁

已知兩定點(diǎn)A（-4，0），B（4，0），動(dòng)點(diǎn)P使直線PA，PB的斜率的乘積為-，求證：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為+=1（y≠0） [1 ].

1.2 組織學(xué)生活動(dòng)

設(shè)P（x，y），由題設(shè)可得：·=-，整理得：+=1（y≠0），其軌跡是橢圓（不包含頂點(diǎn)A，B）.

做完例題，引導(dǎo)學(xué)生去觀察、比較，深入挖掘，可能就會(huì)發(fā)現(xiàn)此例題隱含著圓錐曲線的一個(gè)重要性質(zhì)，從而讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.

2 引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)

師：觀察±4、-與軌跡方程中的a、b之間的關(guān)系，你能給出結(jié)論與已知條件（定點(diǎn)坐標(biāo)、斜率之積）之間的關(guān)系嗎？

生：可以，橢圓方程+=1中，a2=16=42，b2=，-=-= -.

師：能否根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)，將該具體問題一般化，形成結(jié)論？

生：能，可以一般化為：

在平面上與兩定點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）的斜率之積為定值-（a>b）的點(diǎn)的軌跡為橢圓，且方程為+=1（y≠0）.

師：很棒！你能否給出證明？

生：可以，設(shè)P（x，y），由題設(shè)可得：·=-，整理得：+=1（y≠0），其軌跡是橢圓（不包含頂點(diǎn)A、B）.

師：該結(jié)論的必要性也成立嗎？請(qǐng)給出證明.

生：成立！設(shè)P（x，y），由于點(diǎn)P在橢圓+=1上，則有y2=，所以kPA·kPB =·=-.

可概括為：

性質(zhì)1：橢圓上的任意一點(diǎn)P與長(zhǎng)軸的兩頂點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）的斜率之積為定值- .

3 引導(dǎo)學(xué)生類比歸納

師（啟發(fā)）：由于圓可以看成特殊的橢圓，那么在圓中是否也有類似的性質(zhì)？

生（舉手）：圓上的點(diǎn)對(duì)圓的任意一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)（該點(diǎn)不在直徑上）的張角都為90°，此時(shí)斜率之積為-1.

學(xué)生歸納為：

性質(zhì)2：圓x2+y2=r2上的任意一點(diǎn)P與圓的任意一條直徑AB（P不在AB上）的兩個(gè)端點(diǎn)連線，若線PA，PB的斜率存在，則它們的斜率之積為定值-1.

師（啟發(fā)）：圓可以看成特殊的橢圓，圓上的點(diǎn)對(duì)圓的任意一條直徑（點(diǎn)不在直徑上）的張角都是90°，即斜率之積為-1.類比圓的這個(gè)特殊性，橢圓中是否也有這個(gè)性質(zhì)？

經(jīng)過思考、分析、類比.

生：將性質(zhì)1中的A，B改為短軸頂點(diǎn)時(shí)也是成立的！

生（補(bǔ)充）：其實(shí)A，B只要是關(guān)于橢圓中心即原點(diǎn)對(duì)稱就可以的。

師（驚喜）：能否給出證明？

生：用點(diǎn)差法證明，設(shè)P（x，y），A（x0，y0），B（-x0，-y0），則kPA·kPB =·=，又因?yàn)辄c(diǎn)P，A在橢圓上，則有+=1，+=1，兩式相減整理得：=-，所以直線PA與PB的斜率之積為定值-.

師生共同歸納總結(jié)，性質(zhì)1可改進(jìn)為：

性質(zhì)3：點(diǎn)P為橢圓+=1上的任意一點(diǎn)，AB為過橢圓中心的任意一條弦，若PA，PB的斜率存在，那么斜率之積為定值，且為-.

師：非常好，得到橢圓的一個(gè)重要性質(zhì)，那么類比橢圓的這個(gè)性質(zhì)，能否將它進(jìn)一步推廣到雙曲線？

生齊聲：可以.

學(xué)生分小組活動(dòng)，經(jīng)過類比、探究、分析，歸納總結(jié)為性質(zhì)4.

性質(zhì)4：點(diǎn)P為雙曲線-=1上的任意一點(diǎn)，AB為過雙曲線中心的任意一條弦，若PA，PB的斜率存在，那么斜率之積為定值，且為.

該性質(zhì)的證明過程與橢圓性質(zhì)的證明方法類似（略）.

有些小組的學(xué)生自發(fā)提問：能否進(jìn)一步將該性質(zhì)推廣到拋物線上？

學(xué)生陷入思考，共同探究分析確定：拋物線上沒有該性質(zhì).原因是：圓、橢圓及雙曲線都是中心對(duì)稱圖形，而拋物線不是，故沒有.

4 靈活應(yīng)用，突破難點(diǎn)

在解選擇題、填空題時(shí)，運(yùn)用此結(jié)論可以快速求解，達(dá)到小題快做、簡(jiǎn)單做的目的，同時(shí)在解決解答題時(shí)，該結(jié)論作為中間結(jié)論，用來突破難點(diǎn)、障礙點(diǎn)，也是非常有效的！

例2： 如圖1，若雙曲線x2-y2=a2（a>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)，若直線PA，PB的傾斜角分別為α，β，且β=mα（m>1），那么α 的值是（ ）

A. B. C. D.

解法一：根據(jù)常規(guī)方法求解，可設(shè)P（x0，y0），則有tanα =，tanβ=，又因?yàn)閤02-y02=a2，則有tanα·tanβ==1，又因?yàn)棣粒隆剩?，），所以α+β=，則有α=， 選D.

解法二：根據(jù)探究的結(jié)論馬上有：kPA·kPB ===1，即tanα·tanβ=1，又因?yàn)棣?，β∈?，），所以α+β=，則有α=，選D.

評(píng)析：常規(guī)解法以點(diǎn)P（x0，y0）為參變量，可求出tanα·tanβ=1，但若能利用雙曲線中的這個(gè)重要性質(zhì)kPA·kPB =，則答案輕松可得.

例3：如圖2，已知點(diǎn)P為橢圓+=1上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn) A，B的任意一點(diǎn)，直線PA，PB分別交直線x=4于M，N兩點(diǎn)，以MN兩點(diǎn)為直徑做圓C.

（1）求圓C直徑的最小值；

（2）圓C是否恒過兩個(gè)定點(diǎn)？若是，求其坐標(biāo)，否則說明理由.

分析一：常規(guī)解法中需設(shè)點(diǎn)P（s，t），求直線PA方程=直線PB方程=，再分別聯(lián)立直線x=4，可得點(diǎn)M（4，t），N（4，t），又因?yàn)镻（s，t）在橢圓上，則有t2=3-，所以MN2==，設(shè)λ=，則（12+λ）s2-96s+192-4λ=0，因?yàn)樵摲匠逃薪饧?Δ≥0，則λ2-36λ≥0，所以λ≥36或λ≤0（舍去），所以MN的最小值為6.

（2）略.

分析二：設(shè)M（4，m），N（4，n），不妨設(shè)m>0，n<0，

∵kPA·kPB =-=-，∴kMA·kNB =·=-，則mn=-9，∴MN=m-n=m+（-n）≥2=6，當(dāng)且僅當(dāng)m=3，n=-3時(shí)，等號(hào)成立.

（2）略.

評(píng)析：該題考察學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的能力，綜合性較強(qiáng)，屬于難題.如果能注意到上述探究的結(jié)論，即kPA·kPB =-=-，再靈活應(yīng)用化歸轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想將PA，PB的斜率轉(zhuǎn)化為MA，NB的斜率，就可以繞開中間參變量P的坐標(biāo)，解題就顯得輕松快捷，這就是這個(gè)結(jié)論在解這類難題時(shí)突破難點(diǎn)、障礙點(diǎn)的一大亮點(diǎn)！

應(yīng)用橢圓的這個(gè)重要結(jié)論可以快速解決下面這道題的第3問，讀者不妨試試.

例4：（2012年江蘇高考）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，M，N分別是橢圓+=1的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接并延長(zhǎng)AC，交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k.

（1）、（2）略；

（3）對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB.

5 反思

在探究性教學(xué)中，教師應(yīng)該起著“穿針引線”的作用，適時(shí)的啟發(fā)、引導(dǎo)，積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，突出學(xué)生的主體參與，讓學(xué)生經(jīng)歷、 體驗(yàn)、探究知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，讓學(xué)生感受到新知識(shí)從頭腦里自然的流淌出來，從而更好的培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)提出問題、思考問題和解決問題的能力.學(xué)生在經(jīng)歷一節(jié)課的探究活動(dòng)后，收獲很大，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生課后去主動(dòng)尋找類似例題，來鞏固、體會(huì)、加深相關(guān)的解題思路與策略，以達(dá)到舉一反三，觸類旁通的效果.一節(jié)課的時(shí)間有限，后續(xù)應(yīng)該對(duì)這類例題進(jìn)行變式拓展，變式拓展是提升解題能力的有效途徑，又可以讓學(xué)生領(lǐng)悟新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，提高應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]張景中.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué) 選修2-1（理科）[M].長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2016.