安徽省霍邱縣第一中學(xué) (郵編：237400)

一個(gè)不等式的應(yīng)用舉隅

安徽省霍邱縣第一中學(xué)馮克永(郵編：237400)

不等式ex≥x+1

(1)

(其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(下同))等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立.

(來源：人教A版選修2-2第32頁(yè)B組第1題第3小題：ex>x+1,x≠0).

證明作差構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-x-1，則f′(x)=ex-1，由f′(x)=0得x=0.當(dāng)x∈(-,0)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(0,+)時(shí)，f′(x)>0.所以f(x)≥f(0)，即ex≥x+1，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立.

當(dāng)x+1>0時(shí)，對(duì)不等式(1)兩邊取自然對(duì)數(shù)得ln(x+1)≤x，

(2)

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立.

筆者經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用不等式(1)及其變形(2)可簡(jiǎn)便地證明含有ef(x),lnf(x)的不等式.

點(diǎn)評(píng)不等式是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)的重要工具，二者結(jié)合是近幾年高考命題的新熱點(diǎn).第(1)小題是常規(guī)的導(dǎo)數(shù)題易解決，第(2)小題利用常見不等式ex≥x+1及加法運(yùn)算化整體為局部，再利用第(1)小題的結(jié)論，取a=2放縮傳遞是神來之筆，很值得回味.試題命制一般遵循設(shè)問之間的連貫性，在后問“山窮水盡”之時(shí)，前問(有時(shí)即使未解決，用其結(jié)論也可以)往往會(huì)帶來“柳暗花明”之喜，這應(yīng)引起我們的高度重視.

2017-03-19)